應用廣泛的三角函數

楊志敏

(甘肅省靖遠縣第七中學，甘肅 白銀 730600)

應用廣泛的三角函數

楊志敏

(甘肅省靖遠縣第七中學，甘肅 白銀 730600)

本文主要討論了三角函數在四邊形、圓和實際生活中的應用，通過構建直角三角形，運用三角函數知識解決問題，這類問題難度適中，在中考中的考查非常頻繁.

三角函數;四邊形;圓;實際生活

三角函數的應用一直是中考中的熱點，這類問題一般是中檔題，也是拿分的重點.解決此類問題需要用到轉化的數學思想，將原本無法直接通過三角函數解決的問題進行轉化，從而通過三角函數的知識解決問題.

一、四邊形中的三角函數

三角函數與在四邊形中的應用是中考中的重要考點，通過四邊形的特殊性質，可以構造出直角三角形.在所構造的直角三角形中，只要知道相應的邊長，未知的三角函數問題自然就迎刃而解了，下面的例子就是通過構造直角三角形來解決三角函數的典型例題.

例1 如右圖所示，圖中的網格是由6個大小和形狀完全相同的菱形組成，菱形的頂點稱為格點.現在已知菱形的一個角(∠O)為60°，A、B、C都是格點上的點，那么tan∠ABC的值是____.

分析 如圖，連接EA，EC，那么根據菱形的相關性質，可以得到∠AEF和∠BEF的度數.接著可以將菱形的邊長設為m，用關于m的代數式表示出各邊的長度，通過構造出特殊的三角形，可以求出tan∠ABC的值.

評注 本題主要考查三角函數在菱形中的應用，通過菱形的特殊性質，可以解決三角函數的問題.對于這道題，解題的關鍵是添加輔助線來構造直角三角形，通過構造出的直角三角形，可以求出三角函數的值.

二、圓中的三角函數

三角函數在圓中的應用在中考中的頻率很高，主要通過圓周角定理以及解直角三角形來考查.這類問題的解決往往需要添加輔助線，構造出新的直角三角形，將原來無法直接求解的問題轉化，使得問題的解決變得簡單便捷.

評注 本題主要考查了三角函數在圓中的應用，通過圓周角定理以及勾股定理將問題解決.本題的關鍵在于添加輔助線，通過添加的輔助線將無法直接求解的∠A轉化為∠D，將所要求的角構建到一個直角三角形中.

三、實際生活中三角函數

分析 對于此類問題，關鍵是構建一個直角三角形，在所構建的直角三角形中，通過三角函數的知識對問題進行求解.而本題中的堤壩高BC與地面是垂直的，所以可以直接利用已知條件中的直角三角形，而迎水坡AB的坡比和BC的高度都是已知的，所以易得AB的長度.

評注 對于此類問題，應該首先觀察題目中的已知條件中是否有直角三角形，如果有的話就直接通過三角函數進行求解，省去了許多麻煩；如果沒有現成的直角三角形，需要添加輔助線構造出直角三角形，通過直角三角形來對問題進行求解.

綜上所述，三角函數在初中數學中的應用非常廣泛，解決此類問題的關鍵是構建直角三角形，然后運用三角函數的知識解決問題，對于一些要添加輔助線的問題，比較有難度，需要學生平時多加練習，做好積累，才能很好地掌握這類知識.

[1]陳素和.銳角三角函數考點例析[J].初中數學教與學,2017(02).

[2]葉紀元.網格中格點問題的思路探究[J].新高考,2017(02).

[責任編輯：李克柏]

2017-06-01

楊志敏(1979.8)，男，甘肅靖遠，中學二級教師，本科，從事初中數學課堂授課策略.

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1008-0333(2017)20-0037-02