淺談導數及其應用

陳晨

【摘 要】導數的概念及其運算是高考的必考內容，導數的運算一般不單獨考查，而是滲透在其他題目中，導數的幾何意義往往與解析幾何結合考查；導數的應用主要考查用導數研究函數的單調性、極值、最值、實際問題中的優(yōu)化問題等，往往與函數、不等式、三角函數、數列、解析幾何等相關知識綜合考查，涉及的思想主要有：函數與方程思想、分類討論思想、數形結合思想以及化歸與轉化思想等。

【關鍵詞】導數的運算；導數的幾何意義；導數的應用及思想方法

一、考綱解讀

在導數的概念及其運算中能夠了解導數概念的實際背景，理解導數的幾何意義，會求過曲線上某點的切線的斜率與切線方程，能將平行或垂直直線間的關系轉化為導數關系；熟記常見基本初等函數的導數公式并結合導數的運算法則求簡單函數的導數，會求簡單復合函數（僅限于形如的復合函數）的導數；利用導數的幾何意義求曲線的切線斜率是高考熱點。

導數的應用中能夠了解函數單調性與導數的關系，會利用導數研究函數的單調性，掌握求函數單調區(qū)間的方法；了解函數在某點取得極值的必要條件與充分條件，掌握求函數極值與最值的方法，會利用導數求函數極值與最值及解決利潤最大、用料最省、效率最高等實際生產、生活中的優(yōu)化問題；利用導數求函數極值與最值、結合單調性與最值求參數范圍、證明不等式是高考熱點（其中多項式函數一般不超過三次）。

二、解題方法與技巧

1.導數的運算

熟記基本初等函數的導數公式及四則運算法則，掌握導數運算的原則即：先化簡求解析式，再求導。掌握導數的運算方法：①連乘形式：先展開化為多項式的形式，再求導；②分式形式：觀察多項式的結構特征，先化為整式函數或較為簡單的分式函數，再求導；③對數形式：先化為和、差的形式，再求導；④根式形式：先化為分數指數冪的形式，再求導；⑤三角形式：先利用三角函數公式轉化為和或差的形式，再求導；⑥復合函數：由外向內，層層求導。

2.導數幾何意義的應用

（1）已知切點P（x0，f（x0）求斜率k，即求該點處的導數值k=f?（x0）；

（2）已知斜率，求切點P（x1，f（x1），即解方程f?（x1）=k；

（3）求過某點Q（x1，f（x1）的切線方程，需分Q（x1，f（x1）是切點和不是切點兩種情況求解。若點Q（x1，f（x1）是切點，則切線方程為y-f（x1）=f?（x1）（x-x1）；若點Q（x1，f（x1）不是切點，則需先引入切點P（x0，f（x0），利用導數的幾何意義表示出切線方程y-f（x0）=f?（x0）（x-x0），再將Q（x1，f（x1）代入切線方程得到關于x0的方程求出x0，最后將x0代入y-f（x0）=f?（x0）（x-x0）即可得到所求。

3.利用導數研究函數單調性的方法

法一：①求函數f（x）的定義域；②求導函數f?（x）；③在定義域內解不等式f?（x）>0和f?（x）<0，若不等式中帶有參數，則一般需對參數進行分類討論；④利用導數與單調性的關系確定函數f（x）的單調區(qū)間。

法二：①求函數f（x）的定義域；②求導函數f?（x）；③求f?（x）=0在定義域內的一切實根；④用求得的根劃分定義域；⑤確定f?（x）在各個開區(qū)間內的符號，根據符號判斷函數在每個相應區(qū)間內的單調性。

4.由函數的單調性求參數的取值范圍方法

（1）可導函數在某一區(qū)間上單調，實質就是在該區(qū)間上f?（x）≥0（或f?（x）≤0）（f?（x）在該區(qū)間的任意子區(qū)間內都不恒等于0）恒成立，可以直接構造函數求最值轉化為不等式問題或分離參數轉化為求函數的最值問題，從而求得參數的取值范圍；

（2）可導函數在某一區(qū)間上存在單調區(qū)間，實際上就是f?（x）≥0（或f?（x）≤0）（f?（x）在該區(qū)間的任意子區(qū)間內都不恒等于0）在該區(qū)間上存在解集，把函數的單調性問題轉化為不等式問題；

（3）若已知f（x）在區(qū)間I上的單調性，區(qū)間I中含有參數時，可先求出f（x）的單調區(qū)間，令I是其單調區(qū)間的子集，轉化為集合間的基本關系討論，從而可求出參數的取值范圍。

5.利用導數研究函數的極值和最值方法

（1）求可導函數f（x）的極值步驟：求定義域→求導函數f?（x）→解方程f?（x）=0→檢驗f?（x）=0的根的左右兩側的函數值符號，若左正右負，則函數y=f（x）在這個根處取得極大值；若左負右正，則函數y=f（x）在這個根處取得極小值，可列表完成。

注意：上述過程中檢驗不可缺，因為f?（x）=0是x0為f（x）的極值點的必要不充分條件，如f（x）=x3，f（0）=0，但x=0不是極值點。已知函數極值求參數值時，利用極值點處的導函數為0和極值建立方程求出參數值后要檢驗，如人教A版選修2-2導數習題“已知函數f（x）=x（x-c）2在x=2處有極大值，求的值”利用f?（2）=0可求出的值為2或6，用上述求極值的步驟檢驗可得c=6。

求極值也可以按下列步驟解題：求函數的單調區(qū)間畫出函數的大致圖像（注意分析函數值的變化情況）結合極值的定義下結論。

（2）已知可導函數y=f（x）在某區(qū)間上有極值，求參數取值范圍。

法一：由f?（x）在該區(qū)間上存在變號零點，轉化為函數與零點問題進行討論。

法二：由f?（x）=0分離參數，構造函數求在該區(qū)間上的值域，數形結合分析。

法三：直接求函數在定義域內的極值，由整體到局部分析，轉化為集合間的基本關系討論。

（3）求函數f（x）在區(qū)間[a，b]上的最值方法。若函數在區(qū)間[a，b]上單調遞增或遞減，則f（a）與f（b）一個為最大值，一個為最小值；若函數在閉區(qū)間[a，b]上有極值，先求出[a，b]上的極值，再與端點的函數值f（a）與f（b）比較，其中最大的為函數的最大值，最小的為函數的最小值；若函數f（x）在（a，b）上有唯一的極值，則這個極值就是函數的最值，此結論在導數的實際應用中經常用到。endprint

（4）利用導數解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟：分析實際問題中各量之間的關系，找出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系y=f（x），根據實際意義確定定義域→求函數y=f（x）的最值→還原到實際問題中作答。

求最值含參數時解題思路是先“整體”后“局部”即：先求函數在整個定義域內的最值，找出臨界點，再結合題目所給的區(qū)間數形結合分析所得圖像，利用最值定義可得。近幾年的高考題中，2011年山東卷21題在此部分有考查。

6.利用導數解決不等式問題

（1）不等式的證明問題的一般解題思路：從所證不等式的結構和特點出發(fā)，結合已有的知識利用轉化與化歸思想構造可導函數研究單調性或最值得出不等關系整理得到結論。如證明f（x）1。第（1）問考查的是導數的幾何意義，通過方程思想求出，利用分析法將命題轉化為證，構造函數h（x）=xlnx，g（x）=xe-x-可求得h（x）在（0，）上單減，在（，+∞）上單增，從而有h（x）min=h（）=-，g（x）在（0，1）上單增，在（1，+∞）上單減，從而有h（x）min=g（1）=-，即可得x>0時h（x）>g（x），即證f（x）>1。

（2）不等式的恒成立問題。“恒成立”與“存在性”問題可看作一類問題，一般都可通過求相關函數的最值來解決，如：

若∈D，f（x）≥a或g（x）≤a恒成立，只需在給定區(qū)間中滿足f（x）min≥a或g（x）max≤a即可；若∈D，f（x）≥a或g（x）≤a成立，只需在給定區(qū)間中滿足f（x）min≥a或g（x）max≤a即可。

7.利用導數研究函數的零點或方程的根

研究函數圖像的交點、方程的根、函數的零點實質是研究函數的性質，如單調性、極值等。用導數研究函數的零點，一方面可以用導數判斷函數的單調性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可以將零點問題轉化為函數圖像的交點問題，利用數形結合來解決。

三、例題分析

1.（2017全國卷II第21題，12分）已知函數f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）≥0。（1）求a；（2）證明：f（x）存在唯一的極大值點x0，且e-2

解題思路：求解第（1）問時，構造函數g（x）=ax-a-lnx，由g（1）=0，g（x）≥0可知g?（1）=0，可得a=1，當a=1時，易知g（x）在（0，1）單減，在（1，+∞）上單增，從而有g（x）min=g（1）=0，故a=1；求解第（2）問時，令h（x）=2x-2-lnx，則h?（x）=2-，易知，當00，h（）<0，h（1）=0，由零點存在性定理及單調性可得h（x）在（0，）上有唯一零點x0，在[，+∞）上有唯一零點1，然后證明f（x）有唯一的極大值點x0，進而得到e-2

本題主要考查導數的運算，利用導數判斷函數的單調性，求極值點、最值點，零點存在性定理，意在考查考生的運算求解能力、推理論證能力、函數與方程思想以及分類討論思想。

2.（2017全國卷I第21題，12分）已知函數f（x）=ae2x+（a-2）ex-x。（1）討論f（x）的單調性；（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍。

解題思路：求解第（1）問時，先求函數的定義域，再求出導函數f?（x）=（aex-1）（2ex+1）分a≤0和a>0結合不等式的性質得到函數的單調性：a≤0，f（x）在（-∞，+∞）上單減，a>0，f（x）在（-∞，-lna）上單減，在（-lna，+∞）上單增；（2）結合第一問的單調性易知a>0，求出此時f（x）min=f（-lna）=1-+lna，由f（x）min與0的大小關系可分a=1，a>1，0

本題主要考查導數的運算以及導數的應用，函數的單調性，函數的零點等知識，意在考查學生的運算求解能力，分析問題與解決問題的能力。

導數的題綜合性較強，求解導數有關題的前提是掌握導數的基本知識：導數的計算、導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性及極值和最值等，學會綜合應用函數與方程思想、分類討論思想、數形結合思想以及化歸與轉化思想，靈活運用其它知識解決問題。