實數完備性的啟發與猜想

張海玲

摘 要 對于每個接觸數學的人來說都少不了對實數的認識，可以說實數與我們的生活息息相關，從小學到初高中，我們所學的數學知識基本上都是在實數的基礎上建立起來的，而數學的發展也離不開實數理論的支撐，可以肯定的是對實數的研究是我們在數學中另辟蹊徑的一種有效方法，說到實數的完備性，很多人可能會首先想到和實數完備性有關的六個基本定理，即確界原理、單調有界定理、區間套定理、有限覆蓋定理、聚點定理、以及cauchy收斂準則，雖然這六個定理是相互等價的，但我們可以發現其性質之間的轉化和聯系，那么相對于n維歐氏空間而言，是否它也具備一定的完備性；以及相對于實數的這六條基本性質而言，它們在歐氏空間以及其他像具有拓撲的空間又將有何種特質；以及如何將它們加以推廣，這是我們所要進行思考和研究的問題。由于實數完備性定理的證明在數學分析中給出了相應的解答，在此我們就其證明過程則不做過多解釋，而將重點放在實數完備性定理對我們的啟發以及猜想上。

關鍵詞 確界原理 單調有界定理 區間套定理 有限覆蓋定理 聚點定理 cauchy收斂準則

中圖分類號：Ol41.2 文獻標識碼：A

1確界原理

我們知道對于一維歐氏空間而言，它里面的元素也就是我們的實數，實數的完備性定理的第一條就是確界原理，即為有上下界的數集必有上下確界，那么我們在二維歐式空間中來看，對于確界原理而言，由于我們考慮的是平面點集所構成的區域，所以在刻畫二維歐式空間的諸多性質時，我們自然的引入了距離，也就是說我們沒有單純的像一維歐氏空間那樣用實數自身的大小來刻畫其性質，而是借助別的東西來反映其本質，但是我們發現確界定理到了這里似乎有所變化，我們會常去刻畫某一區域的上界，似乎很少去談論它的下界，在此必須引入平面區域有界的概念，既存在的一個鄰域U，使得M包含與U，則M有界，那么我們就會考慮確界原理是否在二維歐氏空間里是成立的，顯然我們知道在二維歐氏空間里有上界的數集必定會存在上確界，supM=U（x， ）， =inf{ '|U（x， '） M}，而在這里我們一般不討論一個區域的下界，所以確界原理在二維歐氏空間里只能敘述為有上界的區域必有上確界，這樣的話我們可以將歐氏空間進行推廣，由于歐氏空間是度量空間，所以在它上面定義的距離是用來衡量上確界的一個重要指標，所以我們同樣可以將確界原理像二維歐氏空間那樣推廣到n維歐氏空間，從這一特征的推廣過程我們可以發現當我們刻畫實數的上確界的時候很明顯用到了實數的度量，而n維歐氏空間上面的度量則是兩實數距離的普通意義下的推廣，所以這也就保證了實數的確界原理可以推廣到n維歐氏空間當中，這就像在兩個拓撲空間中，只要在它們中間存在拓撲映射，如果在此映射下某一性質保持不變則稱之為拓撲性質，顯然我們也可以稱確界原理為歐氏空間的拓撲性質。我們也發現在離散度量空間當中任意兩點間的距離d（x，y）≤1，則該數集顯然滿足確界原理，上確界為d（x，y）=1的點，而對于C[a，b]，在它上面定義度量d（x，y）=max|x（t）y（t）|，如果我們能保證d（x，y）<+∞，則它有上確界，也就是說只要我們取x（t），y（t）∈C[a，b]且x（t），y（t）是有界函數則它一定有界，從而有上確界。可以發現確界原理的應用必須要依賴于刻畫數集有無界的東西也就是我們定義在它上面的度量。

2單調有界定理

通過將實數所滿足的確界原理在歐氏空間加以推廣后，我們會想到實數所滿足的單調有界定理是否依然可以推廣下去，結論是顯然的，在實數域中刻畫單調性依據的是實數的大小，而在n維歐氏空間當中n≥2，由于可以將其中的元素看做向量，則其大小可以借助于向量的模長去刻畫，Rn為n維歐氏空間，存在它當中的點列xm=（x1（m），x2（m），x3（m），）…xn（m）），m=1，2，…，x=（，，…，）∈Rn，不難證明{xm}按歐氏距離收收斂于x的充要條件為對于每個1≤i≤n，有，假設單調有界定理成立，我們取定數列為二維歐氏空間的點集，，，，顯然它是單調遞增的數列，且它是有界的，因為n<∞，但是由于該數列是一些離散的點，所以它沒有辦法收斂與某一點，也就是說在二維歐氏空間中的數列有界并且單調不一定收斂與某一點，顯然如果在n維歐氏空間n>2中所取的點列是離散的一些點，即使單調且有界，也未必會收斂與一點，所以往往離散的區域里的點列其收斂性是比較差的，在刻畫其收斂的時候我們總是致力于各點之間的稠密程度，這就聯想到在一維以上的歐氏空間中，鄰域的加入為他眾多性質的建立奠定了基礎，可以肯定的是我們所研究的對象的維數增加，則必然會有更多的外在因素摻雜進去，就會有更多的東西去破壞我們原有基礎的性質，而就必然需要我們去制約這一現象，也就是加入更多條件，使其更好的遵守原有的性質。

3區間套定理

實數當中建立區間套的性質似乎有一種低維向高維擴展的趨勢，從定理我們可以看出有且只有一個點屬于所有區間套中的區間，我們似乎會想到是否這若干的區間套可以由這一點所生成呢？我想結論是顯然的，在自然界中，一個普遍的規律就是我們擴充某一事物往往只需少許條件就可完成，相對于將一件事物細化則比較簡單，那么就拿區間套定理而言，定理實際描述的是具有區間套性質的區間總是交于唯一的一個點，但是縱觀定理的內容我們會發現，如果隨便拿來一點，然后按照區間套的特點在已給出的這一點的基礎上去構造區間套，顯然這一相對過程可以幫助我們更好的理解該定理，通過這一認識，我們或許可以對所學的收斂等性質有一個更加全面深刻的認識。

當我們將區間套定理擴展到二維歐氏空間時它又被稱為閉域套定理，那么我們可以接著前面的陳述得出，在n維歐氏空間，n>2時我們同樣可以找一點x=（，，3，…，），使得按照閉域套的特點以此點為基礎進行擴充，得到這些閉域必定交于該點，顯然反過來，我們就能得到閉域套定理也將適用于高維歐氏空間，通過這樣的推理我們會發現，在數學乃至各門學科，有些性質它們往往是相對的，過程的起點和終點往往是可以發生轉變的，只要我們所研究的性質有條理，邏輯性強，從它的反面去觀察，往往會有意想不到的收獲。

4有限覆蓋定理

當談論到實數的有限覆蓋定理時，我們很自然的知道，對于一個閉區間我們總能找到無限個開區間來覆蓋該區間（將閉區間中所有的點的任意開鄰域并起來顯然覆蓋此閉區間），但是有限覆蓋定理告訴我們總可以在這無限個開區間中找到有限個開區間來覆蓋此閉區間，我們可以先簡單的思考一個邏輯性問題，假如給出一個閉區間，顯然根據實函中所學的知識我們知道該閉區間是一個具有連續基數c的不可數集合，當然它里面包含無限多個點，若對于x∈[1，4]以及U（X； ），它是x的開鄰域，且x∈[1，4]，則顯然這無窮多個開鄰域可以覆蓋閉區間[1，4]，所以說，任給閉區間總能找到無限多個開區間覆蓋此閉區間，但是如何從這無限個開區間中找出有限個開區間覆蓋閉區間則我們首先需要知道，一個集合M，必有M M，由于M是一個閉集，在用無限個開區間覆蓋閉區間時，由于已知區間是閉區間記為A，則A=A，所以對于x∈A，x的鄰域U（x； ），U∩A≠ 所以在我們找的無限個開鄰域當中總會包含A中的除x外的點，但這并不能證明將某些開鄰域合并就能成為有限個開鄰域，假設找不到有限個開區間覆蓋A，則我們在閉區間A和它的無限多個開鄰域之間建立映射 ∶x→U（x； ），該映射可以直觀反映出任何一個閉區間A，總可以被無限多個開鄰域覆蓋，但是如何將其歸類為有限個，則是用反證法借助區間套定理來論證，那么當將研究對象設定到n維歐氏空間中，由于區間套定理可以推廣到其中，所以我們的論證過程就可以類比實數中該定理的論證，當然也就適用于n維歐氏空間.則我們可以得到這樣一個結論，當我們要試圖證明某一性質適用于所要研究的對象時，如果類比到滿足這一性質的空間在證明該定理時所用到的性質同樣適用于該對象，則我們可以得出在與之相類比的對象所滿足的這一性質同樣滿足我們最初研究的對象。

5聚點定理

談到實數的聚點定理，我們首先會想到聚點的眾多刻畫形式，極限形式：對于點列{xn}，如果xn→x（n→+∞），則稱x為聚點，拓撲形式：x為集合A的聚點，則有x的任則有x的任意領域U，U∩A/{x}≠ ，在拓撲學中我們知道歐氏空間是拓撲空間，而我們知道對于任意集合A，A是所有A的聚點組成的集合，且A A，這就是說明對于任何點集不管它是有限點集還是無限點集，只要它非空，則它的閉包即非空，所以它至少存在一個聚點，所以，我們可以大膽的將這一定理應用在n維歐氏空間，乃至拓撲空間，相對于聚點這一普遍存在于集合論中的一員，可以說它使我們認識到集合與點之間所存在的聯系，聚點定理成立的條件是有界無限點集，但在剛才的敘述中我們發現在拓撲空間中只要集合非空，則必存在至少一個聚點，又因為歐氏空間就是拓撲空間，所以我們的聚點定理在n維歐氏空間中，就可以敘述為非空點集必存在至少一個聚點。

6 cauchy收斂準則

在了解了實數完備性定理的前五個定理后，最后一個基本定理cauchy收斂準則，成為我們論證數列收斂的有力工具，它刻畫了數列收斂的實質是從某一項以后的任意兩項可以任意接近，也就是說從某一項以后的所有項都呈現出高度集中的特性，可以肯定的是當我們在刻畫離散點列收斂時，不管它是在一維歐氏空間還是一維以上的歐氏空間，柯西收斂準則總是成立的，因為其實質就是刻畫點與點之間的相對位置無限接近的時候的收斂性質，當我們的研究對象不是單純的點列而是連續分塊區域所構成的集列時，就不能片面的去用這一定理，所以這一定理在進行推廣的過程中我們要弄清它所研究的對象和在它上面的度量是否和普通定義的距離有異曲同工之妙在n維歐式空間中取點列{xn}，對于 >0，>0，n，m>N，有|xnxm|< ，通過這一點就可以發現實數完備性和連續性是等價的概念，從實數連續性出發，我們在它上面才建立了諸多性質，需要我們知道的一點是完備概念其意義在于我們給定的任意實數列如果收斂，則必收斂到實數，而cauchy收斂準則則給出了刻畫收斂的又一方法，如果我們推廣該定理到高維歐氏空間，同樣可以應用它去刻畫收斂，而在這里則反映到坐標分量的收斂上。在度量空間意義下則將這一準則應用于柯西點列的定義上，不同于分析學的是，在泛函中收斂點列卻不同于柯西點列，這就明顯區別于分析中用柯西收斂準則去刻畫收斂點列。那么當我們將對象轉移到拓撲空間中時，由于拓撲空間的收斂和度量空間有很大區別、所以不能直接將柯西收斂準則推廣過去，由于柯西收斂準則里涉及到距離，要想把它推廣到拓撲空間也必須限定在具有度量拓撲的拓撲空間上，由于拓撲空間的主要性質是由開集刻畫的，所以如果在分析學的映射和拓撲學的開集之間建立某種關系，有可能在分析學中諸多用極限刻畫的性質可以推廣到拓撲學中。

通過上述對實數基本定理認識的闡述我們可以得出這樣一個結論，對于研究不同對象所具有同一性質時，我們總可以想方設法去加入某些條件到該對象中使其具有該性質，不同的只是使用的環境受到限制，而性質本身所具有的實質性問題則未發生改變。可以認清的是數學思想在我們學習過程中極其重要，由于事物之間所具有的普遍聯系，概念，性質的推廣可以說是一種很自然的事情，然而在此背景之下則需要我們去深入了解實質性的東西，可以說猜想并不是不嚴謹的數學心路歷程，它只是我們對真理深入思考后的自我解答。

參考文獻

[1] 陳紀修，於崇華，金路.數學分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.