一元線性回歸方法的理論及其應用

李玉毛，何 濤，劉 冬

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

數理研究

一元線性回歸方法的理論及其應用

李玉毛，何 濤，劉 冬

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

一元線性回歸主要研究兩個變量之間的線性相關關系，本文主要論述了一元線性回歸分析的基本理論，借助統計軟件SPSS對一個簡單的實例進行了分析，包括對實例的相關性分析、建模、對模型的顯著性檢驗以及殘差的分析，通過實例更進一步了解一元線性回歸在具體問題中的應用.

一元線性回歸；最小二乘法；SPSS；顯著性檢驗

1 一元線性回歸基本原理

一元線性回歸是回歸模型中比較簡單的回歸模型，它用來描述一個數值變量的變化對另一個數值變量的影響程度，一元線性回歸模型用數學形式表示出來就是

其中（β0+β1x）表示解釋變量x對被解釋變量y的影響，也就是自變量對因變量的影響，β0和β1為未知參數，ε表示不確定的隨機因素對因變量y的影響.一般情況下隨機因素ε是不可預測的，通常假定ε是期望為0、方差為σ2的正態分布.

回歸分析在實際問題中的作用就是通過樣本觀測值（xi, yi）對未知參數即β0，β1進行估計，估計值表示為0，1，通常采用普通最小二乘法來取得理想估計值為

2 應用實例

國內生產總值（GDP）是衡量一個國家或地區總體經濟狀況的重要指標，是指一個國家或者地區所有常駐單位在一定時期內生產的所有最終產品和勞務的市場價值，因此直觀認為一個國家或者地區的常住人口與其GDP應該是有正相關關系.本文搜集了全國12個省市2013年末的常住人口和2014的GDP(表1)進行統計分析[3].

表1 全國12個省市2013年末的常住人口和2014的GDP統計數據

2.1 常住人口和GDP的相關性分析

為考察常住人口(x)和GDP(y)的關系，用統計軟件SPSS繪制散點圖[2]，如圖1所示：

圖1 散點圖

從散點圖可以看出隨著常住人口的增加，GDP有明顯的增加趨勢，也就是說初步判斷二者之間是線性正相關，為了進一步了解二者之間的關系，利用SPSS軟件計算二者之間的Pearson相關系數，結果如表2所示.

表2 相關系數

從表 2可以看出二者之間的 Pearson相關系數為0.960，顯著性檢驗顯示的P值為0，因此常住人口與GDP是高度正相關，我們利用一元線性回歸來給出二者之間的具體線性關系.

2.2 建立一元線性回歸模型

利用SPSS建立回歸方程：

表3 回歸系數

從表3可以看出回歸系數分別是3231.749和6.278，因此2013年末的常住人口（x）與2014年的GDP(y)的線性回歸方程為y=321.749+6.278x，對其回歸系數的進一步檢驗，p值小于0.05，因此回歸系數顯著.

2.3 模型檢驗

一元線性回歸方程的顯著性檢驗通常用方差分析方法F檢驗[3]，其原理是利用總的平方和可以分解為回歸平方和和殘差平方和，即

F統計量為

Fα(1,n-2)為臨界值，當F＞Fα時，回歸方程顯著.

對回歸方程y=3231.749+6.278x進行顯著性檢驗，得到表4:

表4 方差分析

由表得到SSR=4.206×109，SSE=3.569×108,F=117.824, P=0＜0.05,因此回歸方程顯著，其實對于一元線性回歸來說，回歸方程的顯著和回歸系數的檢驗是等價的.

2.4 回歸方程擬合優度的檢驗

為了說明回歸直線的擬合效果，進一步計算回歸方程的擬合優度，如表5所示，得到相關系數R=0.960,判定系數R2=0.922,調整后的判定系數為0.914，也就是說各地區GDP的不同有91.4%是由于常住人口引起的，可見二者有較強的線性關系.

表5 擬合優度檢驗

2.5 殘差分析

上述一元線性回歸模型的建立是基于假定誤差項ε服從均值為0，方差為σ2的正態分布[4]，如果假定成立，則實際值和預測值的殘差εi=yi-i應該與自變量的變化沒有關系，也就是說以自變量為橫軸，以殘差為縱軸做散點圖的點應該落在兩條水平帶中間.如果這樣的假定不成立，則該模型以及由此模型進行的預測的準確度將是不可信的.為進一步研究上述建立的回歸模型的假定是否成立，我們用做殘差圖如圖2所示：

圖2 殘差圖

從圖中可以看出各殘差基本上落在了水平帶x=-20000和x=20000之間，說明我們的假設是成立的，模型也是可靠的.

3 結論

本文通過一個實例，闡述了一元線性回歸在實際問題中的具體應用，并運用統計軟件SPSS對實例進行了相關性分析、建模和各種統計檢驗，給出了2013末地區常住人口和2014年GDP的具體線性回歸方程，具有一定的現實意義.

〔1〕賈俊平，何曉群.統計學[M].北京：中國人民大學出版社，2011.

〔2〕張文彤，閆潔.SPSS統計分析基礎教程[M].北京：高等教育出版社，2010.

〔3〕張敏靜.一元線性回歸方程有關檢驗問題的研究[J].價值工程，2012（2）：1-3.

〔4〕林天水，陳佩樹.一元線性回歸中異方差的處理[J].統計與決策，2015（3）：86-88.

O212

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1673-260X（2017）08-0001-02

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