引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小重力加速度測量的系統(tǒng)誤差*

張巧明

(西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 重慶 400715)

李青燕

(西南大學(xué)科學(xué)教育研究中心 重慶 400715)

盧晨蕾

(重慶市人和中學(xué) 重慶 400052)

賈偉堯

(西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 重慶 400715)

引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小重力加速度測量的系統(tǒng)誤差*

張巧明

(西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 重慶 400715)

李青燕

(西南大學(xué)科學(xué)教育研究中心 重慶 400715)

盧晨蕾

(重慶市人和中學(xué) 重慶 400052)

賈偉堯

(西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 重慶 400715)

把剛體模型理論中的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等引入到單擺測量系統(tǒng)中進(jìn)行誤差修正，使系統(tǒng)誤差減少了近60%.另外，此系統(tǒng)誤差處理方法不但可以使學(xué)生對單擺運(yùn)動(dòng)有更深刻的認(rèn)識，還可以擴(kuò)展學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)知識運(yùn)用到實(shí)際中去的理念.

單擺法 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 系統(tǒng)誤差 重力加速度測量

1 引言

重力加速度測量是重要的物理實(shí)驗(yàn)，測量方法很多，有單擺法、自由落體法、打點(diǎn)計(jì)時(shí)器法等[1，2].單擺法操作簡單，但是需要人工操作計(jì)時(shí)并且實(shí)驗(yàn)時(shí)間長等因素會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)誤差.用自由落體法測量過程中，雖然計(jì)算過程簡單，但是受壓強(qiáng)的影響，小球初速度可能不為零，因此容易出現(xiàn)系統(tǒng)誤差.用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器法測量過程中，雖然導(dǎo)軌與滑塊之間的摩擦力很小，但是無法忽略摩擦力.在這些測量方法中，利用單擺測量重力加速度是很重要的一種方法，因?yàn)樗且环N間接測量法，比較方便.但由于單擺測量法忽略了擺線的質(zhì)量和擺球的大小，系統(tǒng)誤差比較大，需要對傳統(tǒng)的單擺法進(jìn)行改進(jìn).

2 理論分析

2.1 單擺法測量重力加速度的一般方法

不考慮剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)單擺周期為

式中L=L0+r，其中L0為擺線長，r為擺球半徑，g1為重力加速度[3，4].用這種方法測量重力加速度時(shí)，把球看成了質(zhì)點(diǎn)，忽略了擺線的質(zhì)量，因此存在系統(tǒng)誤差.如果考慮擺球的大小和擺線的質(zhì)量，把它們看成剛體，分別引入它們的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，就可以避免這個(gè)系統(tǒng)誤差.

2.2 引入剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改進(jìn)重力加速度測量

考慮上述因素后，找到了一種減小測量重力加速度系統(tǒng)誤差的改進(jìn)方法.此方法基于剛體模型，不改變實(shí)驗(yàn)裝置，只利用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析過程.把擺球看成剛體進(jìn)行計(jì)算.單擺模型如圖1所示.

在單擺系統(tǒng)中，擺線長記為l0，擺線的質(zhì)量為m1， 擺線的質(zhì)心為C1，球的半徑為r，球的質(zhì)量為m2，球的質(zhì)心為C2.總質(zhì)心為C，CC1的距離為r1，CC2的距離為r2， 等效擺長剛體對軸線的回轉(zhuǎn)半徑為k0.

圖1 單擺模型

整個(gè)系統(tǒng)相對于懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0

(1)

定義

m=m1+m2

(2)

根據(jù)剛體等效擺長，把式(2)代入式(1)可得

(3)

利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊加性，總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可表示為

(4)

由圖1，根據(jù)質(zhì)心的定義，可知

m1r1=m2r2

(5)

(6)

由圖1易得質(zhì)心離懸點(diǎn)的距離

l′=l0+r-r2

(7)

當(dāng)θ→0時(shí)

此為典型的二階齊次線性微分方程，其通解為余弦函數(shù)，函數(shù)的角頻率ω滿足

則單擺的周期為

(8)

把式(3)～(7)代入式(8)，得

因此，結(jié)合剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測得的重力加速度可表示為

(9)

要得到g2，需要測量的量為擺線長l0，擺線的質(zhì)量m1，擺球的半徑r，擺球的質(zhì)量m2，單擺的周期T.

2 實(shí)驗(yàn)測量

2.1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測量

用精度為1mm的直尺測得l0=0.361 0m，用精度為0.1mg的天平測得m1=0.111 7g，擺球的質(zhì)量m2=2.913 6g，用精度為0.1mm的游標(biāo)卡尺測得擺球的半徑r=0.007 5m，由式(7)得出l′=0.361 6m，由式(4)得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I0=4.005×10-4kg·m2

2.2 單擺周期T的測量

在測量周期的過程中每測量5組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)使單擺連續(xù)擺動(dòng)50個(gè)周期，求一組單擺周期的平均值， 再把5個(gè)平均值進(jìn)行再求平均后得到周期值，周期測量數(shù)據(jù)如表1 所示

表1 5次單擺周期測量平均值及總平均值

2.3 計(jì)算重力加速度

把上述數(shù)據(jù)代入到式(9)中，求得重力加速度為

g2=9.765 8m/s2

由傳統(tǒng)計(jì)算單擺周期推導(dǎo)出的重力加速度為

3 誤差比較

精確的重力加速度理論公式[5，6]為

其中g(shù)0為地球標(biāo)準(zhǔn)重力加速度，g0=9.806 65m/s2,φ為測量點(diǎn)的地球緯度，h為測量點(diǎn)的海拔高度，R為地球的平均半徑 (R=6 370km).通過精度為10m的手機(jī)GPS定位測量可得重慶的緯度和海拔分別為29°49′31″和240m，代入理論公式,得到準(zhǔn)確度更高的標(biāo)準(zhǔn)重力加速度g=9.784 1m/s2. 讓g與傳統(tǒng)結(jié)果g1和引入剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量得到的結(jié)果g2進(jìn)行對比，假設(shè)前者誤差定義為Δ1，后者定義為Δ2，則

可知, 引入剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量后,誤差減少的百分比為

1 安學(xué)立. 用單擺重力加速度實(shí)驗(yàn)中單擺周期的測定. 物理通報(bào),2012(3): 74～75

2 賈偉堯, 鄒愉, 陳林, 等.智能手機(jī) “軌跡拍照” 技術(shù)在隨堂實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用. 中學(xué)物理教學(xué)參考,2014(12): 47～48

3 王梅，宗曉瑋. 用DIS測量重力加速度g值的四種方法及比較. 物理教學(xué)探討, 2015 (10): 54～56, 59

4 許剛. 到底什么因素引起重力加速度隨緯度變化. 物理教學(xué)探討, 2015 (3): 41

5 陳澤, 支啟軍. 二級近似下精密測量重力加速度的理論研究. 西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2015, 40(1): 148～152

6 張昆.新的重力加速度理論公式.地球物理學(xué)進(jìn)展,2011, 26(3):824

Reducing System Error in Measuring the Gravity Acceleration by Introducing Inertia Moment

Zhang Qiaoming

(School of Physics Science and Technology, Southwest University, Chongqing 400715)

Li Qingyan

(Research Centre of Science Education, Southwest University, Chongqing 400715)

Lu Chenlei

(Chongqing Renhe Middle School, Chongqing 400052)

Jia Weiyao

(School of Physics Science and Technology, Southwest University, Chongqing 400715)

The error is corrected by introducing moment of inertia in rigid body model theory into the simple pendulum measuring system, and the system error is reduced by 60%. In addition, the system error processing method not only enables students to have a more profound understanding of simple pendulum motion, but also expands the students' horizons and trains students to apply the knowledge they have learned to practice.

simple pendulum method; moment of inertia; system error; measuring acceleration of gravity

*中央高校基本業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金，項(xiàng)目編號：SWU1609226；國家自然科學(xué)基金青年基金，項(xiàng)目編號：11404266

張巧明(1986- )，男，在讀博士，實(shí)驗(yàn)師，主要從事有機(jī)電子學(xué)的科學(xué)研究和大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的教學(xué)工作.

李青燕(1992- )，女，碩士，從事創(chuàng)客教育和未來教育的研究.

2016-12-20)