基于改進廣義導抗法的獨立電力系統靜態穩定性分析

胡 健 付立軍 王 剛 馬 凡

(艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室(海軍工程大學) 武漢 430033)

基于改進廣義導抗法的獨立電力系統靜態穩定性分析

胡 健 付立軍 王 剛 馬 凡

(艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室(海軍工程大學) 武漢 430033)

系統穩定性是獨立電力系統設計和運行時需要被重點考慮的因素。由于現有穩定性判據的保守性，使得獨立電力系統在設計時為保證穩定運行而付出了更多代價，對電力電子裝置級聯的條件提出了更嚴格的限制。為此提出同時考慮增益裕度約束和相位裕度約束的改進廣義導抗穩定性分析方法，推導了具有更小禁止域的穩定性判據，用以計算多運行點系統的電源廣義阻抗約束集和負載廣義導納集。以某同步整流發電機帶恒功率負載的獨立電力系統為例，驗證了所提出的穩定性分析方法的正確性。與現有方法相比，該方法有效降低了保守性，提高了分析精度。

獨立電力系統 整流發電系統 恒功率負載 穩定性分析

0 引言

獨立電力系統是指與大電網隔離獨立運行的電力系統，近年來在船舶、混合動力汽車、海島等電力系統中得到廣泛應用[1-5]。獨立電力系統中通常含有變頻調速的電動機系統，它被認為是一類恒功率負載，具有負阻抗特性，這是導致獨立電力系統失穩的主要原因[6，7]。此外，電力電子裝置級聯是獨立電力系統的另一個特征。雖然級聯系統中各電力電子裝置在設計時能確保獨自運行時的穩定，但是它們級聯后由于輸入輸出阻抗的不匹配，容易導致級聯系統失穩[8-11]。因此在設計和分析獨立電力系統時，需要重點關注系統的靜態穩定性。另一方面，由于獨立電力系統運行存在多種運行點的情況[12-16]，系統電壓、頻率、負載功率等常在一定的范圍內變化，運行點往往不是確定值，因此需要研究有異于單一運行點系統的穩定性分析的方法。

在獨立電力系統穩定性分析方法中，目前主流的方法是通過計算級聯系統源輸出阻抗(Zs)和負載輸入導納(Yl)乘積的奈奎斯特曲線，來判斷系統穩定性[17]。Middlebrook判據[18]是最簡單的一種系統穩定性判定方法，根據Middlebrook輸入輸出阻抗判據，當系統的ZsYl奈奎斯特曲線全部位于單位圓內時，系統是穩定的。因此在已知源輸出阻抗(或負載導納)時，可以計算得出負載約束導納(或源約束阻抗)，反之亦然。然而，Middlebrook判據按照滿足所有相位裕度約束的前提下，只考慮了增益裕度約束，因此在奈奎斯特平面中除了單位圓內部的區域外，其他區域均為禁止域，具有嚴重的保守性；增益相角判據[19]和相對論證判據[20，21]可以降低穩定性分析結果的保守性，但是由于數學求解形式復雜，且容易受源和負載組成形式的影響，使其很少在實際的獨立電力系統中得到應用。能量源聯合分析判據[22-24](Energy Source Analysis Consortium,ESAC Criterion)在GMPM判據禁止域基礎上進行改進，定義了新的更小的禁止域，大大減小了穩定性分析方法的保守性并簡化了判據的復雜程度，因此是目前導抗穩定性分析方法中首先選用的一種穩定性判據。當系統存在多個不同的運行點時，建立源輸出廣義阻抗和負載輸入廣義導納，通過選擇合適的導抗穩定性判據，建立廣義負載輸入導納約束集或者源輸出阻抗約束集，分析獨立系統在多運行點下的靜態穩定性。

本文在現有廣義導抗法ESAC穩定性判據基礎上，首先將原有相位裕度約束和增益裕度約束分開考慮的過程改為同時考慮相位裕度約束和增益裕度約束對奈奎斯特平面禁止域的影響，得到含更小禁止域的改進穩定性判據；再根據源廣義輸出阻抗集和改進的穩定性判據，計算具有更小保守性的負載輸入導納約束集，根據負載輸入導納約束集與廣義負載輸入導納集判斷系統穩定性；最后以某三相同步交流發電機接不控整流裝置帶恒功率負載的獨立電力系統為例，驗證本文方法與現有方法相比有效改善了保守性，并得到更為準確的結果。

1 小環增益曲線和ESAC判據

1.1 小環增益曲線

對于一個獨立電力系統，通過戴維南等效將其等效為一個源-負載系統，如圖1所示。

圖1 戴維南等效源-負載電路Fig.1 The Thevenin equivalent source-load circuit

圖1中vs為戴維南等效電勢，Zs為源阻抗，vl為等效負載電壓，Zl為負載阻抗。對于端口電壓v有

(1)

定義Zs和Zl為

(2)

則式(1)可以改寫為

(3)

根據奈奎斯特理論，當負載穩定運行的時候，Nl不存在位于右半平面的零點，同樣當電源帶恒功率負載穩定運行時，Ds不存在位于右半平面的零點。對式(3)進行變形，得到

(4)

式中，Yl為負載導納，Yl=1/Zl。將ZsYl的奈奎斯特曲線稱為小環增益曲線[22-24]。因為Nl和Ds在右半平面不含有零點，所以當1+ZsYl右半平面不存在零點時，系統是穩定的。小環增益曲線在s平面上，不包含(-1，j0)的點。

1.2 ESAC穩定性判據

獨立電力系統含有多運行點的特點，使得單一運行點的穩定性分析方法不能全面反映獨立電力系統的穩定性，因此需要研究廣義穩定性。廣義導抗穩定性分析需要根據系統不同運行點形成源輸出廣義阻抗和負載輸入廣義導納[25]。再根據源輸出廣義阻抗計算負載輸入導納約束集，或者根據負載輸入廣義導納計算源輸出阻抗約束集。

最為主要的步驟是選擇合適的穩定性判據來計算導納和阻抗約束集。穩定性判據定義原則是確保小環增益曲線不包含s平面上(-1，j0)的點。目前廣義穩定性分析方法中，廣泛使用的穩定性判據是ESAC穩定性判據。

ESAC穩定性判據禁止域由兩部分組成，第一部分邊界是平行于實軸的兩條直線，始于負無窮，與單位圓相交于相位裕度約束在s平面上與單位圓的交點。其中相位裕度約束曲線為兩條與負實軸夾角為±PM的直線[22-24]，ESAC穩定性判據禁止域如圖2所示。表達式為

(5)式中，PM為相位裕度；∠x= angle(Re(x)+jIm(x))，∠x∈(-π，π]，加法運算的結果以2π為周期映射到區間(-π，π]中。ESAC穩定性判據的禁止域第二部分邊界是增益裕度約束與負實軸交點(-1/GM，j0)，與單位圓上交點的連線，增益裕度約束方程為

(6)

式中，GM為增益裕度，dB。

圖2 ESAC穩定性判據Fig.2 ESAC stability criterion

穩定性判據邊界曲線包含(-1，j0)點的區域為禁止域。與其他穩定性判據相比較，ESAC判據具有更小的禁止域，允許小環增益曲線在s平面上有更大的穩定區域。

2 改進的廣義導抗穩定性分析方法

2.1 穩定性判據

為盡可能減小穩定性判據的保守性，需要將禁止域邊界在可能的范圍內進一步縮小，通過幅值增益約束和相位裕度約束的相互限制減小禁止域，使得小環增益曲線可以在相平面上更大的范圍內出現，從而改善穩定性判據保守性。

在ESAC穩定性判據的基礎上，當確定禁止域第一部分邊界時，考慮±PM的相角約束，同時考慮增益裕度約束1/GM的影響，將第一部分平行實軸直線與圓的交點，由原先在單位圓上，改為半徑為1/GM的圓上，其中GM≥1。改進法禁止域平行實軸的第一部分邊界數學表達式為

(7)

為避免因考慮增益裕度約束后，禁止域第二部分邊界包含更多區域，改進法禁止域第一部分邊界與第二部分邊界的交點為改進法平行線與ESAC判據的交點，與負實軸仍然交于(-1/GM，j0)點，改進法禁止域的第二部分邊界數學表達式為

(8)

改進的穩定性判據禁止域如圖3所示。

圖3 改進的穩定性判據Fig.3 Improved stability criterion

當在相同的相位裕度PM約束下，改進法具有比ESAC判據更小的禁止域，保守性得到了改善，且增益裕度GM越大，改善效果越明顯，GM=1 dB時，兩者是重合的，所以ESAC判據是改進法在GM=1 dB時的一種特殊情況。當在相同的增益裕度GM約束下，改進法能得到比ESAC判據更小的禁止域，PM接近0°時兩種方法保守性一樣，當PM=90°時，保守性改善效果最明顯。

2.2 負載廣義導納約束集

如圖4所示，在s平面上繪制穩定性判據禁止域邊界曲線和源輸出阻抗曲線。由前文已知若小環增益曲線不能包含點(-1，j0)，則系統穩定，根據穩定性判據，即不進入禁止域內。

圖4 單個頻率下廣義約束集計算Fig.4 The generalized constraint set under a single frequency

選定某一頻率點fa，Zs，a為該頻率下源輸出阻抗奈奎斯特曲線上的值。點sb為位于穩定性判據禁止域邊界曲線上的點，當小環增益曲線觸及禁止域邊界時，負載約束導納有

(9)

當源輸入阻抗已知時，將點sb沿sc到sd的方向在整條邊界上移動時計算得到在頻率點fa處的負載輸入導納約束，Yl，ab在幅值-相角平面上為一閉合曲線。將源輸出阻抗奈奎斯特曲線上的值由頻率點fa擴大至整個頻域或者某段感興趣的范圍，就得到了以頻率、相角和幅值為坐標軸的三維廣義負載輸入導納約束集。

2.3 廣義穩定性分析

對于像不確定系統或時變系統等具有多個平衡狀態點的系統，例如當發電機端角頻率在0.9(pu)～1.1(pu) 范圍內變化，均分選取10個狀態點，負載端功率在0.8(pu)～1.2(pu)變化，均分取10個狀態點。利用傳統穩定性分析方法，就有100種運行點需要計算。若利用廣義穩定性分析方法，可以在三維空間坐標系中，一次性完成穩定性分析，這樣就避免了傳統穩定性分析方法重復計算的過程。

在三維空間中，以x軸為頻率對數，單位是Hz，y軸是相角，單位是°，z軸是幅值增益，單位是dB，建立三維空間導納/阻抗坐標系?？捎猛沟冉嵌噙呅畏╗25]或其他數學方法確定含有多運行點系統在固定頻率時的源輸出阻抗范圍曲線，擴展至整個頻域范圍建立三維源輸出廣義阻抗集。再結合穩定性判據和求取廣義約束集方法，計算負載輸入導納約束集。通過判斷源輸出廣義阻抗集空間和廣義約束集空間在三維坐標系中是否存在重疊的部分判斷系統是否穩定，若不存在重疊部分，表明在整個頻域范圍內小環增益曲線不包含(-1，0)的點，系統是穩定的。

廣義穩定性分析方法與傳統穩定性方法相比，其優勢在于處理多運行狀態點的情況，但對于有固定運行平衡點的電力系統穩定性分析同樣適用，此時就變為判斷三維空間中兩條曲線是否有交點。

3 算例驗證

3.1 算例系統模型簡化

圖5為某三相同步發電機整流帶恒功率負載電力系統結構，將圖5所示系統看作是電源整流子系統和恒功率負載子系統的級聯。

圖5 三相同步發電機整流帶恒功率負載電力系統Fig.5 Three phase synchronous generator rectifier power system with constant power load

對于電源整流子系統，可將其等效為如圖6所示電路。

圖6 電源整流子系統等效電路圖Fig.6 Equivalent circuit diagram of electrical commutator system

小信號輸出阻抗Zo(s)可以表示為

(10)

式中，Le、Re、Cdc分別為等效直流電感、電阻和電容，Le=Lt+Ldc，Ldc為直流側電感，Lt≈L″q+L″d，Re=3ωrLc/π+2r，r為電樞電阻，ωr為電機角頻率，Lc≈(L″q+L″d)/2。

對于恒功率負載子系統中的電動機，其等效電路如圖7所示。

圖7 恒功率負載子系統等效電路Fig.7 Constant power load subsystem equivalent circuit

小信號輸入阻抗Zi(s)為

(11)

因此圖5所示系統的簡化結構如圖8所示，其中各部分參數見表1。

圖8 簡化電力系統結構Fig.8 Simplify the power system structure

參數數值電源等效電勢ve/V500電源等效電阻Re/Ω0.9842電源等效電感Le/mH7.1345電源直流側電容Cdc/mF1.5負載輸入電容Cin/mF2恒功率負載P/kW25

3.2 算法對比

采用保守性較小且目前廣泛使用的ESAC算法作為本文改進算法的對比。

首先，在計算源輸出廣義阻抗時，輸入電壓按額定值的80%～120%均分選取10個值，發電機角頻率按額定值的80%～120%均分選取10個值，共100個運行點，用凸等角多邊形法確定固定頻率下多運行點的邊界，擴展至頻域范圍建立源輸出廣義阻抗。同理計算負載輸入廣義導納時，輸入電壓按額定值的80%～120%均分取5個值，負載功率按15～25 kW均分取10個值，共50個運行點，建立負載輸入廣義導納。結果如圖9、圖10所示。

圖9 源輸出廣義阻抗Fig.9 Generalized output impedance of source

圖10 負載輸入廣義導納Fig.10 Generalized input admittance of load

利用源輸出廣義導抗，分別采用ESAC判據和本文方法計算負載輸入導納約束集。圖11為在響應頻率為100 Hz時兩種方法所得約束集邊界對比，可以看出因保守性的差異，ESAC法禁止域要大于本文方法。圖12和圖13為在0.01 Hz到10 kHz頻率范圍內的穩定性分析結果。

圖11 100 Hz響應頻率處約束集邊界對比Fig.11 Constraint set of boundaries at 100 Hz frequency

圖13 本文方法穩定性分析Fig.13 Improved method for stability analysis

圖12中，在100 Hz處，所有運行點組成的負載輸入廣義導納均與負載輸入導納約束集發生了交叉，且交叉部分包含所有運行的狀態點，因此，不能表明系統是穩定的，在工程設計經驗上往往根據這種判斷結果，將系統認定是不穩定的。

圖13中所有運行點組成的負載輸入廣義導納與負載輸入導納約束集未交叉，表明系統穩定。

從圖12和圖13可以看出，因為保守性的差異，ESAC穩定性判據和本文改進判據得到的結果不同。在Matlab/Simulink中，建立圖8所示獨立電力系統的電磁暫態仿真模型，仿真得到系統在表1所示參數運行點下，恒功率負載側的直流電壓和直流電流波形如圖14、圖15所示。

圖14 恒功率負載輸入電壓仿真波形Fig.14 The input voltage’s simulation waveform of constant power load

圖15 恒功率負載輸入電流仿真波形Fig.15 The input current’s simulation waveform of constant power load

通過圖14、圖15可以看出，系統能夠穩定運行，說明本文方法分析的結果是正確的，表明本文方法能夠有效地減小廣義導抗穩定性分析方法的保守性。

對于不穩定的系統，根據穩定性理論，系統的小環增益曲線一定包含相平面上(-1，j0)的點。而ESAC判據和本文方法，點(-1，j0)都位于禁止域內，根據約束集求解方法可知約束集一定會和廣義集發生交叉，所以本文方法在減小保守性的同時，不會出現將不穩定的系統誤判為穩定的情況。

4 結論

本文為減小現有廣義導抗穩定性分析方法的保守性，在ESAC判據的基礎上，通過同時考慮相位裕度約束和增益裕度約束，在s平面上確定禁止域邊界，得到了更小的禁止域。并考慮參數動態變化對系統穩定性的影響，將傳統穩定性分析拓展至廣義的穩定性分析，提出了基于改進廣義導納法的穩定性分析方法，與現有的廣義導抗穩定性分析方法相比：

1)由于本文方法穩定性判據具有更小的禁止域，因此能得到保守性更小的負載輸入導納約束集或源輸出阻抗約束集，提高了準確分析系統穩定性的能力。

2)系統設計時，在s平面上為小環增益曲線提供了更大的可行域，降低了對級聯系統的穩定性設計要求和成本。

實際工程中的獨立電力系統相比算例更加復雜，但是可以通過戴維南等效對各發電機、換流器、負載等單獨計算阻抗，再根據網絡串并聯拓撲最終等效為源-負載系統，因此本文穩定性分析方法對于多機多負載系統同樣適用。

本文方法能夠為獨立電力系統穩定性設計提供指導，并適合含多運行點電力系統穩定性分析。

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(編輯 赫蕾)

Steady-State Stability Analysis of Isolated Power System Based on Improved Generalized Immittance Method

HuJianFuLijunWangGangMaFan

(National Key Laboratory of Science and Technology on Vessel Integrated Power System Naval University of Engineering Wuhan 430033 China)

Stability is an important element to be considerated in the design and analysis of isolated power system. Due to the conservatism of the existing stability criterion, which makes the isolated power system cost a lot for stable operation. Tighter restrictions are also put forward for system cascade. In this paper, consider the gain margin and phase margin constrain at the same time and deduce the stability criterion with smaller forbidden region to calculate generalized impedance constraint set and generalized load admittance set of the multi operating point system. An isolated power system consisting of a synchronous machine with a rectifier as a source and a constant power as load is analyzed by using the proposed method and which compared with existing method shows it can get more accurate results and reduced conservatism effectively.

Isolated power system，rectifier generation system，constant power load，stability analysis

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.160832

國家重點基礎研究發展計劃(973計劃)(613294)和國家自然科學基金(51377167)資助項目。

2016-06-02 改稿日期2016-09-09

TM71

胡 健 男，1990年生，博士研究生，研究方向為電力系統穩定性分析與控制。

E-mail：417356933@qq.com(通信作者)

付立軍 男，1967年生，教授，博士生導師，研究方向為電力系統設計與建模。

E-mail：Lijunfu2006@sina.cn