以簡馭繁 簡中有道
——談談簡化解析幾何運算的七個著眼點

蔡勇全

(四川省資陽市外國語實驗學校,四川 資陽 641300)

以簡馭繁 簡中有道
——談談簡化解析幾何運算的七個著眼點

蔡勇全

(四川省資陽市外國語實驗學校,四川 資陽 641300)

解析幾何，顧名思義，就是用代數的方法研究幾何問題.然而，如果用純粹的代數方法解決某些解析幾何問題，思路雖簡單，但運算較繁瑣，導致學生在解題過程中明知會求，但就是解不出來，或看著繁瑣的式子就生畏，因此，我們應該尋求簡化解析幾何運算之策．

運算能力；代數推導；優化過程

解析幾何是高中數學教學的重點和難點，也是歷年高考考查的熱點，并且常常以壓軸題的形式出現．此類問題的求解思路清晰，但對運算能力的要求較高，不少學生往往會因為繁瑣的代數推導而心生畏懼，陷入進退失據的困境，以至出現因放棄不做、胡亂書寫、有始無終等找不到恰當運算策略的行為習慣而導致得分率普遍較低的現象，因此，掌握必要的運算技能，避開繁瑣的計算，盡可能地簡化運算過程，就成為了準確、迅捷地解決此類問題的關鍵．基于常見的各種條件類型，本文結合實例介紹突破解析幾何運算“關”的幾個著眼點，供參考．

一、回歸定義

“問渠那得清如許，為有源頭活水來”．定義正是一切概念的源頭活水，也是一切問題設計的出發點和落腳點．曲線的定義深刻地刻畫了曲線的本質內涵，所以在解析幾何問題面前感到無從下手、止步不前時，利用曲線的定義解決問題，往往能避繁就簡，省時省力，符合華羅庚先生提出的“復雜的問題要善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竊”這一觀點，這里“最原始而不失去重要性的地方”其實就是研究對象的定義．

二、借助平面幾何性質

本質上，解析幾何仍屬于幾何范疇，它與平面幾何圖形有著密切的聯系．在解決解析幾何問題時，若能根據圖形的特征，借助平面幾何性質，如角平分線，中位線，切割線，相交弦，相似比等的性質，往往能幫助我們更加看透問題的本質，形成新穎獨特的解題思路，避免復雜運算，收到簡化運算步驟之效果．

三、利用向量方法

向量是溝通幾何與代數的重要橋梁，它具有幾何形式與代數形式的雙重身份．它既能體現形的直觀的位置特征，又具有數的運算性質，它可以將幾何問題數量化、坐標化，尤其是可以使解析幾何中的“垂直問題”、“平行問題”、“角為鈍角或銳角”等問題輕松獲得解決．

變式1 同例2．

變式2 設點A和B為拋物線y2=4x上異于原點的兩個動點，且OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線．

解析 設M(x，y)，A(4t12，4t1)，B(4t22，4t2)，其中x>0，t1t2≠0，且t1≠t2，

將①、②代入③可得，點M的軌跡方程為(x-2)2+y2=4(x>0)，它表示與y軸相切于原點的一個圓(不包括原點)．

評注 從上述實例可以看到，向量方法的優點是思路清晰，過程簡捷，不僅可以將幾何關系迅速地轉化為數量關系，具有事半功倍的效果，而且較好地體現了數形結合思想．

四、設而不求

設而不求是指在解題時，可根據題意設出一些輔助元(參數)，在求解的過程中，不必求出這些輔助元(參數)的值，僅把它作為橋梁或過渡元素，巧妙地消去這些輔助元(參數)，達到降低難度的目的．在解決解析幾何問題時為優化運算而常常采用這種方法．

評注 在利用設而不求策略解題時，要注意韋達定理、判別式往往是與其相伴相隨出現的．此外，設而不求策略之下的“點差法”也是處理有關弦中點和斜率問題的常用辦法．

五、巧設方程

解析幾何的本質是用代數方法研究幾何問題，而方程無疑是代數方法的一個重要支撐，所以解決解析幾何問題時少不了從方程角度進行研究．解題時，若能根據題目的特點恰當地選擇方程的設法，則往往能有效地避免分類討論，簡化運算，優化解題過程．

例5 過點P(2，4)且與拋物線y2=8x相切的直線方程為__________．

例5通過設出曲線的一般方程來求解問題，事實上，根據題目的特點，還可以通過設出曲線的參數方程或極坐標方程來解答之．

六、挖掘對稱性

解析幾何中的各類曲線往往有著優美的對稱性，若在解題時能注意挖掘題目中的對稱關系，對某些式子的運算作代換處理，也能簡化運算，收到事半功倍的效果．

例7 自點A(-3，3)發出的一束入射光線射到x軸上被x軸反射后，其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求入射光線所在的直線l的方程．

評注 從上述實例可以看到，對稱為簡化計算、有效減少工作量提供了可能性，所以注意挖掘圖形的對稱性，實際上是為解題尋找一條便捷的路．

七、特殊化或極限化

把研究對象特殊化或極限化向來是探究數學問題的重要手段，在解答一些解析幾何問題時，若能善加運用，也可以極大地優化運算，減少計算量．

[1]蔡勇全.回歸定義 靈活解題[J]．數理化解題研究，2014(1)．

[2]蔡勇全.“1”在數學解題中的幾種妙用[J]．數理化解題研究，2016(10)．

[3]蔡勇全.簡化數學運算的若干策略[J]．數學教學研究，2015(1)．

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

蔡勇全(1980.8-)，男，四川遂寧人，碩士學位，中學數學一級教師，主要從事中學數學教學研究.

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