大頂角等腰劈的等傾干涉原理

周國全 祁 寧

(武漢大學物理科學與技術學院，湖北 武漢 430072)

大頂角等腰劈的等傾干涉原理

周國全 祁 寧

(武漢大學物理科學與技術學院，湖北 武漢 430072)

依據波動光學關于光的干涉原理, 分析和介紹了一種能產生等傾干涉現象的大頂角等腰劈干涉裝置，推導并討論了該干涉結構發生等傾干涉的條件及干涉條紋的分布規律；同時指明等腰劈的等傾干涉原理對于薄膜干涉的相似性或等價性，并討論了其在光學領域可能的應用領域;強調了其對光學干涉的教學研究的輔助作用及內容擴充。

光學干涉； 等傾干涉；干涉圓環；等腰劈；光學諧振腔, 微位移傳感

兩列(或多列)光波相遇而發生干涉需要滿足三個條件[1-3]：(1)頻率相同；(2)振動方向相同；(3)相位差(或初相位差)恒定。這種能夠發生干涉現象的兩列(或多列)波稱為相干波(coherent waves)。不同的光學干涉裝置就是用不同的方式滿足以上(尤其是第三個)干涉條件[1-9]。按照參與干涉的光束個數分為兩大類：雙光束干涉與多光束干涉；按照產生相干光束的方式則分為波前分割與振幅分割式；而按照干涉的光程差函數與場強函數的等值變量來分類，則分為等厚干涉與等傾干涉，例如法布里——伯羅(F-P)干涉儀和邁克爾遜干涉儀。文獻[4]論述了兩種振幅分割式多光束等傾干涉結構――矩形腔與大頂角等腰劈干涉結構,并初步驗證了其干涉理論；文獻[5-9]論述了若干等厚干涉結構及其干涉理論。通常等傾干涉是指擴展光源照射在厚度相等的薄膜上產生的干涉現象，具有不同傾角的入射光各自干涉,形成對應的不同干涉條紋，同一級條紋對應著同一傾角，不同級條紋對應著不同的傾角。薄膜上下兩表面對同一條入射光的反射光線是相互平行的，兩反射光線在無限遠處相遇并產生非定域干涉條紋，即定域在無窮遠處或觀測透鏡的焦平面上。

有關光波在三棱柱腔內外橫向傳播的規律的研究，鮮見于波導型光學諧振腔的文獻中。本文詳盡深入地分析了文獻[4]已初步論述的大頂角等腰劈等傾干涉結構。研究表明,光波在等腰劈內外的橫向傳播將發生振幅分割式多光束等傾干涉現象。本文和文獻[10]這兩種干涉結構不僅對于F-P干涉技術具有等效性、替代性與補充作用，而且還具有若干新的特點和應用前景[11-14]。

1 等腰劈的等傾干涉原理

圖1 等腰劈等傾干涉裝置結構圖

Δ=2n2hcosi

(1)

其相應的表觀相位差為

(2)

其中h為△ABC在腰AC上的高線長，λ為入射光在真空中波長，腔內折射角i滿足折射定律n2sini=n1sini0， 由于光程差與入射點P位置無關并恒定，相鄰的兩次反射線之間滿足干涉條件。下面我們將推導反射線光束(或透射線光束)的干涉條紋的亮暗條件，并推導干涉場光強的分布函數。

(3)

將反射線集合的振幅相加可得

(4)

其中用到了斯托克斯公式r2+tt′=1；r′=-r。r2=r′2=R為反射系數。尤請注意:由于每束光線在棱鏡的“底邊”BC表面來回反射兩次，兩次半波損失等效于沒有位相突變。推導過程中也不需要重復(額外)計入其他反射點可能存在的半波損失及位相突變,它們均已體現在Stokes 關系式r′=-r的負號中——界面兩側反射時會有π的位相差異。另一方面，反射光干涉光強分布公式為

(5)

(6)

(7)

時，透射光干涉場強式(6)極大；相應的反射光干涉場強式(5)極小。當折射角i滿足cosδ=-1, 即

(8)

時，透射光干涉場強式(6)極小；反射光干涉場強式(5)極大。由式(1)、(2)、(5)、(8)可知，顯然這里發生的是等傾干涉，因為干涉場的光強分布及光程、相位差公式(1)、(2)、(5)、(8)隨入射角i0而變，同一極大環紋對應于同一入射角(或折射角)。

圖2 等腰劈等傾干涉實驗條紋

初步的實驗和我們進一步的實驗都表明，這種等腰劈干涉裝置能夠實現多光束等傾干涉——當使用擴展光源照明時，無論是反射線集合，還是透射線集合，都能借助凸透鏡與觀測屏觀察到非定域的等傾干涉圓環。如圖2所示的干涉圖像是等腰直角劈產生的透射光等傾干涉條紋。實驗中使用了波長為632.8nm的He-Ne激光單色光源，其高斯型激光束經擴束鏡后形成的發散光束(而不是擴展光源)作為入射光束進入干涉裝置。實驗中最多約觀察到8個較清晰的干涉圓環。既然等腰劈干涉裝置等效于平行薄膜的等傾干涉，顯然其干涉圓環形條紋的分布規律亦與其相同，內疏外密，不等間隔分布，中央斑點具有最高干涉級序；其干涉場強的半值寬度的公式也與之相同。另外可以證明，相鄰兩亮(或暗)紋的半徑之平方差是與干涉序無關的常量。如圖3所示，觀測屏e在透鏡d的后焦面處，設干涉圓環的圓心處斑點正好是第m級干涉極大(對應的折射角為θ0=0)，其干涉序m最大(因其對應的光程差最大)；對于在A′B處以小角度θk折射的光線，設它們在屏上的干涉場點P落在第m-k級干涉極大圓環上(即第k個極大圓環條紋上)，則在如圖所示的直角三角形中，小角θk≈tanθk≈rk/f=Dk/2f；運用余弦展開的泰勒公式，忽略高階無窮小項，可得

(9)

(10)

同理對第m-(k+1)級干涉圓環，(第k+1個圓環)可得，

圖3 干涉條紋分布規律的推導

聯立(9-12)諸式，可得如下關系式

(13)

(14)

其中h是等腰腔一腰之高，f為透鏡焦距。若腔內外媒介的折射率分別為n2、n1，則式(13-14)分別變為

(15)

(16)

其中式(13)或式(15)為前文所述的條紋分布律，結論獲證。式(14)、(16)為利用此等傾干涉裝置測量光波波長的公式。

2 幾何約束條件及有限入射角范圍對干涉的影響

(17)

當玻璃折射率n2的取值范圍在(1.56,1.62)之間，其臨界反射角θc=arcsin(n1/n2)在(38°,40°)之間，當α=90°(對應于最普通最佳等腰直角劈)時，θ=(180°-α)/2=45°>θc，當折射角范圍在i～(00，10)，光線在底邊BC界面發生全反射，而沒有折射能量損失。

(18)

(19)

(20)

其中Δ為兩者之相對誤差，Δ=RN(2cosNδ-RN)；相應地，條紋峰值的實際半值角寬度εN比理論的ε∞值有所增加，εN=ε∞(1+Δε)。我們可給出一組數據，使讀者對此有一粗略的定量概念：腔體長寬尺寸a=h～1cm；波長λ～632.8nm；腔內光束折射角i的角度范圍i～(00，10),反射回路達到N～29個,(即有限項數為30個)；強度峰值相對偏差Δ～0.16，相應地半值角寬度較理論結果有所增加,而實際峰值強度較理論結果有所減弱。

3 應用前景

等腰劈的等傾干涉方式不僅可用于測入射光的未知波長，即對于F-P干涉技術具有等效性、替代性，而且還具有補充作用。以下略述它的一些新的特點與應用前景。

3.1 應用前景之一——全偏振光學諧振腔

等腰劈的等傾干涉方式可用于設計全偏振光學諧振腔,用以產生全偏振共振型極大輸出光束。

(21)

圖4 全偏振輸出光學諧振腔

全偏振共振輸出條件是

(22)

3.2 應用前景之二——二維微位移光學傳感技術

圖5 二維位移光學傳感示意圖

4 總結與前瞻

大頂角等腰劈在入射光以特定角度范圍橫向入射時，將發生多光束等傾干涉，在干涉效果上等效于F-P干涉儀——在擴展光源照射下，將出現不等間隔的同心圓環形條紋。其干涉條紋形狀一般說來是圓弧或圓弧在接收屏上的投影。當光源、薄膜、接收屏三者成對稱關系時，條紋形狀為明暗相間的圓環。影響干涉效果的諸因素也與薄膜干涉情形基本相同，其干涉條紋細銳，明暗對比強烈；干涉條紋的級數序列內高外低，環紋密度內疏外密。當腰上的高線長h增大時，干涉環紋由內向外移動。等腰劈等傾干涉技術不僅拓展了光學干涉的教學研究的內容與范圍，還可能應用于全偏振光學諧振腔與維微位移光學傳感器的設計。

(本文的先發論文[4]曾經趙凱華先生推薦至《光學學報》, 再經《光學學報》按協議遴選推薦至SPIE之《OpticalEngineering》發表，即文獻[4])

[1]BornM,WolfE,PrinciplesofOptics[M]. 6thed.NewYork:PergamonPress. 1981. 291.

[2] 趙凱華,鐘錫華. 光學[M]. 北京：北京大學出版社, 1984, 291-293.

[3] 鐘錫華. 現代光學基礎[M]. 北京：北京大學出版社, 2003年8月第一版，167-170.

[4]ZhouGuoquan，SuiShixian.Equalinclinationinterferenceprinciplesinarectangularcavityandinanisosceleswedge[J].OpticalEngineering, (SPIE), 1994, 33(9): 2922-2926.

[5] 周國全. 牛頓環干涉裝置的若干變異結構[J]. 武漢大學學報(工學版), 2000, 33(5)：110-112.ZhouGuoquan.SeveralvariantstructuresofinterferenceapparatusforNewton’srings[J].JournalofWuhanUniversity(Eng.Ed.), 2000, 33(5)： 110-112.(inChinese)

[6] 周國全,郭長立.再論牛頓環干涉裝置的若干變異結構[J]. 武漢大學學報 (理學版), 2005, 51(1)：51-54.ZhouGuoquan,GuoChangli.SeveralmorevariantstructuresofinterferenceapparatusforNewton’srings[J].JournalofWuhanUniversity(Nat.Sci.Ed.), 2005, 51(1)： 51-54. (inChinese)

[7] 周國全，隋士先.對角式與三角式光學干涉儀設計原理[J].武漢大學學報(工學版), 1993, 26(3)：330-335.ZhouGuoquan，SuiShixian.Designprinciplesofdiagonalandtriangleopticalinterferometers[J].JournalofWuhanUniversity(Nat.Sci.Ed.), 1993, 26(3)： 330-335. (inChinese)

[8] 周國全.牛頓型等厚直紋干涉及其變異結構[J].物理通報，2015(1): 31-34.ZhouGuoquan.TheequalthicknessinterferencefringesforseveralmoreNewton-typevariantinterferencestructures[J].PhysicsBulletin, 2015(1): 31-34. (inChinese)

[9] 周國全.正交柱面透鏡的橢圓(雙曲)型等厚干涉條紋[J].大學物理，2016，35(7)：6-10.ZhouGuoquan.Theelliptic(hyperbola)distributionlawsofequal-thicknessinterferencesfortwocrossedconvex(concave)columnlens[J].CollegePhysics, 2016，35(7): 6-10. (inChinese)[10] 周國全.矩形腔等傾干涉原理[J].物理與工程，2017,27(6).ZhouGuoquan.Theequalinclinationinterferenceinarectangularcavity[J].PhysicsandEngineering, 2017, 27(6). (inChinese)

[11] 周國全,孫東振,彭獲然.基于LabVIEW平臺的新型二維微位移傳感器設計[J]. 傳感技術學報, 2015(4):607-612.ZhouGuoquan,SunDongzhen,Penghuoran.Anoveltwo-dimensionalmicro-displacementsensorbasedonLabVIEWplatform[J].ChineseJournalofSensorsandActuators, 2015(4): 607-612. (inChinese)

[12] 周國全,張斯磊.基于等傾干涉的二維微位移光學傳感測距系統[J]. 武漢大學學報(理學版).2010, 56(5): 609-613.ZhouGuoquan,ZhangSilei.Atwo-dimensionalopticalmicro-displacementsensingandrangingsystembasedonnewequalinclinationinterferencestructure[J].JournalofWuhanUniversity(Nat.Sci.Ed.), 2010, 57(1): 609-613. (inChinese)

[13] 周國全，周一博.基于CMOS圖像傳感技術和等傾干涉的改進的二維微位移傳感系統[J].武漢大學學報(工學版), 2017, 50(2):301-306.ZhouGuoquan,ZhouYibo.AnImprovedtwo-dimensionmicro-displacementsensorsystembasedonthetechniquesofCMOSimagesensorandequal-inclinationinterference[J].JournalofWuhanUniversity(Eng.Ed.), 2017, 50(2): 301-306. (inChinese)

[14]ZhouGuoquan，SunDongzhen.Anoveltwo-dimensionalmicro-displacementsensorbasedonanewopticalstructureforequal-inclinationinterference[C]. 2012, 2012SymposiumonPhotonicsandOptoelectronics, (SOPO),Shanghai.

■

THE EQUAL INCLINATION INTERFERENCE IN AN ISOSCELES TRIANGULAR WEDGE WITH A BIG VERTEX ANGLE

Zhou Guoquan Qi Ning

(School of Physics and Technology, Wuhan University, Wuhan Hubei 430072)

According to the optical wave theory about optical interference, the equal inclination interference in an isosceles triangular wedge with a big vertex angle has been concretely introduced and analyzed in detail; the interference conditions and the distribution laws of interference rings are deduced and discussed，which are in accordance with the observed phenomena in a verification experiment. On the other hand, the application possibilities of this interference principle in different fields of optical technology, especially in the field of optical micro-displacement sensor, are also discussed; and its subsidiarity to the pedagogical practices about optical interference, especially equal inclination interference, is emphasized; the teaching contents about the equal inclination interference are extended

optical interference； equal-inclination interference; interference rings； isosceles triangular wedge; optical resonant cavity; micro-displacement sensor

2017-06-05

高校教指委電動力學教學研究項目(項目編號: JZW-16-DD-15)；中央高校教育教學改革專向項目—武漢大學“351人才計劃”教學崗位項目。

周國全，男，副教授，研究方向為電磁場與光電子技術、非線性方程與孤子理論，zgq@whu.edu.cn。

周國全,祁寧. 大頂角等腰劈的等傾干涉原理[J]. 物理與工程，2017，27(5)：65-70.