習題設計與思維培養

【摘 要】本文通過對習題的精心設計，從四個方面來闡述如何培養學生的思維能力，啟迪學生的智慧。

【關鍵詞】變式設問；深刻性；一題多解；廣闊性；變換習題；創新性；多變習題；變通性

培養學生的思維能力是數學教學的目的之一，在數學教學中思維能力的培養有賴于對數學問題的解決，而數學問題一般表現為習題形式，所以習題教學是培養學生思維能力的重要途徑。在習題教學中，習題設計是數學教師的經常性工作，習題設計技巧的高低不僅直接影響著學生的積極性，而且關系到學生創造性思維的訓練和培養。因此應重視習題設計技巧即重視編擬設計一些訓練學生創造思維品質的習題，以促進學生多想、多疑、啟迪學生的智慧。本文就通過習題設計有效 地培養學生思維談一些具體做法，供參考。

一、變式設問，培養思維的深刻性。

案例一：如圖1線段AB（|AB|=2a）的兩個端點A、B分別在x軸、y軸正半軸上滑動，求△AOB的最小面積。

變式1：如圖1直線過點p（2，1）分別交x軸、y軸正半軸A、B兩點。探討①求△AOB的面積何時最小？②△AOB的周長何時最小？③線段AB的長何時最短？

變式2：如圖2線段AB（|AB|=2a）的兩個端點A、B分別在兩射線了L1：2x-y=0（x≥0），L2：2x=y=0（x≥0）上滑動，求△AOB的最小面積。

變式3：如圖3直線過點p（2，1）分別交兩射線L1：2x-y=0（x≥0），L2：2x=y=0（x≥0）A、B，求△AOB的最小面積。

變式4：如圖4已知與圓C：（x-r）2+（y-r）2 =r2相切的直線交x軸、y軸正半軸A、B兩點，O為原點。當切線L繞圓C轉到時你覺得那些問題值得我們去探索？（提出開放性問題）探討①△AOB的面積有無最值？是最大值還是最小值？②△AOB的周長有無最值？是最大值還是最小值？③線段AB的長有無最值？是最大值還是最小值？④|OA|+|OB|有無最值？是最大值還是最小值？⑤AB中點的軌跡。設問：中點的軌跡是什么？漸近線方程是什么？過中點作漸近線的平行線所圍成平行四邊形是常數嗎？

變式5：（擴展）如果我們把圓擴展到橢圓或雙曲線，上述哪些性質還可以延續？哪些性質有所變化？

二、一題多解，靈活運用，培養思維的廣闊性。

案例二：如圖5在正方體中，求證：AC1⊥BD。設問：1.AC1與BA1的關系如何？2.AC1與DA1的關系如何？3. AC1與面BDA1的關系如何？4.AC1還與哪個面垂直？5. 四面體C1-ABC中有多少個直角三角形？

三、變換習題，培養思維的創新性。

學生思維的創新性主要表現在學習數學過程中善于獨立思考和分析問題，善于發現矛盾，提出問題，有探索和猜想的創新精神。

案例三：圓柱的直徑和高都等于球的直徑。求證：⑴球的表面積等于圓柱的側面積；⑵球的表面積等于圓柱的表面積的；此例題改編成阿基米德的數學碑文《論球與圓柱》，還原知識的生長過程。碑文的內容“如果在圓柱內有一個直徑與圓柱體等高的內切球，則圓柱的表面積和體積分別等于球的表面積和體積的 。”怎樣改編？

四、多變習題，培養思維的變通性。

設計多變型習題是指教師在習題教學中不要就題論題，要在原題的基礎上不斷變換問題情境，使之變為更多的有價值、有新意的新問題。使更多的知識得到應用，從而獲得“一題多練”“一題多得”的效果，使學生思維的變通性得到培養和發展。

案例四：求曲線y2=-4-2x上與原點距離最近的點的坐標。答案（-2，1）拋物線的頂點。

變式1：求曲線y2=4-2x上與原點距離最近的點的坐標。答案（1，±）此點不是拋物線的頂點，拋物線對稱軸上的點到拋物線最近距離不一定在拋物線的頂點處。學生可能會用圖像法直接觀察出該點在頂點處。此題設計目的是通過辨析，揭示問題的實質，培養思維的準確性。

變式2：求曲線y =-4-2x上與A（a，0）距離最近的點的坐標。答案a≥-3時（-2，0），a<-3時（a+1，±）本題實際上是前兩題的歸納和總結。

變式3：拋物線C1：y2=-4-2x與動圓C2：（x-a）2+ y2=1沒有公共點，求a的取值范圍。答案a<-3 ，a>-1說明拋物線C1：y2=-4-2x與動圓C2 ：（x-a）2+ y2=1的位置關系有兩種，內部和外部，如果變為只有一個公共點呢？則引出變式4：一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數解析式是y=（0≤y≤15）在杯內放一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，求玻璃球的半徑r的取值范圍？答案 r≤1，聯系實際增強應用意識。

在數學習題教學中如何進行創造教育是一個較大的理論課題，又是我們每個數學教師所面臨的最緊迫的實際問題。需要我們去領會和研究，本文只是對該課題的研究作出一個初步的嘗試，所提出的也只是很小一部分，還有待于深入地進行理論研究和探討。

最后，用美國數學家波利亞的話作為結束語：“一個專心備課的教師能拿一個有意義的但不太復雜的題去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題就好象通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域。”

參考文獻：

[1]《數學》（全日制普通高級中學教科書）.人民教育出版社中學數學室編著.

作者簡介：劉建寧（1967.12—）女，遼寧本溪人，從事數學教學工作，講師。endprint