“純電阻元件”與“線性元件”概念討論

彭 軍

(湖北省荊州中學 湖北 荊州 430100)

“純電阻元件”與“線性元件”概念討論

彭 軍

(湖北省荊州中學 湖北 荊州 430100)

中學及大學教材上總是將“純電阻元件”及“線性元件”這兩個概念同時介紹，使得這兩個概念含糊不清.通過本質分析及實例研究，試圖劃清這兩個概念的界限，希望對今后的教材編輯有所幫助.

純電阻 歐姆元件 線性元件

“純電阻元件”和“線性元件”是“恒定電流”部分的兩個概念，這兩個概念不論在中學教材還是大學教材中都是在介紹歐姆定律時提出，并且大部分教材對這兩個概念的區分很模糊，給初學者的印象是這兩個概念是等價的[1～3].在這里探討一下這兩個概念的根源和區別.

1 “純電阻元件”概念分析

圖1 小燈泡的伏安特性曲線

P=UI

(1)

這個公式反映了元件從電路中獲得能量的快慢.另一個重要規律是焦耳定律，由其推得的元件通電發熱功率為

PQ=I2R

(2)

這個公式反映了元件將從電路中得到的電能用來產生內能的部分.值得注意的是式(1)、(2)不論對于“純電阻元件”還是“非純電阻元件”都是成立的，不難看出如果認為P=PQ，則可得到歐姆定律成立.可做出這樣的結論：元件符合歐姆定律的充要條件，是其將從電路中得到的電能全部轉化為電熱.

2 “線性元件”概念分析

接下來討論另一個概念“線性元件”.數學上的“線性關系”表示兩個量之間的函數關系為一次函數，也可以叫做直線關系，所以作為一個電路元件，只要其電壓U與電流I之間的關系是一次函數，按道理就可以將之稱為“線性元件”.這里需要注意的一點是，正比例關系其實只是線性關系中的一個特例，不過原點的直線關系也是線性的，所以定值電阻固然可以稱作“線性元件”，其實電動勢和內阻為定值的電源也是“線性元件”，因為其U-I關系圖也是直線，如圖2所示.

圖2 電源路端電壓與電流關系

再討論一下實驗“測量小燈泡的伏安特性曲線”，因為小燈泡的U-I圖不是直線，所以這個實驗中的白熾小燈泡只能叫“非線性元件”.考慮到這是由于溫度變化導致電阻變化的原因，如果將這個實驗的環境變一下，讓小燈泡的燈絲處于一個熱傳導迅速的恒溫環境中，再重復這個實驗，相信這次得到的U-I圖很可能是一條過原點的直線了.這說明，對同一個元件，在不同的環境之中，其U-I關系的表現可能是不一樣的，所以一個元件是否為“線性元件”跟測量環境是有關系的.

那么，一個“線性元件”的線性到底有什么用，需要如此關注它呢？線性關系是所有函數關系中最簡單的，所以一個元件如果是“線性元件”就說明其電壓、電流在電路中容易求解.舉個例子：

將一個阻值為R的定值電阻接到一個電動勢為E，內阻為r的電源兩端，如何求解此時電阻兩端的電壓U和流過它的電流I？因為U是電阻與電源的共同電壓，I是電阻與電源的共同電流，所以U和I既滿足電阻的U-I關系也滿足電源的U-I關系，于是聯立這兩個U-I關系

解得

如圖3所示，這就是高中教材上閉合回路歐姆定律的推導方法，可以看到，如果元件都是“線性元件”，最后需要解的是一次方程組，如果元件中存在“非線性元件”，那么式(3)、(4)就不會是一次方程，要求解的方程組就復雜得多！

圖3 閉合電路歐姆定律的推導

大學處理復雜電路的基本方法是基爾霍夫方程組，其中第一類節點方程本身就是一次方程，而第二類回路方程只有當回路上所有元件都是線性的才會是一次的.也就是說“線性元件”組成的電路，其基爾霍夫方程組才是一次方程組，“非線性元件”組成的電路，其基爾霍夫方程組不是一次方程組.

3 實例剖析

最后通過舉例來突出這兩個概念的區別.

一方面，純電阻元件可以是線性元件，也可以是非線性元件.比如白熾小燈泡，當控制環境使其電阻恒定時，它是線性元件，但是平常做實驗時，它是非線性元件.

另一方面，非純電阻元件既可以是非線性元件，也可以是線性元件.非純電阻元件是非線性的，這樣的例子在現實中特別是半導體元件中比比皆是；而電動勢、內阻恒定的電源，它是不符合歐姆定律的非純電阻元件，但同時也是線性元件.也許很多人認為電源并不是一個好例子，我們再舉一個線性但非純電阻用電器的例子.

構想一個這樣的電動機：如圖4(a)所示，兩條平行無電阻導軌MN和PQ形成水平導軌平面，金屬桿ab垂直兩導軌與導軌穩定接觸，整個裝置處于垂直于導軌平面的勻強磁場B中，當給ab桿加上電壓通電，ab桿就會在安培力作用下運動，于是將電能轉化為機械能，這個裝置顯然是不符合歐姆定律的.現在假定桿在運動時只會受到一個與其速度v成正比的阻力f，其大小f=kv，其中k為已知常量，除此之外，桿的有效長度L，桿的有效電阻R均為已知.另外如果桿的質量很小，則桿在通電后的極短時間內即可達到安培力F與阻力f平衡，因此可以認為桿隨時都處于平衡狀態，現在推導此時的U-I關系.

圖4 設想的電動機

此電動機的等效電路圖如圖4(b)所示，E為其反電動勢，有

U=E+IR

(7)

根據動生電動勢規律

E=BLv

(8)

根據設定，阻力

f=kv

(9)

由桿受力平衡，有

F=f

(10)

由安培力性質

F=BIL

(11)

由以上式(7)～(11)聯立可得

(12)

由此可看出，此電動機的電壓U與電流I確實是線性關系且是正比例關系，但它是不符合歐姆定律的非純電阻元件，U=IR明顯對其不成立.

4 結論

通過以上分析及舉例，可以看出“純電阻元件”與“線性元件”兩個概念，不論從其本質含義還是具體實例來看，都是沒有任何聯系的.教材上將歐姆定律的成立條件與線性元件概念放在一起，讓學生意識到金屬材料的U-I關系是正比例函數，這對于電阻這個量的理解是恰當的，但卻容易造成學生對這兩個概念的認識模糊不清，這的確是物理教材中一個值得商榷的問題!

1 物理課程教材研究開發中心. 物理·選修3-1. 北京：人民教育出版社，2010. 46～47

2 趙凱華，陳熙謀. 電磁學. 北京：高等教育出版社，2011. 160～161

3 沈克琦. 高中物理學3·電磁學. 合肥：中國科學技術大學出版社，2015. 60～61

Discussion on the Concepts ofPureResistanceElementsandLinearElements

Peng Jun

(Hubei Jingzhou High School,Jingzhou, Hubei 430100)

“pure resistance element” and “linear element” these two concepts will always be introduced at the same time in Middle school and university textbooks, this leads to the ambiguity of the two concepts. This paper tries to draw a clear line between the two concepts through the analysis and examples, hoping to help the future textbook editing.

pure resistor; Ohmic element;linear element

2017-02-04)