談數列中的數論問題

陳 飛

(江蘇省如皋市長江高級中學,江蘇 南通 226500)

談數列中的數論問題

陳 飛

(江蘇省如皋市長江高級中學,江蘇 南通 226500)

在高中數學《數列》中，經常出現滿足一定條件下的數列項的存在問題，或求解涉及到整數n的不定方程，可以歸納為數論的基本問題.在近幾年全國各省市的高考數學中，也時常出現上述問題.下面結合具體實例，談談對這類問題的處理方法.

高中數學；數列

一、利用合數的分解定理

A.2 B.3 C.4 D.5

解 通過

二、奇偶性分析

例2 已知{an}前n項之和為Sn，滿足Sn=2an-3n(n∈N*).

(1)求證：{an+3}為等比數列，并求{an}通項公式；

(2)數列{an}中是否存在三項，使它們按原順序可以構成等差數列？若存在，求出一組適合條件的項；若不存在，說明理由.

略解 (1)an=3(2n-1) (n∈N*).(2)假設存在{an}中三項ar、as、at(r

∴6(2s-1)=3(2r-1)+3(2t-1),∴2s+1=2r+2t①.

①中兩邊除以2r,∴2s+1-r=1+2t-r②.

∵r,s,t∈N*,且r

∴②中左邊為偶數，右邊為奇數.

∴假設不成立.即不存在三項，使它們成等差數列.

三、利用在某一范圍內整數的有限性

例3 已知{an}前n項和Sn滿足Sn+1=kSn+2,又a1=2,a2=1.(1)求k值；(2)求Sn；

(3)假設存在，m、n∈N*，滿足條件,

∴2<(4-m)·2n<6,又m,n∈N*,(4-m)·2n為偶數,∴(4-m)·2n=4=2×2=1×4.

四、利用反證法證明某些問題

?(p-r)2=0?p=r矛盾.∴假設不成立.即原命題成立.

五、利用二項式展開定理

(1)求{an}通項公式；

(2)d∈{a1,a2,a3,…,an}∩{b1,b2,b3,…,bn}，則稱d為數列{an}與{bn}的公共項，將這些公共項按它們在原數列中順序排成一個新數列{dn}，求{dn}的通項公式.

六、利用{an}是等差數列?an=An+B(A、B為常數)

(1)令bn=an+1-an-1，求證：{bn}是等比數列；

(2)求{an}通項公式；

Sn+λTn=An2+Bn①.

[1] 卓水鑫.高中數學解題中構造法的巧妙運用[J].新課程學習，2014(4)：75—77.

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

陳飛(1984-),男,江蘇如皋人,中學一級，大學本科，從事高中數學教學.

G632

B

1008-0333(2017)19-0051-02