基于分數階小波變換與QR分解的盲數字水印算法

李 茜 卓智海 汪毓鐸

（北京信息科技大學信息與通信工程學院，北京 100101）

學術探討

基于分數階小波變換與QR分解的盲數字水印算法

李 茜 卓智海 汪毓鐸

（北京信息科技大學信息與通信工程學院，北京 100101）

通過對現有的盲數字水印算法的研究，本文提出一種新穎的基于分數階小波變換(FRWT)和QR分解的盲數字圖像水印算法，相比于現有的基于DWT域數字圖像水印方法，該方法兼具分數階小波變換(FRWT)和DWT的優點，對數字水印處理具有更高的靈活性。仿真結果表明嵌入水印后的宿主圖像的峰值信噪比均高于40dB，充分說明該算法不僅可以很好地平衡水印的不可見性，而且對幾何攻擊具有較好的魯棒性。

數字圖像水印；分數階小波變換(FRWT)；分數階Fourier變換；QR分解

1 引言

隨著科技的發展，人們進入了一個能夠迅速獲取和交流信息的數字化、網絡化時代，在給人們帶來便利的同時，一些有價值的信息容易遭到復制、篡改。因此，如何識別信息的真偽、保護信息的版權等成了這個時代亟待解決的信息安全問題。作為對信息版權保護的一種有效途徑，數字水印技術應運而生，它分為空域水印技術和變換域水印技術。在變換域中嵌入水印不僅能提高水印的不可見性，而且其魯棒性要比空域的算法好，因此變換域水印技術更受關注。在變換域水印技術中，離散余弦變換(DCT)、離散小波變換(DWT)、離散傅里葉變換(DFT)、離散分數階傅里葉變換(DFRT)、極坐標諧波變換(PHT)以及離散線性正則變換(LCT)等應用廣泛，受到了很多學者的青睞[1-7]。DWT和其他變換相結合的水印方法既包含有DWT的多分辨率思想和時頻局域化等優點，也兼備其他變換的優勢，所以它們成為數字圖像水印領域的研究熱點。

近幾年出現了基于DWT和矩陣分解的水印技術，比如DWT和QR分解、奇異值分解(SVD)、LU分解、Schur分解等矩陣分解方法相結合，而且己經被證明基于DWT和矩陣分解的水印技術可以在不可見性和魯棒性之間做一個很好的平衡，特別是具有明顯的抗幾何攻擊效果[11–15]。分數階小波變換(FRWT)是經典DWT和分數階傅里葉變換(FRFT)的結合，它兼具DWT和FRFT的優點，具有在FRFT域多分辨表征圖像的能力[16,17]。這些良好的性質使FRWT成為一個圖像處理領域重要的數學工具之一，它己經被成功應用于圖像融合和圖像去噪。因此，非常有必要研究FRWT在數字水印領域潛在的應用優勢。

2 相關理論基礎

2.1 分數階小波變換

分數階小波變換的定義為[15]：

其中ψa,b(t)是傳統小波變換的母小波，a，b分別為尺度因子和時移因子。當θ=π2時，FRWT退化為經典的小波變換。

推廣一維FRWT到二維FRWT，其定義為：

2.2 QR分解

任意非奇異M×N階矩陣A可以分解為兩個矩陣的乘積，即

其中Q是M×N正交矩陣，R是N×N階非奇異上三角矩陣，而且除去相差一個對角矩陣因子外，QR分解是唯一的。由以上事實可知，對于雙精度圖像矩陣，無論是否為方陣，都可以進行QR分解。

3 圖像水印方法

本節將給出水印嵌入和提取的程序。以下假設X是M× N的原始宿主灰度圖像，每個像素點處的像素值為x(m,n)(1≤m,n≤M)。同樣假設W是N×N的二值水印圖像，且W中每個像素點處的像素值為w(i,j)(1≤i,j≤N)。

3.1 水印的嵌入

算法的具體步驟如下：

(1)將宿主圖像矩陣X拉成一列向量X'M2×1，并對其元素按從小到大排序得到Y'M2×1，記錄每個元素在X'中的初始位置。記為向量E。

(2)恢復向量Y'，得到一個M×M的矩陣，記為Y。

(4)分數域低頻子圖LLM/2×M/2劃分為不重疊的N2個方塊

(5)應用QR分解到上述的每一個子塊得到矩陣Qij和Rij，[Qij,Rij]=qr(bij)，其中Rij是一個上三角矩陣。

(6)按照以下方法嵌入二值水印到Rij的第一行Rij(1，：)，

(8)利用LLw和步驟(3)中得到的3個分數域高頻子圖，進行逆LCWT得到嵌入水印后的置亂圖像Yw。

(9)利用步驟(1)中記錄下的位置向量E對Yw進行還原得到嵌入水印的宿主圖像。

3.2 水印的提取

本小節將介紹水印提取的詳細步驟，其中會使用水印嵌入中得到的向量K和嵌入水印后的置亂圖像Yw，具體步驟如下：

(1)應用1級FRWT到Yw得到分數域的低頻子圖LL0和3個分數域高頻子圖。

(3)對每一個方塊進行QR分解得到2個矩陣QOij和ROij。

(4)利用ROij(1，：)矩陣的第一行ROij(1，：)，按如下方式提取水印圖像，

其中corrcoef(:，:)代表2個圖像的標準協方差。

4 實驗結果與分析

使用MATLAB-2014a軟件分析水印的不可見性和魯棒性。選用5幅大小為512×512具有不同紋理特征的標準測試圖像作為原始宿主圖像，如圖1(a)-(e)所示。使用大小為64×64的含有字符信息“USTB”的二值圖像作為嵌入的水印p=0.95。本文使用峰值信噪比(PSNR)、歸一化相關(NC)和結構相似度(SSIM)三個指標從不同方面衡量本方法水印的不可見性以及魯棒性，其中PSNR用來衡量嵌入水印的宿主圖像的視覺質量，PSNR值越大，說明水印方法對圖像的破壞越小，也意味著水印的不可見性越好。它的定義為：

其中f和fw分別代表大小為M×N的原始宿主圖像和嵌入水印后的宿主圖像。

NC和SSIM用來衡量提取出的水印與原水印的相似度，值越大說明兩者的相似度越高。他們的定義為：

其中w是原始水印圖像，w’是提取出的水印圖像。μw和μ'w是w和w'的期望，σw和σw'是w和w'的方差，σww'是w和w'的協方差，c1和c2是兩個保持除法成立的變量。

圖1 原始宿主圖像和水印圖像

4.1 水印的不可見性

水印在通常的視覺條件下是不可見的，所以水印的存在不會影響作品的視覺效果，水印的不可見性是考察水印方法優劣的重要的一個方面。本小節從以下2個角度考慮水印的不可見性：

(1)計算嵌入水印后宿主圖像的PSNR值：通常只有PSNR值大于40dB時，才能保證水印不可見性[20]；

(2)當保證嵌入水印后宿主圖像具有較高的PSNR值時，是否可以準確地提取出水印圖像。

基于以上考慮，嵌入水印圖像到圖1所示的5幅標準宿主圖像，采用不同的嵌入強度λ=10-20，得到嵌入水印后宿主圖像的PSNR值，為了直觀地觀察數值變化趨勢，以λ為自變量，PSNR值為因變量繪制函數圖像，如圖2所示。從圖2中可以得到隨著λ的增大，PSNR值在減小，當λ=20時，PSNR的值小于40dB，所以只要λ＜20都可以，所以實驗中選取λ=15作為嵌入強度值，得到嵌入水印的宿主圖像后，計算其PSNR值。提取相應的水印列舉在表1的第一行和第三行，并計算相應的NC和SSIM值，見表1。分析表1中的圖像及數據，可以得到：一方面，嵌入水印后的宿主圖像視覺質量很好，意味著水印的不可見性很好；另一方面，提取出的水印清晰，與原水印圖像比較并未有明顯誤差，這說明水印提取的準確性較高。從客觀數據方面，PSNR的值均高于40dB，符合要求。NC和SSIM值都為1，這說明提取出的水印與原水印相似度很高，與視覺觀察得到的結果是吻合的。

圖2 基于不同測試圖像得到的峰值信噪

表1 嵌入水印的5幅宿主圖像以及相應提取到的水印

4.2 算法的魯棒性

選用Lena圖像作為測試圖像，分別對圖像進行旋轉、放縮來驗證算法的魯棒性。為比較本文算法與文獻[13]和[16]所提算法的性能，同樣采用具有“USTB”字符意義的二值圖像作為水印圖像，驗證不同算法2種典型攻擊的魯棒性。以下簡記本文所提算法為FRWT+QR，文獻[16]所提算法為QR，文獻[13]所提算法為DWT+QR。

4.2.1 旋轉魯棒性

首先選取旋轉的角度從0o變化到90o，以5o為間隔，分別基于3種方法提取水印，得到的水印圖像分別見圖3的(a)，(b)和(c)。從圖3中可以看出，在旋轉攻擊下，3種水印方法均不能完全提取水印，但是基于本文所提出的水印方法得到的水印圖像的誤差僅出現于文字的四周，并不影響文字的觀察，而其它2種方法的誤差分布于整個圖片，影響文字的觀察。其次，為了更加精確地比較3種方法的性能，進一步選取其中的10幅計算提取出的水印圖像與原水印圖像之間的NC和SSIM值，見表2。為了直觀地觀察隨著角度的增加NC和SSIM值的變化趨勢，以旋轉角度為自變量，NC和SSIM值分別為因變量繪制曲線，見圖4(a)和(b)。從圖4可以看出，隨著旋轉角度的增加，NC和SSIM值總體上具有對稱性，本文所提方法NC值略高于其它2種方法，本文所提方法的旋轉魯棒性較好。

圖3 旋轉攻擊下不同方法提取出的水印

表2 旋轉攻擊下得到的NC和SSIM值

圖4 在旋轉攻擊下三種不同方法的性能比較

4.2.2 放縮魯棒性

首先選取放縮比例從0.1變化到1，以0.1為間隔，分別基于3種方法提取水印，得到的水印圖像如圖5所示。提取出的水印圖像與原水印圖像之間的NC和SSIM值，見表3。并且為了直觀地觀察隨著放縮比例的增加NC和SSIM值的變化趨勢，以放縮比例為自變量，NC和SSIM值分別為因變量繪制曲線，見圖6(a)和(b)。從圖5可以看出，在放縮攻擊下，當放縮比例大于0.2時，基于本文所提方法提取到的水印清晰可見，而基于其它2種方法得到的水印模糊，無法辨認水印內容。從圖6和表3中可以得到，隨著放縮比例的變大，NC和SSIM值總體上在變大，當放縮比例為1時，也就是說沒有攻擊時，達到最高值1。本文所提方法NC和SSIM值上升的速度更快，而其它2種方法上升速度緩慢且每一個值均低于本文所提方法。綜合以上分析，相比于其它2種方法，本文所提方法的放縮魯棒性更好。

圖5 放縮攻擊下不同方法提取出的水印

表3 縮放攻擊下得到的NC和SSIM值

圖6 縮放攻擊下三種不同方法的性能比較

5 結論

由于FRWT具有的FRFT域多分辨表示圖像的能力，本文提出一種基于FRWT和QR分解的新穎數字圖像水印方法。實驗結果表明，嵌入水印后的宿主圖像的PSNR值均高于40dB，說明該方法具有良好的水印不可見性，并且當嵌入水印的宿主圖像遭到不同類型的攻擊時，仍然可以快速有效地提取到清晰的水印圖像，綜合以上分析可知本方法很好地平衡了水印的不可見性和魯棒性，尤其對于幾何攻擊如旋轉和放縮具有較好的魯棒性。

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Blind Digital WatermarkingAlgorithm Based on FRWT and QR Decomposition

Li Qian Zhuo ZhihaiWang Yuduo
(Beijing Information Science and Technology University,Beijing 100101)

This paper presents a novel method based on the blind digital image watermarking methods of FRWT and QR decomposition.Compared with the existing DWT domain digital image watermarking method,this method combines the advantages of both FRWT and DWT,which has better flexibility.The simulation results show that the PSNR value of the host image embedded with the watermark is higher than 40dB,which fully demonstrates that the algorithm can not only balance the imperceptibility of the watermark,but also has better robustness against geometric attacks.

digital image watermarking;Fractional Wavelet Transform(FRWT);Fractional Fourier Transform;QR decomposition

TP391

B

1008-6609(2017)07-0001-06

李茜（1991-），女，河北保定人，碩士，研究方向為數據采集與信號處理、分數域小波變換。

北京市支持中央在京高校共建項目，項目編號：504160214；北京信息科技大學校基金，項目編號：1425011；北京信息科技大學2016年度教學改革立項資助，項目編號：2016KGYB20。