應用GeoGebra軟件深入研究一道高考物理題
——等量同種點電荷連線中垂線上的場強研究

(江蘇省沭陽高級中學，江蘇 沭陽 223600)

·現代教育技術·

應用GeoGebra軟件深入研究一道高考物理題
——等量同種點電荷連線中垂線上的場強研究

殷正徐

(江蘇省沭陽高級中學，江蘇 沭陽 223600)

本文利用GeoGebra軟件研究了等量同種點電荷連線中垂線上的場強，從動態演示驗證規律、數形結合全面認識、數學運算求出極值等三個方面深入剖析，從定性到定量，從形象到抽象，由表及里，層層遞進，使學生對等量同種點電荷連線中垂線上的場強有深刻認識，提高了學生應用數學知識解決物理問題的能力。

GeoGebra軟件；同種電荷；電場疊加；數形結合

1 高考原題及分析

例題(2014年江蘇卷)：如圖1所示，一圓環上均勻分布著正電荷，x軸垂直于環面且過圓心O，下列關于x軸上的電場強度和電勢的說法中正確的是( )。

圖1

A.O點的電場強度為零，電勢最低

B.O點的電場強度為零，電勢最高

C.從O點沿x軸正方向，電場強度減小，電勢升高

D.從O點沿x軸正方向，電場強度增大，電勢降低

解析：根據微元法和對稱性容易得出：圓環軸線上的電場分布，與等量同種電荷中垂線上電場分布相似。電場強度的疊加原理是高中物理的重要知識點，也是高考熱點，在教學實踐中常以兩個等量同種(和異種)電荷的電場疊加為載體進行教學。如圖2所示，兩等量正電荷電量Q1=Q2=Q，以中點O為原點、在中垂線上建立x軸，由場強疊加原理可知，中點O處的場強為0，x軸上無窮處的場強也為0，而中間位置電場強度不為0，故中垂線上的場強分布特點：先增加，后減小。此模型如此經典，以致教師“老生常談”，學生“耳熟能詳”，其特點已內化為學生的常識。利用此“常識”，學生可以迅速排除C、D兩個選項，進而順利選出答案B，故筆者說這是一道簡單題。

圖2

當然，“簡單”是針對設計的問題而言，要真正弄懂其場強變化規律并非易事。在實際教學過程中，有很多學生對此“常識”提出質疑：電場強度的大小可能先增大后減小，然后再增大、再減小嗎？諸如此類的問題無法回避，必須深入研究。

有的老師用柯西不等式求極值[1]，有的老師用微積分進行求解[2][3]，有的老師描點作圖尋求規律[3]，筆者覺得這些方法可以解決此類問題，但缺點也很明顯：要么繁瑣耗時，要么超出學生能力，不適合在課堂教學使用。有沒有“多快好省”的方法呢？課程標準為我們指明了方向：“多媒體計算機已經顯示出它在科學教育中的巨大發展潛力。在物理課的學習中，應根據實際內容的需要，選用多種類型的多媒體輔助教學軟件，重視傳統媒體和計算機多媒體的有效利用，充分發揮它們在物理教學中的功能?！?/p>

GeoGebra軟件是一款結合幾何、代數、數據表、圖形、統計和計算的動態數學軟件，同時具有處理代數與幾何的功能，包括幾何畫板所有功能、兼具Excel常用功能和Flash部分功能。下面應用GeoGebra軟件從三個方面深入研究等量同種電荷中垂線上的電場強度分布。

2 動態演示驗證規律

圖3

筆者在教學實踐中發現：當點P移動時，觀察電場強度EP的變化情況比較困難，主要由兩個困難造成的：一是電場強度矢量的起點為點P，整個矢量會隨著點P的移動而移動，難以觀察其大小變化；二是EP始終處于變化之中，而人的短時記憶容量有限，學生會忘記之前的EP大小而無法與現在的EP進行比較，致使難以判斷其變化規律。第一個困難容易克服，只需在某個固定點畫一個矢量，使其大小方向始終與EP相同，改變點P的位置，觀察該矢量的變化規律即可，但是這樣處理以后困難二依然存在。

當然，不管如何延長x軸，也不可能拖動點P達到抽象的無窮遠處，由此而得到“先增大后減小”的規律多少會讓人感到不安，延伸向無窮遠過程的規律依然牽動著我們的心。

3 數形結合，全面認識

圖4

在獲取f(θ)圖形的欣喜之余，圖像上諸多未知信息又陷人于沉思：點P在何處EP取最大值，最大值又是多少呢？

4 數學運算求出極值

求函數極值有很多方法，如二次函數配方法、柯西不等式法、函數單調性法和導數法等等，其中導數法具有思路清晰、操作簡單、適用廣泛等優點。但對微積分剛入門的高中生而言，復雜函數求導并非易事，讓學生貿然計算可能會打擊其學習信心，得不償失。GeoGebra軟件既具有處理動態幾何和數學的能力，又具有強大的計算功能，不但可以進行簡單的數學運算、求出方程的根、對數據進行統計分析，還可以對函數進行微分與積分。

圖5

5 結語

國家中長期教育改革和發展規劃綱要(2010—2020年)提出：鼓勵學生利用信息手段主動學習、自主學習，增強運用信息技術分析解決問題能力。高中有很多重要但不容易講透的規律，如本文所述等量同種電荷連線中垂線的場強，筆者認為非常有必要借助諸如GeoGebra等軟件對其進行深入研究，消除學生的思維障礙，深化學生的思維，培養學生應用數學知識解決物理問題的能力，提高中學生的物理核心素養。

[1] 馮建躍.用初等數學方法求等量同種電荷中垂線上電場強度的極值[J].物理教師,2015,(11)：56-57.

[2] 谷良光.用導函數計算等量同種電荷連線中垂線上場強的最值[J].學園(教育科研),2013,(7):138.

[3] 費宏.兩等量同種點電荷連線的中垂線上場強極大點在哪里?[J].物理教師,1996,(6)：31-32.