高中數學解題中數形結合思想的運用探索

李天歌

摘 要：數形結合是一種重要的解題方法，在高中數學中運用數形結合的思想解題時，就是將“數”與“形”進行有機的結合，利用圖形特征解決高中數學問題。本文具體介紹了高中數學解題中數形結合思想的運用，旨在運用數形結合思想提高解題效率。

關鍵詞：高中數學解題 數形結合 運用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）07（b）-0227-02

1 運用數形結合思想解決方程式問題

在研究一元二次方程根的分布情況時，運用二次函數的圖像。二次函數為：y=ax2+bx+c（a≠0），通過二次函數的圖像可知，x軸的交點的橫坐標是方程f（x）=0的實根，所以通過二次函數的圖像就能了解方程f（x）=0的實根情況，所以對f（x）=0與y=f（x）進行轉化，在運用y=f（x）的函數圖像就能簡單直觀的解決問題。

例1：方程2a2x2+2ax+1-a2=0的兩個根在（-1，1）之內，求a的值？

分析：由題意可知a2≠0，根據已知方程繪制二次函數y=2a2x2+2ax+1-a2草圖（如圖1所示），從圖中可知，拋物線與x軸的交點在（-1，1）之內，要滿足條件：（a-1）2>0、（a+1）2>0、-a2≤0，從而解的a的取值范圍為a≥知a≤-，a≠±1。

利用函數圖像解決方程近似解的個數問題。在高中數學中有很多不規則方程，構造兩個函數，將方程的根轉化為兩個函數的交點問題。

例2：方程ax-2x-1=0（a>1，a≠1）有兩個零點，求a的取值范圍。

分析：由題意可知此方程為不規則方程，這是我們在學習中不熟悉的方程，這時就要通過變形的方式將方程轉變為我們平時熟悉的方程，將ax-2x-1=0變形為ax=2x+1，這時再繪制出y=ax與y=2x+1這兩個圖像的草圖（如圖2所示），根據圖2可知y=ax與y=2x+1這兩個圖像都經過（0，1），當a>1時兩個函數還有另外一個交點，所以方程有兩個零點。

通過二次函數圖像求一元二次不等式的解集，在解題的過程中遇到求一元二次不等式解集的題，可以通過二次函數圖像確定拋物線的開口方向，同時也能確定拋物線與X軸的交點，這樣能夠輕松便捷的求得一元二次不等式解集。

例3：求不等式x2-x-6≤0的解集。

分析：根據題目畫出y=x2-x-6的函數圖像（如圖3所示），根據函數圖像以及函數的開口方向可以得到不等式x2-x-6≤0的解集，x的解集為{xI-2≤x≤3}。

2 運用數形結合思想解決集合問題

在解決集合問題時可以利用韋恩圖解決。韋恩圖就是用圓來表示一個集合，如果兩個圓相交，那么就表明這兩個集合有公共元素，如果兩圓相離就說明這兩個集合沒有公共元素，運用韋恩圖能夠簡單直觀的解決集合問題。

例4：已知全集U={xI x2<50，x ∈N}，Ln（C M）={1，6}，Mn（C UL）={2，3}，C u（MUL）={0，5}，求集合M和L？

分析：首先求得全集=U={xIx2<50，x∈N}.{0，1，2，3，4，5，6，7}。

第二步：將Ln（L uM）={1，6}，Mn（C UL）={2，3}，C u（MUL）={0，5}中的元素在韋恩圖中依次定位。

第三步：定位集合中的4，7元素。

第四步：根據圖4的元素位置，得集合M={2，3，4，7}，集合L={1，4，6，7}。

應用數軸解決集合的有關運算問題，以及集合與集合間的關系問題。

例5：已知集合A={xI x<-1或x≥1}，B={xI 2a

分析：由題意可知a<1，2a

運用數形結合思想解決函數值大小比較問題

在比較數值大小時，可以將數值轉換為函數值進行比較，再結合函數圖像直接比較數值的大小，這種方法能夠節省很多的解題時間，如果在考試中比較大小的數值出現在選擇題或者填空題部分時，筆者就會用這樣的方法解決數值大小比較問題，十分方便快捷而且準確度很高。

例6：比較0.72.7，22.7，4.52.7的大小。

分析：根據題意將0.72.7，22.7，4.52.7這幾個數值轉換為函數：y=0.7x和y=2x和y=4.5x，這樣就將比較數值大小問題轉換為了當x=2.7時三個函數的大小。再根據函數畫出函數圖像（如圖6所示），通過圖像就能直觀的判斷出三個函數值的大小關系。

最后得出結論0.72.7<22.7<4.52.7。

3 結語

本文具體介紹了高中數學解題中數形結合思想的運用，首先介紹了怎樣運用數形結合思想解決方程式問題，文中舉了三個例子，分別說明了運用數形結合思想解決一元二次方程根的分布情況、方程近似解的個數問題、求一元二次不等式的解集。這三種問題都是高中數學方程式中經常遇到的問題。接下來介紹了怎樣運用數形結合思想解決集合問題，利用數軸和韋恩圖能夠簡單快捷的解題，通過平時的練習發現，集合問題在選擇題中比較常見，所以我在解題時經常運用數軸和韋恩圖進行集合求解。最后介紹了怎樣運用數形結合思想解決數值大小比較問題，數值大小比較也是高中數學的重點，但是在平時的練習中發現，一些數值很難進行比較，而利用函數圖像能夠很便捷的解決這個問題，數值大小比較問題在選擇題中出現的比較多，所以利用函數圖像解決這類問題，會十分快捷。老師一直引導我們用數形結合思想解決數學問題，通過本文的分析可以發現運用數形結合思想能夠方便快捷的解決數學問題，提高我們的解題效率。

參考文獻

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