導數的應用錯例解析

王乾兵

(山東臨沂臨港經濟開發區臨港一中，山東 臨沂 276624 )

導數的應用錯例解析

王乾兵

(山東臨沂臨港經濟開發區臨港一中，山東 臨沂 276624 )

導數作為一種工具，在解決數學問題時極為方便，但是筆者在教學過程中，發現導數的應用還存在許多誤區.

導數，求最值，求單調區間，單調性.

一、導數的定義理解不清

二、f ′(x0)為極值的充要條件理解不清

例2 函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a、b的值.

錯解f′(x)=3x2+2ax+b,由題意知f′(1)=0,且f(1)=10,即2a+b+3=0,且a2+a+b+1=10,解之得a=4,b=-11 ,或a=-3,b=3.

剖析 錯誤的主要原因是把f′(x0)為極值的必要條件當作了充要條件，f′(x0)為極值的充要條件是f′(x0)=0且x0附近兩側的符號相反.所以后面應該加上：當a=4,b=-11時f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),在x=1附近兩側的符號相反，∴a=4,b=-11.

當a=-3b=3時f′(x)=3(x-1)2, 在x=1附近兩側的符號相同，所以a=-3,b=3舍去.(a=4,b=-11時，f(x)=x3+4x2-11x+16的圖象見下面左圖;a=-3,b=3時f(x)=x3-3x2+3x+9的圖象見下面右圖)

三、函數的單調區間不完善

剖析 錯解錯在對函數在x=1處是否連續沒有研究，顯然函數在x=1處是連續的，所以函數的單調遞增區間是(0，+∞).對于f′(x) >0(或f′(x) <0)的解集中的斷開點的連續性，我們要進行研究，不能草率下結論.

四、函數單調的充要條件理解不清

五、求函數的最值沒有考慮函數的不可導點

六、求函數的極值沒有考慮函數的不可導點

當x=1時，f′(x) 在x=1附近兩側的符號相反，左正右負，∴x=1是函數的極大值點

剖析 錯誤的主要原因是解題過程中忽略了對函數的不可導點的考察，因為函數的極值可以在定義域內導數為零的點或不可導點取得.所以后面還應該加上：在定義域內不可導的點為：x1=0,x2=2 ，經計算，f′(x)在x1=0附近兩側的符號相反，左負右正，f′(x)在x2=2附近兩側的符號相反，左負右正， ∴x1=0和x2=2是函數的兩個極小值點.∴函數的極大值為f(1)=1,極小值為f(0)=f(2)=0.(函數的圖象見上圖)

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中學.普通高中課程標準實驗教科書(數學必修5)[M].北京：人民教育出版社，2008.

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

王乾兵，男，山東日照人，中學一級數學教師，曲阜師范大學本科畢業，主要研究方向是中學數學及應試能力.

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1008-0333(2017)19-0030-02