揭示數學本質 發展數學思維

周毅

[摘 要] 學習數學更重要的是學習數學知識的本質和發展數學思維，所以提高課堂效率不僅要研究“怎樣教”，更要關注“教什么”.

[關鍵詞] 有效教學；數學本質

俗話說“吃什么比怎樣吃更重要”，同樣，有效教學不僅要關注“怎樣教”，更要關注“教什么”. 前者關注教學形式，而后者關注教學內容，教學形式服務于教學內容. 從“教什么”的視角來看提升教師對數學學科本質的把握是提高數學課堂有效性的重要途徑，有了對數學知識本質的深刻理解，才有課堂上教師對學生學習過程的關注，進而提高課堂效率，實現有效教學. 本文通過有理數的乘法和方程本質及混合運算中先乘除后加減的數學本質的理解解析，來闡述如何把握學科知識本質，實現有效教學.

案例一：對“有理數乘法”數學本質的理解

有理數的乘法是一種規定，是人為定義的，它的正確性不是源于邏輯證明，而是依賴于數學和諧和發展的需要.

在自然數集上，規定乘法是數自身連加的縮寫，如3+3+3+3=3×4=12，且乘法滿足交換律和分配律，有理數集合上的乘法是自然數集的推廣，推廣的工具是交換律和分配律.

乘法是加法的簡便運算，對于“乘數是正數”的情況，即“正數乘正數”和“負數乘正數”很好理解；如4×3表示3個4相加；（-4）×3是3個-4加起來，所以結果是-12. 按照這個規定，第一個乘數表示連加的有理數，第二個乘數表示連加的個數，乘積表示連加的結果.

對于“乘數是負數”的情況，沿用“第一個乘數自身連加”是行不通的，這就必須從負數的本質入手——負數與正數表示相反意義的量，所以“第二個乘數為負數”時，就可以表示為“第一個乘數自身連減”，如4×（-4）表示4個4連減，即4×（-4）=-4-4-4-4=-16；（-4）×（-4）表示4個-4連減，即（-4）×（-4）= -（-4）-（-4）-（-4）-（-4）=16. 同乘數是正數的情況類似，第一個乘數表示連減的有理數，第二個乘數的相反數表示有理數的個數，乘積表示連減的結果. 易驗證這種推廣滿足交換律和分配律.

總之，基于對“乘法是加法的簡便運算”“第一個乘數表示連加的有理數，第二個乘數表示連加的個數，乘積表示連加的結果”“負數與正數表示相反意義的量”這些知識的本質理解，突破了“負負得正”這一教學難點，這更是把握知識本質的一種推廣和應用. 故只有把握了知識本質，我們的教學才能返璞歸真、言之有理，學生才能應用和有所創新.

案例二：對方程教學本質的理解

學習方程的價值在于會用方程解決問題，重點就是讓學生掌握“建模”思想，學會“化歸”方法. 其中，前者是列方程的重點，后者是解方程的重點. 在教科書中，對方程的定義是“含有未知數的等式”，這是一個形式定義，它的嚴謹性有很多值得商榷的問題（可以參見陳重穆《淡化形式 注重實質》一文），而筆者認為形式的定義關鍵是不能把握方程的本質.

方程是描述現實世界中等量關系的一種工具. 具體來說，方程就是描述現實世界中與數量有關的兩個故事，其中用字母表示未知量. 這兩個故事有一個共同點，在這個共同點上數量相等. 即對同一個量用兩種方式來表達. 這是方程的本質，也是列方程的基本原則.

例1 在一個房間里，有4條腿的椅子和3條腿的凳子共16個，如果椅子腿和凳子腿加起來共60個，有幾把椅子和幾個凳子？

分析 方程的特點是用字母表示數，這個數就叫未知數. 如果用x表示椅子的數量，那么凳子的數量就是16-x. 根據同一個量用兩種方式加以表示：總腿數可以用60表示，總腿數還可以用椅子的腿數加凳子的腿數表示，即 60=總腿數=椅子的腿數+凳子的腿數，抽象成方程：60=4x+3×（16-x）.

從這個列方程的過程中學生會更好地體會方程的本質，感悟到方程是如何描述現實世界中的等量關系的.

例2 某商店對某種照相機的售價做了調整，按原價的八折出售，此時的利潤為14%，若此種照相機的進價為1200元，則該照相機的原售價是多少元？

分析 如果用x表示原售價，則根據同一個量（利潤）用兩種方式來表示可構造方程：利潤可以由利潤率乘進價表示，利潤還可以用售價減進價表示，即利潤率×進價=利潤=售價-進價，可抽象成方程：0.8x-1200=14%×1200.

總之，基于以上對方程本質的探究可以看出，數學教學不能僅限于形式化的表達，還要強調對數學本質的理解. 只有如此，學生才能學得輕松高效. 更重要的是，掌握了知識本質，才能促成正遷移形成技能，也唯有如此，課堂教學才能真正實現從有效到高效.

著名教育學家張奠宙教授說：“一個數學教師專業成長的核心是對數學學科知識本質的把握.”

案例三：“混合運算中先乘除后加減”的數學本質的理解

在混合運算中，關于運算次序有兩個基本法則：有括號，先算括號中的算式；沒有括號，先乘除后加減. 顯然，一部分教師會說這兩個基本法則是一種規定，可是為什么要這樣規定？這樣規定合理嗎？那么，合理性表現在哪里呢？或者說這樣規定的數學本質是什么？

例3 操場上原來有3名同學，又來了一隊同學，這隊同學每排有2名同學，共有4排，問現在操場上有多少名同學.

分析 這個問題中包含了兩個故事，一是原來的同學，二是后來的同學，所以同學數=原來的同學+后來的同學=3+2×4.

可以看出，先算乘法是為了完成一個故事：后來的同學數，因此可以看出所有的混合運算的本質是講述兩個或兩個以上的故事，而乘法或除法是在完成其中的一個故事. 即先計算每一個具體的故事，然后再計算整體的故事，這就是混合運算的數學本質，用數學語言描述就是先乘除后加減.

近年來，實際教學中的教學本質常被兩種活動所掩蓋，一種是過度的形式化，把光彩照人的數學用“X光”照成了一副“骨架”，另一種是教條式的教學改革，只圖表面熱鬧，缺乏效率，走過場.

實際上，數學教育的核心是體現“數學思維本質”和“數學知識本質”的教學，新課標下的高效課堂在各地如火如荼地進行，但不管如何變化，作為數學老師，應該堅持一個原則——注重數學本質的揭示，這是一切數學活動的根，是數學教學的立足根本.

總之，“揭示數學本質，發展數學思維”是數學教育的靈魂和教學的永恒主題.