淺談應用向量解決高中幾何習題的方法

鄧衛和

(江蘇省阜寧中學,江蘇 鹽城 224000)

淺談應用向量解決高中幾何習題的方法

鄧衛和

(江蘇省阜寧中學,江蘇 鹽城 224000)

向量，是一種具有幾何、數量、方向性質的數學概念，它經常應用于坐標圖形上，進行空間、數量及方向的計算.本文對此進行了分析研究.

向量；解決；高中；幾何；習題

談到向量的概念，很多同學對向量概念的理解局限為數量和方向這兩個要素上.實際上，向量具有數量、幾何、坐標三重性質.如果同學們能夠靈活的應用這三重性質，就能應用向量公式高效的解出數學習題.

一、應用向量將幾何變為方程

很多同學在解方程的時候，沒有想過向量就是一個方程.即使現在談到向量就是一種特殊的方程，可能部分同學們還是難以理解.向量，不是表示方向和大小的嗎？它怎么會是一種方程呢？同學們要看到，在坐標圖形上，一元一次方程，代表著向某一個方向無限延伸的直線；向量，在坐標圖形上代表著向某一個方向無限延伸的直線.那么在坐標圖上，方程不是和向量有著共通性嗎？如果同學們在解方程的時候，應用向量的計算公式，可以不可以簡化方程的計算呢？現用習題1為例.

習題1：已知在△ABC中，三個頂點分別為A(0，-4)、B(4，0)、C(-6，2)，而點E、F、D分別為AB、AC、BC的中點，求直線FD、EF、DE的方程.

同學們要了解，在坐標圖形上，向量具有方程的性質，同學們在解方程的時候，如果遇到計算方程的問題，可以把方程問題變成向量問題，應用向量平移、向量座標計算的方法求取方程.

二、應用向量確定立體幾何關系

同學們在做幾何習題的時候，有時需要證明圖形和圖形之間的幾何關系.一般地，同學們會用幾何圖形的性質來證明.然而有時同學們在證明的時候會遇到幾何求證的條件不全，同學們難以應用幾何圖形的性質.向量既具有空間圖形中指示方向的特性，又有空間圖形中指示數量的特性，同學們在證明幾何圖形時，可以把幾何圖形變成向量，就用向量數的特征來轉換空間圖形的數與量.現用習題2為例.

習題2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中E是棱DD1的中點.請問在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE？請證明.

同學們看到，習題2給出的證明條件非常抽象，如果同學們要用幾何性質來證明，過程會非常繁瑣.現在，將幾何問題變為解析幾何問題.應用特殊取值法，取出空間幾何中的數值，應用向量計算坐標.同學們再將計算出的坐標還原成幾何證明問題，就能輕易地證明出幾何問題.

同學們要意識到，同學們在證明幾何問題的時候，如果可以應用特殊取值法來證明幾何問題，就可以將幾何問題變為坐標圖形，應用向量的方式計算出幾何圖形的座標位置確定幾何圖形，再應用幾何性質來證明.

三、應用向量求取幾何夾角

同學們在解決幾何問題的時候，有時需要處理幾何圖形的邊、角問題，有時同學們應用幾何性質來解析幾何，解題的過程會比較繁瑣.如果同學們把向量圖形的方向特性，與數的特性結合起來，便能用數、形、方向三重特性來呈現幾何圖形，同學們可以應用這種方法，靈活的轉換幾何圖形的邊長、圖形、角的性質，獲得需要的幾何圖形數值.現用習題3為例.

習題3 已知正方體的棱長為1，求它的對角線與它任何一個面的對角線的夾角.

同學們可以看到，這一題就是把空間幾何圖形變為坐標圖形，又將解析幾何圖形變為向量計算，應用向量公式計算出幾何圖形的邊長，求取幾何圖形角的案例.習題3里，已經給出了正方體的棱長，同學們可以直接應用幾何圖形性質來解析這道題.然而應用解習題2的思路來看，應用解析幾何的方式來解這道習題，會讓解題的過程變得簡單.

[1]張鳳蓮.高中數學中的向量研究[D]. 華中師范大學,2007.

[2]彭勇.關于向量及其教學研究[D]. 華中師范大學,2006.

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

鄧衛和(1970.10-)，男，江蘇阜寧人，中學一級教師，大學本科，從事高中數學研究.

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1008-0333(2017)19-0042-02