函數最值的應用實例

劉君

陽光總在風雨后，請相信有彩虹，為什么只有在風雨后的明媚陽光下才有可能看見美麗的彩虹呢？大家都知道彩虹的出現與光是息息相關的，而法國數學家費爾馬在研究光線的反射和折射后得出結論：自然界總是通過最短的途徑發生作用的，叫“最小作用量原理”，而他的本質就是數學中的函數最值。

今天我們就利用數學建模的思想和方法，借助于最值的知識解釋這為什么雨后晴天才有可能看見彩虹？首先我們一起來分析彩虹的成因。古時候總有神跡等迷信的說法，現在看來可笑之極。其實我國有些古人就很注重觀察自然現象，對彩虹有了科學的解釋。沈括在在《夢溪筆談》中說：“虹，日中雨影也。日照雨，則有之。唐代張志和《玄真子》中說道：“背日噴乎水，成虹霓之狀。”可見，彩虹是由于陽光射到空中的水滴里，發生反射與折射造成的。

一般雨后空氣中含有一定的水蒸汽，由大量的水滴組成，當太陽光照在水滴表面，會發生光的折射和反射現象，而彩虹是光經過折射，反射，再折射的這條光路造成的，物理上把射入水滴的太陽光叫做入射光線，在小水滴里經過反射和折射出的光線叫出射光線。其實大家在高中時學習物理知識都知道，每一次反射和折射都是相伴發生的，因此這個過程伴隨能量的損失，而達到觀察者眼中的只有走這條路徑的光線，只是光線的一部分。

有的同學會問“為什么彩虹一般都出現在夏天呢？”那是因為夏天氣溫高，雨后空氣中含有一定量的小水滴，而冬天氣溫較低，在空中不容易存在小水滴，下陣雨的機會也少。所以出現彩虹的最好氣候是夏天雨后的晴天。好，有了這些氣候條件是不是就一定能看見彩虹了呢？不是吧，不是每個夏天雨后的晴天都能看見彩虹，這就還要看太陽，水蒸氣云，與人三者的相對位置，因此關鍵要看光線由入射到出射是怎樣偏離的。為了簡化我們假設空氣中的小水滴為球型。取一束光線進行光路分析，延長入射光線和反向延長出射光線，人眼看見的便是這個虛像點，看起來，像是光線被人為的折斷變向一樣，發生了偏離，這個入射光線和出射光線之間的夾角稱為偏離角D。

太陽光是一束平行光線，射到水滴表面，我們只考慮上表面的光線，下表面的光線對稱出射到空中，人不可能接受到。由于入射情況各有不同，產生的偏離情況也不同。那到底我們接受到那個角度的光線最可能看到彩虹呢？查閱資料可知，當某一波長的入射光線具有某一入射角時，出射光線的偏離角具有最小值，意味著，這個方向的出射光線最強，最容易看到明顯的彩虹。此因我們想找到最佳的觀測位置，本質上就是要找出偏離角關于入射角的函數，并討論其最小值問題。

通過以上分析下面我們進行模型假設，假設氣候條件是夏天雨后的晴天，空氣中的小水滴假設是球型，并假設α是入射角，β折射角，D為偏離角是關于α、β的函數。建立數學模型，當一束光以入射角α到達水滴表面A時，將有一部分光發生折射，形成折射角β，光線到達B以后有有一部分光反射，到內壁的第三個點C處，有一部分光再次發生折射。在整個過程中，水滴的入射光和最后的出射光形成了偏離角，它是由α、β決定的。下面我們利用幾何知識求出偏離角D關于α、β的函數，延長這條折射光線AB交EC于點F，構成三角形AEF，偏離角D是這個三角形的一個外交，由定理三角形一外交等于與它不相鄰兩內角和，所以，再看三角形CBF，這個角EFA又是S的一個外交，所以角，將角EFA帶入上式，偏離角D等于這三個角的和。而角EAF它等于α-β，因為角EFO與入射角α是對頂角，對頂角相等，所以角EAF它等于α-β，根據對稱性，角BCF等于角EAF都等于α-β。，所以偏離角D就等于化簡偏離角，大家注意這里入射角和出射角有限制，是介于0到.。這里有兩個未知數α、β，我們來尋找這兩者間有什么關系呢？由光的折射定律，折射率是等于入射角和折射角正弦的比值，所以，將β代入偏離角函數，這樣就找到了偏離角D關于入射角α的函數。通過前面的分析大家知道看見彩虹的時機，就是偏離角取最小值的時候，這樣實踐問題就轉化為求這個函數的最小值問題了。進行模型求解，通過模型分析大家知道了就是要求這個函數的最小值，按照上節課總結的解題步驟，首先要確定自變量的取值范圍，然后對函數求導，求出導函數，觀察導函數沒有不可導點，只需要令導數等于0，求駐點，大家不妨計算一下，得到0到區間內唯一的駐點這唯一的駐點是不是最小值點呢？這里有個特殊情況，在實際問題中，如果可導函數在區間內必有最大（小）值且函數在區間內只有唯一的駐點，則此駐點就是要求的最值點。最后得出結論偏離角的最小值點為。觀察最小值點，發現里面含有系數K，對他是折射率，通過資料查閱可以得到空氣與水的相對折射率是三分之4，代入計算的出α=59.4度，將最小值點代入原函數，得到偏離角最小值約為138度。

也就是說，當入射光和出射光形成的偏離角為138度時，最容易看見彩虹。為了更直觀的解釋，這里我們引入一個彩虹角，也就是當太陽光與地面水平時，觀看彩虹的仰角。顯然彩虹角等于偏離角的補角，這個彩虹角就是42度，這樣可以更形象的解釋，當太陽光線和人的視線夾角為彩虹角42度時，才可以看見彩虹。那為什么我們看見的彩虹是7彩的呢？

這是因為剛才是以白光的平均折射率得到的結果，其實太陽光本身含有不同頻率的色光，不同頻率的色光對于同一個介質的折射率并不相同，因此太陽光通過水滴時，不同顏色的光因折射率不相同而形成色散。

由于白光是由紅，橙、黃、綠、青、藍、紫7色組成，其中紅光的折射率最小，紫色的折射率最大，其它5中顏色的折射率按照這個順序介于兩者之間。如果分別把這7種光的折射率代入剛才的模型，可以求出7中光的彩虹角各不相同，紅光的為42.3，紫光的為40.6，其它的介于兩者之間，這就是為什么我們看見的彩虹分為紅，橙、黃、綠、青、藍、紫順序排列的原因。

同學們，是不是很神奇呢？最值在生活中無處不在，今天這個實例是最值在物理中的應用，其實最值還可以應用在生產中用料最省、經濟學中利益最大、成本最低等等等等。無論什么類型的最值問題其實解決過程都可以簡潔的概括為兩點：1、將實際問題轉化為數學模型；2、用合理的數學知識對模型進行求解并解釋現象。同學們知道了彩虹的成因，那我問問大家知不知道霓極其霓的成因呢？有興趣的同學可以課下查閱相關資料，用數學知識去深入了解它吧。endprint