研究一道2017年清華大學能力測試數學題

甘志國

(北京豐臺二中,北京 100071)

研究一道2017年清華大學能力測試數學題

甘志國

(北京豐臺二中,北京 100071)

本文對2017年清華大學能力測試數學題中的一道集合試題，給予了研究，得到了一般結論.

研究;清華大學自主招生;集合;整數性質

2017年清華大學能力測試已于2017年1月14日舉行，試題包括數學與物理兩部分，每部分考試時間均為90分鐘，學生均在電腦上作答.

數學試題是40道選擇題(均為不定項選擇題)，且這40道題的順序對于考生不是固定的(由電腦隨機分配給每位考生).

本文將對數學試題中最新穎的一道作詳細研究.

題目 若存在滿足下列三個條件的集合A,B,C，則稱偶數n為“萌數”：

(1)集合A,B,C均為集合M={1,2,3,…,n}的非空子集，A∩B=B∩C=C∩A=?，且A∪B∪C=M；

(2)集合A中的所有元素均為奇數，集合B中的所有元素均為偶數，集合M中的所有3的倍數都在集合C中；

(3)集合A,B,C中所有元素的和均相等．

則下列說法中正確的是( ).

A．8是“萌數” B．60是“萌數”

C．68是“萌數” D．80是“萌數”

解 ACD．下面用SX表示非空集合x中所有元素的和.

由“萌數”n為偶數(由(1)中的A,B,C均為非空集合，可得n≥3)，可得“萌數”n只可能是6k,6k+2(k∈N*),6k+4(k∈N)的形式，進而可得n只可能是6k,6k+2(k∈N*)的形式.

若n=6k(k∈N*)，由三個條件可得

矛盾！所以n只可能是6k+2(k∈N*)的形式(得選項B錯誤).

設C′={3,6,9,…,6k},A′={2m-1|m∈N*,2m-1∈M,且2m-1?C′},B′={2m|m∈N*,2m∈M,且2m?C′}.由條件(1),(2)可得C′?C,A?A′,B?B′.

還可得

SC′=3(1+2+3+…+2k)=6k2+3k.

再由容斥原理，可得

SA′=[1+2+3+…+(6k+2)]-2[1+2+3+…+(3k+1)]-3(1+2+3+…+2k)+6(1+2+3+…+k)

=6k2+6k+1,

SB′=[1+2+3+…+(6k+2)]-[1+3+5+…+(6k+1)]-3(1+2+3+…+2k)+3[1+3+5+…+(2k-1)]

因為SA=SB=SC=6k2+5k+1，所以把集合A′中和為k的若干個元素取出來剩下的元素組成的集合就是A;把集合B′中和為k+1的若干個元素(因為集合B′中的元素均是正偶數，所以當n=6k+2(k∈N*)是“萌數”時，k必定是正奇數2t+1(t∈N)，因而n只可能是12t+8(t∈N)的形式)取出來剩下的元素組成的集合就是B.把這兩次取出來元素都放入集合C′后得到的新集合就是C.

當k=2t+1,n=12t+8(t∈N)時，可得A′={1,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…,12t+1,12t+5,12t+7},B′={2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,…,12t+2,12t+4,12t+8},C′={3·1,3·2,3·3,…,3·(4t+2)}.

ⅰ)當t=3l(l∈N)時，k=6l+1,n=12·3l+8(l∈N)，可得A′={1,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…,36l+1,36l+5,36l+7},B′={2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,…,36l+2,36l+4,36l+8},C′={3·1,3·2,3·3,…,3·(12l+2)}.易知k=6l+1,k∈A′;k+1=6l+2,k+1∈B′，所以選A=A′{6l+1},B=B′{6l+2},C=C′∪{6l+1,6l+2}后，可得集合A,B,C滿足題設，所以12·3l+8(l∈N)均是“萌數”.

ⅱ)當t=3l+2(l∈N)時，k=6l+5,n=12(3l+2)+8(l∈N)，可得A′={1,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…,36l+25,36l+29,36l+31};B′={2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,…,36l+26,36l+28,36l+32};C′={3·1,3·2,3·3,…,3·(12l+10)}.

易知k=6l+5,k∈A′;k+1=6l+6=2+(6l+4),2,6l+4∈B′，所以選A=A′{6l+5},B=B′{2,6l+4},C=C′∪{2,6l+4,6l+5}后，可得集合A,B,C滿足題設，所以12(3l+2)+8(l∈N)均是“萌數”.

ⅲ)當t=3l+1(l∈N)時，k=6l+3,n=12(3l+1)+8(l∈N)，可得

A′={1,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…,36l+13,36l+17,36l+19},B′={2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,…,36l+14,36l+16,36l+20},C′={3·1,3·2,3·3,…,3·(12l+6)}.易知k+1=6l+4,k+1∈B′.因為k=6l+3,k?A′,A′中的任兩個相異元素之和均是偶數，當l=0,1,2時，k=3,9,15均不能表示成A′中的若干個兩個相異元素之和(得此時12(3l+1)+8不是“萌數”)；當l≥3(l∈N)時，k=6l+3=1+7+(6l-5)(6l-5≥13),1,7,6l-5∈A′，所以選A=A′{1,7,6l-5},B=B′{6l+4},C=C′∪{1,7,6l-5,6l+4}后，可得集合A,B,C滿足題設，所以此時12(3l+1)+8(l≥3,l∈N)均是“萌數”.

問題 對于本題，當偶數n是“萌數”時，求無序集合A,B,C的組數MSn.

由此結論，可得答案.且還可得：選項A正確，且MS8=1，其中A={5,7},B={4,8},C={1,2,3,6}.選項C正確：且MS68=2，其中A={1,5,7,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59},B={2,10,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58},C={3,4,6,8,9,11,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60}；或A={1,5,7,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59},B={4,8,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58},C={2,3,6,9,10,11,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60}.

選項D正確：且MS80=6，其中A={11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={10,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,…,75,78};或A={11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={2,8,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={1,3,4,5,6,7,9,10,12,15,18,21,24,…,75,78};或A={11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={2,4,8,10,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={1,3,5,6,7,9,12,14,15,18,21,24,27,…,75,78};或A={1,5,7,11,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={10,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={2,3,4,6,8,9,12,13,15,18,21,24,27,…,75,78};或A={1,5,7,11,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={2,8,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={3,4,6,9,10,12,13,15,18,21,24,27,…,75,78};或A={1,5,7,11,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={2,4,8,10,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={3,6,9,12,13,14,15,18,21,24,27,…,75,78}.

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中學.普通高中課程標準實驗教科書(數學選修2-1)[M].北京：人民教育出版社，2008.

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

甘志國(1971.12-)，男，湖北竹溪人，北京豐臺二中高級教師，中學特級教師，研究生，從事數學教育、解題研究.

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1008-0333(2017)19-0006-02