利用剛體轉動慣量實驗儀測量地球重力加速度

王翹楚 王 暢 肖云桓 劉 偉 史慶藩

(北京理工大學物理實驗中心，北京 100081)

利用剛體轉動慣量實驗儀測量地球重力加速度

王翹楚 王 暢 肖云桓 劉 偉 史慶藩

(北京理工大學物理實驗中心，北京 100081)

本文介紹一種測量地球重力加速度的新方法，即圓柱形容器中的水在繞豎直中心軸勻速旋轉時，水面會形成一個拋物面[1]，該拋物面的焦距與重力加速度和旋轉周期有關。利用該性質并結合大學實驗室中常見的剛體轉動慣量實驗儀，通過測量拋物面的焦距與旋轉周期即可得出重力加速度的數值。此方法避免了傳統的單擺實驗中擺線質量、空氣阻力、圓錐擺等影響因素[2]，使得測量精度增加。此方法適用于大學物理實驗教學，可激發學生對實驗的興趣，且具有一定的觀賞性。

重力加速度；剛體轉動慣量實驗儀；水；拋物面

1 引論

重力加速度是地球的基本參數之一，不僅與我們的日常生活息息相關，更是一切測量與實驗的基礎。在航空航天、工程技術、機械制造等領域，精確測量重力加速度尤為重要。重力加速度的測量方法有很多，如單擺法、自由落體法、稱掛法等。其中單擺法最為常見，通過測量單擺長度和擺動周期得出重力加速度。然而這種方法在測量擺長時，精確測量懸掛點到重心的距離較為困難；在原理上取sinθ≈θ[2]且假設地球表面為無限大平面，忽略了地球半徑的有限性[3]，因此該方法存在一定誤差。而自由落體法忽略了空氣阻力等因素，一定程度上也增大了誤差；稱掛法盡管操作簡便但是讀數上不夠精確。本文采用一種新的方法測量重力加速度，水在繞垂直于水面的軸勻速旋轉時因向心力會形成拋物面[1]，該拋物面焦距與重力加速度與旋轉周期有關，通過測量焦距及旋轉周期可計算出重力加速度數值。此方法利用了大學實驗室中常見的剛體轉動慣量實驗儀，根據皮帶傳動原理，將電機與實驗儀繞線輪通過動力線相連，電機轉動帶動承物臺旋轉，并可通過改變繞線輪大小或電機轉速來實現多次測量[4]。

2 實驗系統

實驗系統包括：剛體轉動慣量實驗儀、通用電腦式毫秒計、電機及其控制盒、激光瞄準器、豎直游標卡尺等。

實驗裝置如圖1所示。

圖1 測量重力加速度實驗裝置示意圖

低速電機與實驗儀繞線輪由動力線圈相連，根據皮帶傳動原理，動力線將動力傳至實驗儀，從而使承物臺旋轉。電機控制盒有調速旋鈕，可改變電機轉速(0～120r/min)。兩豎直激光瞄準器與光屏固定在支架上，光屏可沿豎直桿上下移動。光電門連接通用電腦式毫秒計，可記錄實驗臺旋轉半周所用時間[4]。豎直游標卡尺的游標上固定一水平激光瞄準器(圖中未畫出)。可通過游標卡尺讀出激光瞄準器照射物體的相對高度。豎直游標卡尺放置于實驗儀右側。

3 測量原理

對繞中心軸做勻角速度為ω的水槽中的水滴做受力分析：

(1)

Nsinθ=mg

(2)

式(1)與式(2)聯立得

(3)

將上式變形后積分，即

弧線為拋物線(如圖2)，即水面最終形成拋物面。

圖2 水滴受力分析圖

拋物面焦距為

(4)

(5)

如圖3所示，兩條平行于y軸的光線照射到拋物面，經反射會會聚于拋物面焦點。用光屏找到該會聚點，量出光屏到水面最低點的距離，即為拋物面焦距R，用通用電腦式毫秒計計算出旋轉周期T，代入式(5)中可得到地球重力加速度g。

圖3 測量原理示意圖

4 實驗步驟

(1) 組裝實驗裝置。選擇合適的繞線輪，使電機同步輪與繞線輪處于同一水平位置，將動力線繞于繞線輪及同步輪上并使線處于繃緊狀態。在水槽中盛適量水，在水面上撒一點粉筆末以便觀察光路。將水槽放置在承物臺上，水槽中心與實驗儀中心重合。

(2) 按下3個激光瞄準器開關，調節兩豎直激光瞄準器光線垂直于靜止水面，水平激光瞄準器光線與靜止水面平行，移動豎直尺架使水平光線與實驗儀軸線相交。

(3) 打開電機開關，轉動調速器旋鈕調整轉速。待水面穩定后，按下毫秒計復位鍵。擰松固定光屏的螺絲，上下移動光屏，使光屏上的兩個激光點重合，擰緊螺絲。

(4) 擰松豎直尺游標螺絲，上下移動游標使光路通過光屏上激光點，擰緊螺絲，記下此時的豎直尺讀數y1。

(5) 擰松游標螺絲，向下移動游標，直到看到水中有一道微弱的光路，此時激光筆照射到水面最低點，擰緊螺絲，記下此時的豎直尺讀數y2。

(7) 轉動調速器旋鈕或改變繞線輪以改變轉速，重復上述步驟。

5 實驗結果與分析

我們對8個周期值進行了焦距的測量，每一個周期值測量6次焦距，取平均值即為本周期對應的焦距值。同時我們也用了傳統的單擺法進行測量，取8個擺長值，每個擺長值測量6次擺動周期，取平均值即為該擺長所對應的周期值。用Origin軟件對數據進行線性回歸分析，得到圖4。其中右下角的小圖為單擺法數據對應的圖線。

用剛體轉動慣量實驗儀測量重力加速度的實驗中，由數據得：

測量結果：g=9.811(0.008)(m·s-2)

用單擺法測量重力加速度的實驗中，由數據得：

測量結果：g=9.93(0.06)(m·s-2)

圖4 線性回歸分析圖

本地緯度為39.729°，計算得重力加速度為9.8012(m·s-2)，本文所用方法測得的重力加速度值相對誤差為0.102%，單擺法測得的重力加速度值相對誤差為1.31%，可見本文所用方法相比于傳統的單擺法測量數據更為精確。盡管重力加速度的準確數值隨著時間的推移在不斷改變，但從數值和不確定度兩方面來看，本文所用方法仍比單擺法更為準確。

經分析，我們認為本文所用方法誤差產生的原因如下：電機固定在桌邊，電機轉動會使桌面有微小的振動，使得激光在光屏上的反射點晃動，不能形成一個穩定的光點而是一條短光線，因此在確定光屏位置時取兩短線中點重合時的位置，可能會產生一定誤差。

6 結語

本文采用了一種新的方法，利用剛體轉動慣量實驗儀測量地球重力加速度。傳統的單擺法測量重力加速度時，擺長的精確測量有一定困難，本文單擺實驗中所得數據偏大，可能是由于重物重心位置不為其幾何中心造成，導致擺長的測量誤差大大增加；其次，單擺并不在同一平面內擺動，極易形成圓錐擺，擺線易與測量周期所用的光電門碰觸，對擺動造成干擾；另外，原理上取sinθ≈θ[2]，這些都在一定程度上增大了誤差。本實驗所述方法易于操作，外界干擾及不確定因素較小，采用了準確的公式推導，避免了測量原理上的誤差，使得測量精度大大提高。且本實驗具有較高的觀賞性，將重力加速度表現在拋物面形的水面上，不失為一種測量重力加速度的好方法。

[1] 姜興東, 王振坤. 測量重力加速度和轉速的旋轉液體實驗儀的設計[J]. 高校實驗室工作研究, 2016(1): 161-162. Jiang Xingdong, Wang Zhenkun. The design of rotational liquid apparatus to measure the gravitational acceleration and rotate speed[J]. Research of College Laboratory, 2016(1): 161-162. (in Chinese)

[2] 游艷琳, 熊建文. 單擺測重力加速度實驗近似處理的誤差分析[J]. 物理通報, 2013(5): 92-95. You Yanlin, Xiong Jianwen.The error analysis of the approximate treatment in the pendulum experiment[J]. Physics Bulletin, 2013(5): 92-95. (in Chinese)

[3] 管習文, 韋聯福. 單擺周期與地球半徑[J]. 四川師范大學學報(自然科學版), 1991(4): 133-134. Guan Xiwen, Wei Lianfu. The period of a simple pendulum and the radius of the earth[J].Journal of Sichuan Normal University(Natural Science), 1991(4): 133-134. (in Chinese)

[4] 史慶藩, 王榮瑤, 李林. 英漢大學物理實驗[M]. 北京: 兵器工業出版社, 2008.

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THE MEASUREMENT OF GRAVITATIONAL ACCELERATION USING THE MOMENT OF INERTIA APPARATUS

Wang Qiaochu Wang Chang Xiao Yunhuan Liu Wei Shi Qingfan

(Center of Physics Experiments, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081)

This paper introduces a new method to measure the gravitational acceleration. When a cylinder containing water rotates around its vertical central axis at a constant speed, the surface of water will form a paraboloid whose focal length is related to the gravitational acceleration and the rotational period. According to this phenomenon combined with the use of the moment of inertia apparatus, which is common in college laboratory, we can work out the gravitational acceleration by measuring the focal length and rotational period. In this way, the influence factors in the traditional pendulum experiment such as the mass of the rope, air resistance, conical pendulum, etc., can be avoided, which increases the accuracy of measurement. This method is applicable for college physics teaching, because it can increase students’ interest in experiments and has certain ornamental value.

gravitational acceleration; the moment of inertia apparatus; water; paraboloid

2017-01-21

教育部高等學校大學物理課程教指委教學研究立項項目(編號：DWJZW201409hb)。

王翹楚，王暢，肖云桓，北京理工大學物理學院2015級本科生。

王翹楚，王暢，肖云桓，等. 利用剛體轉動慣量實驗儀測量地球重力加速度[J]. 物理與工程，2017，27(5)：40-43.