非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)面自抗擾控制器設(shè)計(jì)及應(yīng)用

李娟，邱軍婷，高海濤

(哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)面自抗擾控制器設(shè)計(jì)及應(yīng)用

李娟，邱軍婷，高海濤

(哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

針對(duì)一類具有嚴(yán)格反饋形式的非線性系統(tǒng)的控制問題，本文將動(dòng)態(tài)面控制技術(shù)和自抗擾控制技術(shù)相結(jié)合，提出了動(dòng)態(tài)面自抗擾控制算法。控制器包括三個(gè)功能：利用跟蹤微分器給出期望信號(hào)以及其一階導(dǎo)；利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)外界擾動(dòng)；擾動(dòng)補(bǔ)償。該控制器有效避免了傳統(tǒng)反步法中出現(xiàn)的“微分爆炸”現(xiàn)象，并避免了控制器設(shè)計(jì)對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的精確要求。依據(jù)李亞普洛夫穩(wěn)定性理論進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，并對(duì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器和動(dòng)態(tài)面部分進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。通過水下無(wú)人航行器模型仿真，仿真結(jié)果表明：航跡誤差在(-4,4)范圍內(nèi)，驗(yàn)證了該控制算法的有效性。

線性系統(tǒng)； 動(dòng)態(tài)面控制； 跟蹤微分器； 觀測(cè)器； 擾動(dòng)補(bǔ)償； 自抗擾控制； 魯棒性； 水下無(wú)人航行器

近年來(lái)，非線性系統(tǒng)的研究備受關(guān)注。特別是針對(duì)一類具有嚴(yán)格反饋形式的非線性系統(tǒng)，已經(jīng)取得了很多研究成果。其中，反步法是解決這類系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)問題的重要方法，以及與自適應(yīng)等相結(jié)合的反步法技術(shù)已經(jīng)比較成熟[1-3]。但對(duì)于高階系統(tǒng)而言，反步法存在缺陷，對(duì)虛擬控制量求導(dǎo)的過程中會(huì)出現(xiàn)“微分爆炸”現(xiàn)象。韓京清提出了自抗擾控制器，介紹了自抗擾控制器的應(yīng)用。驗(yàn)證了自抗擾控制器的適應(yīng)性和魯棒性，并給出了自抗擾控制器的最大特點(diǎn)[4]。Swaroop對(duì)傳統(tǒng)反步法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了動(dòng)態(tài)面控制算法[5]，該方法在非線性系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[6]將動(dòng)態(tài)面控制方法應(yīng)用到了船舶的航向控制中，并驗(yàn)證了該控制方法的有效性。文獻(xiàn)[7] 針對(duì)201起重船裝載作業(yè)過程中模型參數(shù)不確定及存在未知擾動(dòng)問題設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)面自抗擾控制器，驗(yàn)證了該算法具有強(qiáng)抗干擾能力及對(duì)模型參數(shù)變化具有強(qiáng)魯棒性。

基于以上的研究成果，本文采用動(dòng)態(tài)面自抗擾控制技術(shù)對(duì)具有嚴(yán)格反饋形式的非線性系統(tǒng)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。該控制器避免了傳統(tǒng)反步法中出現(xiàn)的“微分爆炸”現(xiàn)象，并對(duì)系統(tǒng)的未建模部分或者未知部分進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，然后根據(jù)估計(jì)量的大小對(duì)系統(tǒng)的實(shí)際控制量進(jìn)行相應(yīng)的補(bǔ)償，使得控制器具有更強(qiáng)的魯棒性。同時(shí)，該控制器的設(shè)計(jì)具有一般標(biāo)準(zhǔn)形式，對(duì)于類似的非線性系統(tǒng)均適用，因此，該控制器體現(xiàn)了很強(qiáng)的工程實(shí)用價(jià)值。

1 動(dòng)態(tài)面自抗擾控制器設(shè)計(jì)

1.1 系統(tǒng)描述

考慮如下單輸入單輸出系統(tǒng)：

(1)

式中：xi(i=1,2,…,n-1)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；f(·)為系統(tǒng)的非線性部分，表示系統(tǒng)的未建模部分或者系統(tǒng)的不確定性；y和u分別為系統(tǒng)的輸入和輸出，b為輸入增益。該系統(tǒng)的控制目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤，即設(shè)計(jì)控制律u使得系統(tǒng)的輸出y跟蹤上期望信號(hào)yd，這里假設(shè)期望信號(hào)yd是n階可微并且有界的函數(shù)。

1.2 控制器設(shè)計(jì)

動(dòng)態(tài)面自抗擾控制器由四部分組成，分別為跟蹤微分器(tracking differentiator, TD)、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer, ESO)、動(dòng)態(tài)面控制律(dynamic surface control, DSC)、動(dòng)態(tài)擾動(dòng)補(bǔ)償(dynamic compensation, DC)。控制器的原理如圖1所示。

圖1 動(dòng)態(tài)面自抗擾控制器原理Fig.1 Principle of dynamic surface autodisturbance rejection controller

1.2.1 跟蹤微分器設(shè)計(jì)

TD的主要作用是安排過渡過程，其設(shè)計(jì)思路是利用一個(gè)慣性環(huán)節(jié)來(lái)盡快(通常選取較小的時(shí)間常數(shù)即可實(shí)現(xiàn)，但不宜過小，需根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際要求)地跟蹤上期望信號(hào)，并獲取期望信號(hào)的微分值，即一邊盡快地跟蹤上期望，同時(shí)給出其近似微分。

對(duì)于上述系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的期望信號(hào)yd，安排系統(tǒng)的跟蹤過渡過程v1，并提取其微分信號(hào)v2。為了計(jì)算方便，該算法通常選用離散形式，具體表達(dá)式為

(2)

式中：fh(x1,x2,r,h)為最速控制綜合函數(shù)，動(dòng)態(tài)面自抗擾控制算法如下：

(3)

式中：參數(shù)r為跟蹤速度的速度因子，參數(shù)r選取的越大，跟蹤期望信號(hào)的速度就越快，反之，則跟蹤期望信號(hào)的速度就越慢；參數(shù)h為TD的積分步長(zhǎng)。

1.2.2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

對(duì)于控制系統(tǒng)中存在的擾動(dòng)，如果這種擾動(dòng)不能從被控對(duì)象的輸出觀測(cè)到，或者說(shuō)這種擾動(dòng)不能控制被控輸出，那么在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中可以不用考慮這部分?jǐn)_動(dòng)；反之，如果這種擾動(dòng)可以在被控對(duì)象的輸出觀測(cè)到，那么在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中必須考慮擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，并盡可能的消除擾動(dòng)的影響。ESO將系統(tǒng)的總擾動(dòng)擴(kuò)張成新的一維系統(tǒng)狀態(tài)，并對(duì)其進(jìn)行觀測(cè)。

針對(duì)上述系統(tǒng)(1)，現(xiàn)將該系統(tǒng)的未知非線性函數(shù)f(x1,x2,…,xn)擴(kuò)張成新的一維狀態(tài)，設(shè)xn+1=f(x1,x2,…,xn)，則上述系統(tǒng)可寫成

(4)

對(duì)于上述系統(tǒng)，設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器，對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)xi,i=1,2,…,n+1進(jìn)行觀測(cè)，設(shè)觀測(cè)值為zi,i=1,2,…,n+1，擴(kuò)張觀測(cè)器的離散形式為

(5)

式中：β1,β2,…,βn+1分別為擴(kuò)張觀測(cè)器的待設(shè)計(jì)參數(shù)，函數(shù)fal(e,α,δ)為原點(diǎn)附近具有線性段的連續(xù)的冪次函數(shù)，其具體算法表示為

(6)

式中：δ為線性區(qū)間的長(zhǎng)度。

1.2.3 動(dòng)態(tài)面控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于系統(tǒng)(1)，為了動(dòng)態(tài)面控制器設(shè)計(jì)，假設(shè)u0=f(x1,x2,…,xn)+bu或者bu0=f(x1,x2,…,xn)+bu，則系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)化為如下系統(tǒng)：

(7)

對(duì)于上述系統(tǒng)，進(jìn)行動(dòng)態(tài)面控制器設(shè)計(jì)：

首先，定義第一個(gè)動(dòng)態(tài)面：

(8)

對(duì)其求導(dǎo)，并結(jié)合式(7)可以得到：

(9)

(10)

式中：k1為待設(shè)計(jì)的參數(shù)，且有k1>0。結(jié)合動(dòng)態(tài)面的設(shè)計(jì)思路，引入一個(gè)一階低通濾波器：

(11)

式中：τ2為待設(shè)計(jì)濾波器的時(shí)間常數(shù)，且有τ2>0；α2為濾波器的輸出。

這里定義第二個(gè)動(dòng)態(tài)面：

(12)

對(duì)其求導(dǎo)，并結(jié)合式(7)可以得到：

(13)

(14)

式中：k2為待設(shè)計(jì)參數(shù)，且有k2>0。根據(jù)動(dòng)態(tài)面的設(shè)計(jì)思想，再次引入一個(gè)一階低通濾波器：

(15)

式中：τ3為待設(shè)計(jì)的濾波器時(shí)間常數(shù)，且有τ3>0；α3為濾波器的輸出。

(16)

對(duì)其求導(dǎo)，并結(jié)合式(7)可以得到：

(17)

(18)

式中：ki為待設(shè)計(jì)參數(shù)，且有ki>0。根據(jù)動(dòng)態(tài)面的設(shè)計(jì)思想，這里再次引入一個(gè)一階低通濾波器：

(19)

式中：τi+1為待設(shè)計(jì)的濾波器時(shí)間常數(shù)，且有τi+1>0，αi+1為濾波器的輸出。

這里定義第n個(gè)動(dòng)態(tài)面：

(20)

對(duì)其求導(dǎo)，并結(jié)合式(7)可以得到：

(21)

鎮(zhèn)定式(21)，從而得到控制律u0：

(22)

式中：kn為待設(shè)計(jì)參數(shù)，且有kn>0。

1.3 擾動(dòng)補(bǔ)償設(shè)計(jì)

為了保證在所設(shè)計(jì)的控制律作用下，系統(tǒng)在擾動(dòng)過程中仍然能跟蹤上期望信號(hào)，需要對(duì)上述獨(dú)立設(shè)計(jì)的控制律進(jìn)行相應(yīng)的擾動(dòng)補(bǔ)償。本文中將由狀態(tài)擴(kuò)張觀測(cè)器觀測(cè)到的擾動(dòng)值補(bǔ)償?shù)絼?dòng)態(tài)面控制律中。針對(duì)上述系統(tǒng)，系統(tǒng)的擾動(dòng)值為zn+1，補(bǔ)償?shù)絼?dòng)態(tài)面控制律u0中，最終決定實(shí)際控制律u，表達(dá)式為

(23)

式中：b是系統(tǒng)的補(bǔ)償參數(shù)，即上述系統(tǒng)中的控制輸入增益。

2 穩(wěn)定性分析

2.1 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器穩(wěn)定性分析

對(duì)于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(5)的穩(wěn)定性分析，類似于一階系統(tǒng)的分析，為了分析方便，現(xiàn)考慮如下一階非線性系統(tǒng)：

(24)

式中：f(x1)為非線性部分。

對(duì)該系統(tǒng)建立擴(kuò)張觀測(cè)器，得到觀測(cè)器的誤差模型為

(25)

根據(jù)式(25)，對(duì)(e1,e2)進(jìn)行劃分，如圖2所示。

圖2 (e1,e2)劃分圖Fig.2 (e1,e2)partition area

(26)

(27)

對(duì)以上各李亞普洛夫函數(shù)求偏導(dǎo)，則有

(28)

在區(qū)域A1中，有

(29)

對(duì)于區(qū)域A1，有e2<β1e1，即有

(30)

對(duì)于區(qū)域A2，有

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

因此，對(duì)于上述擴(kuò)張觀測(cè)器模型，根據(jù)多李亞普洛夫理論可以證明該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并且最終會(huì)收斂到區(qū)域A0中。

2.2 動(dòng)態(tài)面穩(wěn)定性分析

(36)

對(duì)于動(dòng)態(tài)面S1有

(37)

結(jié)合式(35)，則有：

(38)

(39)

同理可得

(40)

當(dāng)i=n時(shí)，有

(41)

結(jié)合式(18)、(19)、(20)可以得到：

(42)

定義：

(43)

(44)

結(jié)合式(39)、(40)可以得到：

(45)

結(jié)合式(41)可以得到：

(46)

這里定義李亞普洛夫函數(shù)：

(47)

在此，不妨做如下假設(shè)：

(48)

gi≤C

(49)

式中：p為任何正數(shù)，C為函數(shù)gi的最大值。

取控制器增益參數(shù)ki=2+a，一階低通濾波器的時(shí)間常數(shù)為τi=1+(C2/2ε)+a，則有

(50)

當(dāng)V=p，且a滿足a>((n-1)ε)/2p，則有

(51)

由此證明過程可知，當(dāng)選擇合適的控制增益ki和一階濾波器的時(shí)間常數(shù)τi，能夠保證整個(gè)控制系統(tǒng)最終收斂。

3 UUV的特性及其仿真研究

3.1 UUV的數(shù)學(xué)模型

UUV在海流干擾下的水平面非線性狀態(tài)方程[8-9]：

(52)

式中：[xyψ]T為UUV的位置向量，[uvr]T為UUV的速度向量，[ucvc0]T為海流的速度向量，[urvrr]T為UUV相對(duì)海流的速度，[τu0τr]T為UUV的控制力和力矩，A=-d22vr+(d26-urc26-muc)r，B=(d62-urc62)vr-d66r+τr，并且有

(53)

式(53)中相關(guān)參數(shù)及其水動(dòng)力系數(shù)為

3.2 UUV循跡控制器設(shè)計(jì)

UUV循跡過程中，由視線導(dǎo)引法[10-11]提供實(shí)時(shí)期望艏向vψ，縱向速度為定常值。根據(jù)動(dòng)態(tài)面自抗擾控制器的設(shè)計(jì)思路，分別設(shè)計(jì)該UUV的艏向控制器和縱向速度控制器。

1)艏向控制器設(shè)計(jì)：

(54)

式中:h為仿真步長(zhǎng)，r為跟蹤微分器的調(diào)節(jié)因子，y1為UUV實(shí)時(shí)艏向，u1為控制力矩，β1i為擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器待設(shè)計(jì)參數(shù)，k1i為動(dòng)態(tài)面待設(shè)計(jì)參數(shù)，τ11為濾波器時(shí)間常數(shù)。

2)縱向速度控制器設(shè)計(jì)：

(55)

相關(guān)參數(shù)的含義與艏向控制器中類似。

3.3 UUV循跡仿真

在北東坐標(biāo)系下，假設(shè)UUV的期望航跡為P={(5, 0),(50, 50),(50, 100),(5, 150),(5, 200),(50, 200),(50, 250)}，期望速度為1 m/s。海流大小為0.5 m/s方向?yàn)棣?4。并在UUV的艏向和橫向分別加幅值為0.2、0.18N·m，周期均為20π的外界擾動(dòng)。相關(guān)參數(shù)分別為r=0.8，h=0.02，δ=0.1，β11=100，β12=300，β13=1 000，β21=50，β22=800，k11=1，k12=1，k13=1，k21=5，τ11=0.1，b10=0.025，b20=0.06。仿真結(jié)果如3～6圖所示。

圖3 UUV航跡圖Fig.3 UUV track map

圖4 UUV航跡誤差圖Fig.4 UUV track error chart

圖5 跟蹤微分器的輸出信號(hào)Fig.5 Output signal of tracking differentiator

圖6 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的觀測(cè)值Fig.6 Observed value of extended state observer

結(jié)合圖3和圖4可以看出，在有外界干擾的情況下，UUV能夠跟蹤上期望航跡，并使得航跡誤差較快趨于零；圖5給出動(dòng)態(tài)面自抗擾控制器中艏向和縱向跟蹤微分器的輸出值；圖6是狀態(tài)擴(kuò)張觀測(cè)器的觀測(cè)值與實(shí)際值的對(duì)比圖，可以看出觀測(cè)器能夠很好的估計(jì)外界擾動(dòng)。

4 結(jié)論

1)該控制算法成功避免了反步法對(duì)虛擬控制量求導(dǎo)的過程中會(huì)出現(xiàn)“微分爆炸”的現(xiàn)象，對(duì)系統(tǒng)的未建模部分或者未知部分進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，然后根據(jù)估計(jì)量的大小對(duì)系統(tǒng)的實(shí)際控制量進(jìn)行相應(yīng)的補(bǔ)償，使得控制器具有更強(qiáng)的魯棒性。

2)該控制算法對(duì)UUV航跡跟蹤、UUV縱向速度和艏向速度估計(jì)以及估計(jì)外界擾動(dòng)具有很好的效果。

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本文引用格式：

李娟，邱軍婷，高海濤. 非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)面自抗擾控制器設(shè)計(jì)及應(yīng)用[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)， 2017， 38(8): 1278-1284.

LI Juan, QIU Junting, GAO Haitao. Design and application of dynamic surface auto-disturbance rejection control for nonlinear systems[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2017， 38(8): 1278-1284.

Design and application of dynamic surface auto-disturbance rejection control for nonlinear systems

LI Juan, QIU Junting, GAO Haitao

(College of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Focusing on the control problem of a class of nonlinear systems with strict feedback, by combination with the dynamic surface and active disturbance rejection control method, this paper proposes an active disturbance rejection control algorithm. The controller can produce the expected signal and its derivative with a tracking differentiator (TD) and estimate the external disturbance with an extended state observer (ESO), which can be compensated by the ESO. The controller can effectively avoid the phenomenon of differential explosion, which appears in the traditional backstepping control method, and reduce the dependence on accurate mathematical models for the control system. The controller design is based on the Lyapunov stability theory, the stability of the ESO and dynamic surface control are analyzed. A simulation of an unmanned underwater vehicle (UUV) model was conducted, which resulted in the track error in the range of (-4,4). The experimental results show effectiveness of the proposed approach.

nonlinear system; dynamic surface control; tracking differentiator; observer; disturbance compensation; active disturbance rejection control; robustness; unmanned underwater vehicle

2016-06-01.

日期：2017-06-19.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51609046/E091002)；國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金項(xiàng)目(9140C270208140C27004)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)項(xiàng)目(HEUCFM170403).

李娟(1976-), 女, 副教授.

李娟，E-mail: Lijuan041@163.com.

10.11990/jheu.201606005

TP273.2

A

1006-7043(2017)08-1278-07

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