中等城市學區(qū)劃分最優(yōu)化

裴昌萍+馬文素+逯青玉

摘 要：隨著城市經濟的不斷發(fā)展及人口變化，學生數量增加，加之家長對優(yōu)質教育資源的需求，購買學區(qū)房是現行教育體制下的一個獨特的現象。針對以上情況，學校周邊小區(qū)學生入學應該遵循就近入學原則，用算法和矩陣、平均分配生源法來解決最優(yōu)學區(qū)劃分問題。參照劃定的區(qū)域就近入學，結合實際情況統籌協調，對分派入學有著實際的意義。

關鍵詞：學區(qū)劃分；中等城市；就近原則；算法；平均分配

中圖分類號：TU984.14 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）15-0239-02

“孩子為什么不能入讀家門口的學校？”“家長購買學區(qū)房”，是現行教育體制下的一個獨特的現象。隨著城市經濟的不斷發(fā)展及人口變化，學生數量增加，又由于外來務工人員的子弟，導致城市學生數量急劇增加，上學難，入學難，就近入學更難，如何解決這一問題，是擺在政府和教育主管部門的難題。由于城市入學困難因素很多，在這里我們考慮中等城市的學區(qū)劃分問題，針對學校周邊小區(qū)學生入學情況，不考慮人數限制，遵循就近入學的原則，用算法和矩陣給出最優(yōu)的學區(qū)劃分。考慮學校盡可能平均分配生源，利用平均分配生源法來解決最優(yōu)學區(qū)劃分。參照劃定的區(qū)域就近入學，結合實際情況統籌協調，對分派入學有著實際的意義。

在圖中，如果任意兩點都是連通的，那么這個圖稱作連通圖，如果給圖的每條邊規(guī)定一個方向，那么得到的圖稱為有向圖.輔助向量，它的每一個分量表示當前所找到的從起始點（即源點）到其他每個頂點的長度，為頂點。

1 基本引理

算法：從一個頂點到其余各頂點的最短路徑算法，解決的是有向圖中最短路徑問題。算法主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止.選擇，使 ，是從點出發(fā)求出的一條最短路徑上的終止節(jié)點。

平均分配生源：首先求出每個學區(qū)的人員分配比例，根據學區(qū)所在地畫出連通圖，根據連通圖每兩個學區(qū)人源所在，求解平均數，得出合理劃分。

2 舉例

某市需要對轄區(qū)所在小學進行學區(qū)劃分，哪些小區(qū)的學生去哪所學校上學。如圖1和表1是該區(qū)域的一個實際簡化，其中連接線表示有道路相通，連接線上數字表示兩地距離（單位百米），圓圈內數字是小區(qū)位置序號。該區(qū)域現有4個學校，分別位于圖1的2，6，13，15位置（可認為與所在小區(qū)距離為0）。

2.1 用算法和矩陣給出最優(yōu)的學區(qū)劃分

將學區(qū)劃分如圖2所示，每個區(qū)域當中的小區(qū)看作圖中的一個節(jié)點，各小區(qū)之間的距離看作圖中對應節(jié)點間的邊，各小區(qū)之間的距離看作對應邊上的權，所給小區(qū)之間的距離所成的網轉化為加權網絡圖，問題就轉化為在給定的加權網絡圖中尋找從給定點分別從2、6、13、15出發(fā)，走遍所有各個小區(qū)（本學校設定在該小區(qū)內，不能在另設的學區(qū)內就學）再回到給定點2、6、13、15點，使得總權（路程）最短，此即為生源就近入學的最優(yōu)解。

算法：最短距離計算過程。

（1）用帶有權值的一個矩陣表示含有18個節(jié)點的鄰接矩陣如圖3所示，設置=（2、6、13、15）學區(qū)為源點，其余小區(qū)為目的點，代表從節(jié)點到有向圖中其他節(jié)點的最短路程，設置初始值=，，為所有節(jié)點。

（2）選擇，是從點出發(fā)求出的一條最短路徑上的終止節(jié)點，令。

（3）修改起始節(jié)點到集合之間的最短路徑的長度值，如果，那么上學距離為最短。

（4）重復步驟2、3的操作次，最終得到從起始節(jié)點到其他節(jié)點的最短路徑，按照遞增的順序排列路徑的長度。

（特殊說明：現有7、8號小區(qū)都必須經過其他小區(qū)才能到達最近學區(qū)點上學，即在矩陣中為∞，根據圖1-1得知7、8號小區(qū)距離2號學區(qū)最近，所以應在2號學區(qū)點就學。）最終求得：在2號學區(qū)內就近入學的小區(qū)有1、3、5、7、8、9、10、11號小區(qū)；在6號學區(qū)內就近入學的小區(qū)有4、18號小區(qū)；在13號學區(qū)內就近入學的小區(qū)有12、14號小區(qū)；在15號學區(qū)內就近入學的小區(qū)有16、17號小區(qū)。

2.2 學校盡可能平均分配生源

如表2中2號學區(qū)所占比例為0.6028，15號學區(qū)所占比例為0.0798，此比例值差距太大，不符合平均分配生源的原則。

因此2→13學區(qū)內的人數所占總比例為0.2163；13→15學區(qū)內的人數所占總比例為0.2074；15→6學區(qū)內的人數所占總比例為0.2120；2→6學區(qū)的人數所占總比例為0.2624。

考慮到路程的原因，分配學員如下：

在2號學區(qū)上學的小區(qū)有8，9，10；在6號學區(qū)上學的小區(qū)有1，5，7，18；在13號學區(qū)上學的小區(qū)由3，11，12；在15號學區(qū)上學的小區(qū)有4，14，16，17。

3 結語

通過以上分析，第一種不考慮人數限制，遵循就近入學原則，通過計算，2號學區(qū)學校要接納大約60%的學生，其他三所學校共接納大約40%的學生，這不符合實際情況。第二種盡可能平均分配生源，把2號學區(qū)學生向6號、13號、15號學區(qū)學校進行分配。既能遵循就近入學原則，也盡可能平均分配生源，不造成教育資源的浪費。參照這種方式劃定的區(qū)域，再結合實際情況統籌協調，對分派入學有著實際的意義。

參考文獻

[1]趙靜，但琦.數學建模與數學實驗.北京：高等教育出版社，2014.endprint