零點存在定理的理解與辨析

雷亞慶

(南京市大廠高級中學，江蘇 南京 210000)

零點存在定理的理解與辨析

雷亞慶

(南京市大廠高級中學，江蘇 南京 210000)

很多同學在使用零點存在定理時都會產生錯誤，原因在于對零點存在定理的理解出現偏差.針對此問題，本文闡述了學習零點存在定理的必要性，用舉反例的形式使學生明白自己的錯誤在哪，從而進一步準確理解零點存在定理的本質并會正確應用.

零點，存在定理，產生背景，反例，正確理解與應用

一、零點存在定理產生的背景

一般地，我們把使函數y=f(x)的值為0的實數x稱為函數y=f(x)的零點，因此函數y=f(x)的零點實際上就是方程f(x)=0的實數根，從圖象上看，函數的零點就是它與x軸的交點的橫坐標.函數零點可以從不同角度把函數與其他知識鏈接起來，如數與形，函數與方程，函數與不等式等，因此學好有關函數零點的問題能讓我們深刻理解函數在中學數學中的核心地位.

那么如何求函數的零點呢，很自然地我們會想到求方程f(x)=0的實數根，那么問題來了，方程f(x)=0有沒有實數根呢？有的話如何求呢？因為除了一元一次方程和一元二次方程外，許多方程的根以我們現有的知識是無法求出的，這就說明有些函數的零點并不是很好求.退而求其次，函數是否有零點，有的話在什么范圍內就自然成為我們關注的話題.用圖形倒是一個較好的方法，但一來圖象法得到的結果誤差較大，有的函數的圖象也不太好畫.二來圖象法并不能作為推理的依據.在這種背景下，零點存在定理的出現就顯得水到渠成了.蘇教版課本給出了函數零點存在定理：

一般地，若函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則函數y=f(x)在區間(a,b)上有零點.

二、零點存在定理的正確理解

函數零點存在定理為我們判斷函數在某區間上是否有零點提供了理論依據，但很多同學對零點存在定理存在許多認知上的偏差.下面我們不妨一一道來.

1.為什么要強調函數y=f(x)圖象閉區間[a,b]不間斷？

2.為什么強調函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線？

由上例我們可以看出：如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條間斷的曲線，那么即使它滿足f(a)·f(b)<0,函數y=f(x)在區間(a,b)上也不一定有零點(不代表一定沒有)，只有函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，函數y=f(x)在區間(a,b)上才一定有零點.

3．是不是只有一個零點？

反例3 函數f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)在區間[0,4]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(0)·f(4)<0，但是函數y=f(x)在區間(0,4)上有三個零點1，2，3.

從上例中可以看出.滿足函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則函數y=f(x)在區間(a,b)上至少有一個零點.

4.是不是f(a)·f(b)>0時，函數y=f(x)在區間(a,b)上一定沒有零點？

反例4 函數f(x)=(x-2)(x-3)，在區間[1,4]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(1)·f(4)>0，但是函數f(x)在區間(0,3)上有零點2，3.

從上例可以看出，“函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0”只是函數y=f(x)在區間(a,b)上有零點的一種情況，即滿足上述條件，該函數一定有零點，但它并不表示不滿足上述條件時，函數就沒有零點.也就是說零點存在定理只是給我們提供了眾多求函數零點的道路中的一條而已.

三、零點存在定理的應用

例1 求證函數f(x)=lgx+x-3在(2，3)內有零點.

例2 已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

若方程有兩根，其中一根在區間(-1,0)內，另一根在區間(1,2)內，求m的范圍；

(1)由已知可得拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區間(-1,0)和(1,2)內，如圖1所示，得

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中學.普通高中課程標準實驗教科書(教學必修5)[J].北京：人民教育出版社，2004.

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

雷亞慶(1972.3-)，男，陜西人，中學高級教師，本科，課堂教學與解題研究.

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1008-0333(2017)19-0036-02