函數單調性的應用

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室，甘肅 隴南 746500)

函數單調性的應用

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室，甘肅 隴南 746500)

單調性是函數之“魂”，是函數的重要性質之一，文章舉例說明它在比較大小、解不等式、解方程、求參數的值或取值范圍、求函數的最值或值域、求值、證明不等式等方面得一些應用，希望起到拋磚引玉之功效.

函數；單調性；應用

函數單調性是函數的重要性質之一，也是平常考試和高考中數學的重點和熱點內容之一.它在高中數學的各個分支中都有著極為重要的應用，在解題過程中如果應用得好，常能起到事半功倍的效果,下面舉例說明.

一、比較大小

例1設函數f(x)是(-∞,+∞)上的減函數，則( ).

A.f(a)

C.f(a2+a)

分析 由減函數的定義可知，只需比較各組函數值的自變量的大小.

點評 本題還可以用排除法解之.利用單調性比較大小時，必須將其轉化為同一單調區間內的兩個函數值，否則不能比較其大小.

二、解不等式

例2 已知f(x)在它的定義域[-17,+∞)上是增函數，且f(3)=0，解不等式f(x2-7x-5)<0.

分析 解本題只需要利用函數的單調性去掉函數關系符號“f”, 使抽象的不等式問題轉化為具體的不等式問題.

點評 利用單調性解不等式就是利用函數在某個區間內的單調性，推出兩個變量的大小，然后去解不等式；去掉函數關系符號″f″的主要依據是函數的單調性，同時要特別注意函數的定義域，否則可能產生增解.

三、解方程

例3 解方程(x2-x+1)5-x5+4x2-8x+4=0.

解析 由原方程變形為(x2-x+1)5+4(x2-x+1)=x5+4x.由于函數f(t)=t5+4t在R上單調遞增，又f(x2-x+1)=f(x)，所以x2-x+1=x，解得x=1.故原方程有唯一實數解x=1.

點評 解本題的關鍵是對原方程進行變形，與函數f(t)=t5+4t產生聯系，再根據函數的單調性列出方程即可.

四、求參數的值或取值范圍

例4 若函數f(x)=|2x+a|的單調遞增區間是[3,+∞),則a=____.

點評 本題考查的是函數的單調性.做本題的關鍵是將原函數化為分段函數，然后根據單調遞增區間列出關于a的方程即可.本題還可通過畫出函數圖象來求解.

例5 已知函數f(x)=x2+2(1-a)x+2在(-∞,4]上是減函數，求實數a的取值范圍.

分析 二次函數是我們最熟悉的函數，只要遇到二次函數畫圖象，也可以不將圖象畫出，而在大腦中出現，這樣就給我們研究問題帶來了很大的方便.對于不熟悉的函數，可以利用單調函數的定義去研究與單調性有關的問題.

點評 二次函數問題要注意三點：一是開口方向；二是對稱軸；三是頂點坐標.

五、求函數的最值或值域

分析 當所給的函數圖象不易作出時，可考慮利用函數的單調性求函數的最值，即先判斷函數的單調性，再求最值.

點評 函數f(x)在區間[a,b](a

六、求值

例7 設實數a,b滿足條件a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，求a+b的值.

分析 待求代數式的值，可視為相應函數的一個特殊值，再利用該函數的單調性，把函數值的相等轉化為自變量的相等，從而巧妙獲解.

解 由已知條件式的特征，構造函數f(x)=x3-3x2+5x，則有f(a)=1,f(b)=5.而f(x)=(x-1)3+2(x-1)+3.令u=x-1，則g(u)=u3+2u是單調增函數，還是奇函數,則有f(a)=g(a-1)+3=1,f(b)=g(b-1)+3=5,即g(a-1)=-2,g(b-1)=2,則g(a-1)=-g(b-1)=g(1-b).由g(u)=u3+2u是單調增函數可得a-1=1-b，因此有a+b=2.

點評 求解本題的關鍵是構造函數f(x)=x3-3x2+5x，利用函數的單調性和奇函數的性質，列出關于a,b的方程，把a+b整體解出,屬于整體求值.

七、證明不等式

分析 通過構造函數轉化為比較單調函數的兩個函數值問題.

點評 把證明的不等式問題轉化為函數問題，關鍵在于轉化為什么樣的函數,這就要求從被證的不等式的形狀、特點去入手，產生聯想去尋找相應的基本函數，然后利用函數的單調性加以證明.

當然，利用函數的單調性還可以判斷復合函數的單調性以及畫函數的圖象，在這里就不舉例說明了.

鏈接高考 1(2015江蘇，文理7)不等式2x2-x<4的解集為 .(答案：{x|-1

2(2016全國Ι卷，理8)若a>b>1，0

A.ac

C.alogbc

[1]杜紅全.別忘了讓平面向量與三角形談“心”[J].中學生數學,2014(3).

[2]杜紅全.求三角函數值域的常用方法[J].中學生數學，2014(5).

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

杜紅全(1969.9-), 男，甘肅康縣人，中學高級教師，西北師范大學本科畢業，從事中學數學教育．

G632

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1008-0333(2017)19-0002-02