關于陀螺運動原理的力學分析

◎ 文/孫林華

關于陀螺運動原理的力學分析

◎ 文/孫林華

陀螺會在繞支點做公轉時會產生一個與公轉方向垂直的力，力的方向與陀螺自轉方向有關，所以當陀螺受到重力影響時不會朝重力方向倒下，而是產生一個波浪形前進的運動。物理學沒有用力學的方法解釋陀螺運動不會由于重力倒下的原因，本文將用力學的方法分析陀螺為什么不會倒下，并且解釋發生進動和章動現象的原因。

如圖1所示，一陀螺在三維坐標系中旋轉，圓o代表陀螺旋轉面，線段L是陀螺的轉軸，abcdefgh是陀螺旋轉面的8個點a點位置最高，c點位置最低，b與d是最左最右的點，線段ef平行于線段ac，線段gh平行于線段ac，陀螺以一角速度逆時針運動。

通常認為陀螺的自轉會使陀螺有一個繞z軸的進動，而不會由于受重力影響有倒下的趨勢，這里首先假設陀螺會倒下，并且在圖中位置處已經有了一個倒下的角速度。由于受重力影響，角速度是在不斷增大的，這里取一固定時刻的角速度w來討論。為了方便計算，假設L軸位于xz平面內，那么陀螺在倒下的過程則會繞y軸做公轉的圓周運動，這時來計算此刻abcd點的公轉線速度，a點離y軸的距離為√L2+r2，c點也是√L2+r2，b點離y軸距離為L，d點離y軸距離也為L，則a與c的公轉線速度為w√L2+r2，b與d的公轉線速度為wL?？梢缘弥?，從a質點到b質點之間公轉線速度一直在變小。在陀螺繞y軸做公轉時，陀螺還在自轉。自轉會帶動a質點轉向b質點，a到b之間質點在角速度為w這一時刻都在做減速運動，質點做減速運動說明質點受到了阻力，產生了反向加速度。下面來討論質點對于陀螺的作用力的方向與大小。

陀螺每個質點的運動都是由多個速度合成的，包括繞支點的公轉，繞圓心o的自轉，由于自轉不會影響陀螺的運動，所以這里將速度分解，只討論質點公轉速度的變化，公轉速度大小變化由兩個原因產生，第一因為自轉導致的公轉速度的變化，第二受重力導致的公轉速度的增加，質點加速度a=(wR-(w+?w)r)/?t ,R為角速度為w時的公轉半徑，r為變化后的公轉半徑。將等式分解a= (w(R-r))/?t-?wr/?t，?t無限趨近0，等式變為a=wv-a1 ，v為角速度為w時半徑的變化速度，a1為此時由于重力產生的加速度，wv為陀螺自轉導致的公轉速度變化的加速度?？梢灾浪匈|點的合重力只會使陀螺公轉速度增加，所以就不討論重力的影響，這里只討論自轉導致的公轉線速度的變化產生的力。

如圖2所示，圓O1為陀螺點e與f繞y軸公轉軌跡，由于線段ef平行線段ac，所以ef兩點處于同一公轉的圓形軌道，分析e與f受力情況。

首先考慮兩點公轉線速度大小變化對陀螺的力，e的公轉線速度方向為e點所處的切線方向，f公轉線速度方向為f點所處的切線方向，a點到b點公轉速度在一直減小，所以e點的公轉線速度在減小，對陀螺的力為f1，與公轉線速度方向一致，b點到c點公轉線速度增大，所以f點公轉線速度在增大，對陀螺的力為f2，與公轉線速度方向相反。因為e點與f點相對y軸有相同的斜率，在e與f處半徑變化速度相同，所以e與f處線速度增大和減小的速率相同，所以加速度大小相同，所以f1等于f2，將f1分解為朝向ef的力f4和垂直ef的力f3，將f2分解為朝向ef的力f6和垂直ef的力f5，可以得知f4=f6，兩力抵消，則e與f由于線速度大小改變對陀螺的力為f3和f5，大小相等垂直陀螺面向上。

由此可知，由于公轉線速度的變化位于半圓abc內所有質點都會對陀螺產生向上的力。其次考慮e與f的離心力。e點對陀螺產生沿半徑方向朝向圓外的力f7，f點對陀螺產生沿半徑方向朝向圓外的力f8，由于e與f速度大小相同，半徑相等，所以f7=f8，f7與f8合力為垂直陀螺面朝上的力。

用相同的方法分析半圓adc，可以得出結果由于公轉線速度的大小變化位于半圓adc內所有質點都會對陀螺產生向下的力。公轉產生垂直陀螺面向上的離心力。

因為離心力對稱平衡，所以不會對陀螺運動產生影響，所以不考慮離心力，只討論公轉線速度變化產生的力。

如圖4所示abc面受垂直陀螺面向上的力，adc面受垂直陀螺面向下的力。

為了計算方便將abc面受到力記為f1，f1位于直徑bd上f1到陀螺面圓心的距離是L1,f1垂直陀螺面向上，adc面受到力記為f2，f2位于直徑bd上，f2到陀螺圓心的距離是L2,f2垂直陀螺面向下。以陀螺與地面接觸點為支點，根據杠桿原理從支點到動力作用線的距離為動力臂，則f1的動力臂長度為L1，f2的動力臂長度為L2，對陀螺產生的力f3，f3的阻力臂為L3。所以陀螺將產生一個圍繞支點的公轉。

如圖6所示，陀螺將沿圓q的軌跡運動，又因為受重力影響會偏離圓q，在圓q下方位置運動，大體方向為斜右下方。

根據前文分析陀螺向斜下運動而產生一個垂直于斜下方向并且朝向運動方向左側的力，所以當陀螺朝向一個方向做繞支點公轉時，會產生一個與公轉方向垂直方向朝運動方向左側的力。那么當陀螺向斜右下方運動，就會產生一個斜右上方的力f，f會提供沿陀螺面向上的力f1，沿陀螺面向右的力f2，當f1大于重力沿陀螺面向下的分力時，陀螺做減速下降運動，當陀螺向斜下運動速度為0時，會只有向右水平的一個運動速度，水平的運動速度提供向斜上的力，陀螺開始向斜的右上方運動，當陀螺向斜的右上方運動時，又會產生向斜的左上方的力，當斜左上方的力提供斜向上的分力小于重力時，做減速上升，最終向上的速度為0會再次有一個下落的運動。

大體軌跡如圖7波浪線所示，當軌跡上下抖動較小時，看上去只有只有一個沿水平方向的圓周運動。

綜上所述，陀螺做繞支點公轉時會產生一個與公轉方向垂直的力，力的指向與陀螺自轉方向有關，當陀螺逆時針轉動時，力的方向朝向運動方向左側，當陀螺順時針運動時，力的方向朝向運動方向右側，所以當陀螺受到重力影響時不會朝重力方向倒下，而是產生一個波浪形前進的運動。

（文章所述皆為作者本人觀點，如有問題，文責自負）