追本朔源
——靜電平衡法再探2013年高考安徽理綜第20題

許 龍

(太和縣第一中學 安徽 阜陽 236600)

辛淑媛

(太和中學 安徽 阜陽 236600)

追本朔源
——靜電平衡法再探2013年高考安徽理綜第20題

許 龍

(太和縣第一中學 安徽 阜陽 236600)

辛淑媛

(太和中學 安徽 阜陽 236600)

對2013年高考安徽理綜卷其中一道關于靜電場的物理試題進行了分析，針對不同考試用不同方法做一研究，同時用大學物理的相關內容從微觀角度分析該靜電場形成的原因.

靜電平衡 安徽理綜 電磁學 積分

自2008年開始，安徽高考開始進行自主命題，盡管2016年命題權被教育部收回，但縱觀近幾年的安徽理綜卷，尤其是物理部分可謂是好題不斷，精彩紛呈，有些題目源自大學物理，同時又能用高中知識進行解答，在分析問題時可對不同水平的考生都有所啟發.

尤其是2013年的第20題——選擇題的最后一題，對這道題不同層次的學生有不同的解法.下面筆者就簡單分析這道試題，同時用大學物理的靜電感應方法探究一下導體表面感應電荷的分布特點.

圖1 點電荷與無窮大導體表面距離中點的場強計算

解析:該題看似比較抽象，分析后發現該題亦可用高中知識進行解答，下面筆者通過以下幾種方法進行解答.

1 普通考生——比較法

由選項比較可知，大于該場強的只有D選項，所以正確答案為D.

2 優秀考生——鏡像對稱法

-q在該點產生的場強大小為

圖2 等量異種電荷電場線分布

兩電荷在該處產生的場強方向相同，則合場強為

依然選擇D選項.

3 大學生——靜電平衡法

若是大學生看待這道試題，可用微觀方法分析，需要用到大學物理中電磁學的一些內容，尤其是高斯定理和高等數學的積分知識.

可設電荷q為正電荷，無限大金屬板接地使下邊電荷量為零，整個金屬板，只有上表面有電荷，如圖3所示.金屬板上表面上任意一點M，點M和點O之間的距離為x，取金屬板內接近M點的點N，取一包含MN兩點的面元ΔS，其包含電荷量為q′.

圖3 靜電平衡的無限大接地金屬板內的場強

3.1 N點場強的構成

導體內場強由兩部分疊加而成：源電荷激發的電場和感應電荷在此激發的電場.

3.1.1 源電荷在此形成電場

源電荷在M點的場強為

其中r2=h2+x2，所以

方向沿著PM方向，由于MN極近，所以q在M點場強跟N點場強相同.為了方便計算，取該點場強的法向分量

E1n=E1sinθ

其中

可得此時在N點垂直于平面向里的場強為

3.1.2 面元ΔS上的電荷q′激發電場

當把金屬板看成無限大平面時，可用高斯定理進行求解，在面元ΔS兩側場強應滿足

可得

雖然除了面元ΔS之外的感應電荷也會在N點激發電場，但這個方向不是在金屬板的法向上，而與板面相切，在法向場強沒有影響.所以，在N點的法向方向總場強為

3.2 N點合場強

由于N點在導體內部，其總場強為零，法向場強亦為零，所以應滿足

因此，可得導體表面感應電荷的面密度為

負號表示感應電荷的電性與源電荷電性相反.由電荷密度表達式很明顯可以看出：在金屬平板上離源電荷正對位置的O點越遠，電荷密度越小.

圖4 無限大圓盤軸線上電場強度

3.3.1 感應電荷的電場強度

其中

以O為圓心,半徑為x，寬為dx的面元dS=2πxdx.

由于無限大金屬板的對稱性，感應電荷在此形成的合場強應為沿著軸線方向，即

其中

所以

可得

3.3.2 源電荷形成電場

方向指向z軸負方向，即場強為

感應電荷和源電荷在此形成的合場強為

用大學物理的分析方法和高等數學的積分方法更能探究這個問題的本質，能從微觀上分析感應電場形成的由來，這樣的分析方法可以對一些參加自主招生考試的學生起到指導作用.

補充:其實在算得導體表面的電荷面密度后，也能算得其表面的電荷量，依然采用高等數學的積分方法

dq感=σdS

其中

dS=2πxdx

對于無限大的金屬板可用定積分方法求得其結果

由此發現，此金屬平板所帶的電荷量與源電荷電荷量相等，電性相反，這也是與事實相吻合的：感應電荷的電荷量不大于源電荷的電荷量.對于感應電荷量小于源電荷量的情況可以用電場線的條數正比于電荷量的方法予以證明，這里筆者不做過多贅述.

1 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.普通物理學教程電磁學(第2版).北京：高等教育出版社，2004.52～53

2 程守洙，江之永.普通物理學(第6版)上冊.北京：高等教育出版社，2006.282～283

3 孫麗，汪邦家.2013年高考理綜卷第20題賞析.物理通報，2014(7):101～103

Tracing to Its Source—— Re-research on the 20th Question in Science Integrated Paper of 2013 Anhui College Entrance Examination Using Electrostatic Equilibrium Method

Xu Long

(Taihe No. 1 Middle School,Fuyang，Anhui 236600)

Xin Shuyuan

(Taihe Middle School,Fuyang，Anhui 236600)

A physics exam question about electrostatic field is analyzed in the integrated test in science of Anhui Province in 2013. Some research is done using different ways for different types of exams and at the same time the cause of the electrostatic field is analyzed using the University physics knowledge from the microscopic angle

electrostatic equilibrium；the integrated test of Anhui province；electromagnetism；integral

許龍(1989- )，男,中教二級，主要從事中學數學教學及研究.

辛淑媛(1989- )，女，中教二級，主要從事中學數學教學及研究.

2017-02-20)