深度剖析一類帶電體在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

刁涵鑫 刁品全

(無錫市輔仁高級(jí)中學(xué) 江蘇 無錫 214023 )

深度剖析一類帶電體在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

刁涵鑫 刁品全

(無錫市輔仁高級(jí)中學(xué) 江蘇 無錫 214023 )

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)如果除了受洛倫茲力外還受到重力或者電場(chǎng)力時(shí)，粒子如何運(yùn)動(dòng)，隱含的規(guī)律是怎樣的.從多個(gè)角度來深度分析、探討，找到它們的共同規(guī)律.

復(fù)合場(chǎng) 帶電粒子 高考與競(jìng)賽

帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題在高考以及競(jìng)賽中不時(shí)出現(xiàn)，而在高考題中，命題者為了降低難度往往先預(yù)設(shè)了一些條件，這樣便于學(xué)生分析討論，但為何會(huì)有這些預(yù)設(shè)的條件，學(xué)生是無法洞悉的，同時(shí)這些預(yù)設(shè)條件是否嚴(yán)謹(jǐn)，也許更加值得教師進(jìn)一步去思考、分析.下面就近年來出現(xiàn)的一些題目進(jìn)行深度剖析，從不同角度來認(rèn)識(shí)，以深化我們對(duì)帶電體在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理解.

【例1】(2008年高考江蘇卷)在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一質(zhì)量為m，帶正電q的小球在O點(diǎn)由靜止釋放，小球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖1所示.已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍，重力加速度為g.求：

(1)小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P(x，y)的速率v；

(2)小球在運(yùn)動(dòng)過程中第一次下降的最大距離ym；

圖1 例1題圖

原高考解析就不去展開了.

深入思考:題中給了一預(yù)設(shè)條件，“此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍”，這又是為什么呢？ 首先要明確的是題中帶電小球在復(fù)合場(chǎng)中做的不是圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)中學(xué)生來說，運(yùn)動(dòng)軌跡的“曲率半徑”是無法確定的，因此無法直接利用向心力來分析曲線運(yùn)動(dòng)，而題設(shè)計(jì)巧妙之處就在于預(yù)設(shè)了條件，下面就這個(gè)預(yù)設(shè)條件進(jìn)一步思考.

深度剖析之一:由于帶電小球在磁場(chǎng)中還受到重力，可構(gòu)造一向右的勻速運(yùn)動(dòng)，速度v0滿足qv0B=mg，即

這樣帶電小球在重力與洛倫茲力共同作用下向右勻速運(yùn)動(dòng)，但帶電小球原來初速度為零，因此同時(shí)還必須構(gòu)造一向左的運(yùn)動(dòng)，且滿足v′=v0,這一運(yùn)動(dòng)同樣也受到洛倫茲力作用，那么帶電小球在此洛倫茲力作用下做角速度為ω的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，該圓周運(yùn)動(dòng)是逆時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng)，這樣帶電小球的運(yùn)動(dòng)便由一向右的勻速運(yùn)動(dòng)與逆時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)復(fù)合而成.

水平方向運(yùn)動(dòng)為

x(t)=v0t-Rsinωt

豎直方向運(yùn)動(dòng)則為

y(t)=R-Rcosωt

式中

而

由于對(duì)于參數(shù)方程而言，它的曲率半徑為

將x(t)、y(t)代入上式，那么題中帶電小球運(yùn)動(dòng)的曲率半徑為

ρ=

在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的也就是經(jīng)過了半個(gè)周期，即ωt=π，將ωt=π代入上式得

結(jié)合剛才的運(yùn)動(dòng)分析結(jié)論可知，最低點(diǎn)時(shí)

顯然

ρ=2ym

這樣所得結(jié)論與原預(yù)設(shè)條件契合.

深度剖析之二：運(yùn)動(dòng)到任意一點(diǎn)P(x，y)速度為(vx，vy),y方向受力為

Fy=mg-qvxB

即

may=-(qvxB-mg)

而x方向受力為

Fx=qvyB

即

也就是

mΔvx=qΔyB

將該微元表達(dá)式求和，得

mvx=qyB

即

代入may=-(qvxB-mg)得

令

顯然ay=aY，則

顯然這是一個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)方程

其軌跡方程為

Y=Acos (ωt+φ0)

速度為

vY=-ωAsin(ωt+φ0)

那么

當(dāng)t=0時(shí),y=0，vy=vY=0，則

也就是

-ωAsin(ωt+φ0)=0

得

那么y方向運(yùn)動(dòng)方程為

顯然，當(dāng)ωt+φ0=(2k+1)π時(shí)

還可以將x方向運(yùn)動(dòng)再討論一下，x方向受力為Fx=qvyB，即

也就是

mΔvx=qΔyB

求和得

將上面所求y表達(dá)代入得

即

顯然水平方向最大速度為

該速度也就是最大速度,積分得

即

而第(3)小問中只要將(qE-mg)等效為(2)問中mg即可，則最大速度為

【例2】(2011年高考福建卷)如圖2(a)所示，在x>0的空間中存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一質(zhì)量為m，帶電荷量為q(q>0)的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處，以初速度v0沿x軸正方向射入，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2(a)所示，不計(jì)粒子的重力.

(1)求該粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)=h時(shí)的速度大小v.

Ⅰ.求粒子在一個(gè)周期內(nèi)，沿x軸方向前進(jìn)的距離s；

Ⅱ.當(dāng)入射粒子的初速度大小為v0時(shí)，其y-t圖像如圖2(c)所示，求該粒子在y軸方向上做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅A，并寫出y-t的函數(shù)表達(dá)式.

原高考解析暫不展開.

圖2 例2題圖

原來福建高考提供的參考解析中描述：“所有粒子在一個(gè)周期T內(nèi)沿x軸方向前進(jìn)的距離相同，即都等于恰好沿x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)的粒子在T時(shí)間內(nèi)前進(jìn)的距離.”問題是為何有這樣的勻速運(yùn)動(dòng)？粒子水平方向?qū)嶋H上又是否為勻速呢？因此這種描述顯然來得相當(dāng)模糊，沒有物理學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn).

那么它們的實(shí)際運(yùn)動(dòng)規(guī)律又如何呢，為什么會(huì)是這樣的呢？下面再作深度剖析.

深度剖析:與例1分析類似，構(gòu)造一個(gè)恰好沿x軸正方向的勻速運(yùn)動(dòng)，速度大小為v1，且qv1B=qE，同時(shí)構(gòu)造一沿-x軸方向的運(yùn)動(dòng)，速度大小為v1，這樣粒子的運(yùn)動(dòng)就是沿x軸正方向以速度v1的勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)以(v0-v1)做逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，那么粒子運(yùn)動(dòng)方程如下.

水平方向運(yùn)動(dòng)為

x(t)=v1t-Rsinωt豎直方向運(yùn)動(dòng)則為

y(t)=R-Rcosωt

式中

從表達(dá)式來看，y方向是一簡諧運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)周期為

y方向振幅為

那么x方向一個(gè)周期T內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移為

s=v1(t1+T)-x(t1)={v1(t1+T)-
Rsin[ω(t1+T)]}-(v1t1-Rsinωt1)=v1T

這樣所得結(jié)論與原預(yù)設(shè)條件契合.當(dāng)然也可參照例1中深度剖析方法去分析，由于篇幅關(guān)系，這里就不再贅述了.2013年高考福建卷也有類似問題，完全可以參考這種方法去深度思考、探究.

從上面思考分析來看，用動(dòng)能定理分析帶電體在某處的速度大小是最為快捷的，但運(yùn)動(dòng)速度的方向、位移這些細(xì)節(jié)則無法確定，而帶電體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律則可以用等效法，將帶電體運(yùn)動(dòng)分解(或構(gòu)造)為一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)與一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，如果初速度不為零則其中有兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然也可將兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)作為一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)處理，這里涉及到矢量運(yùn)動(dòng)，略顯復(fù)雜.當(dāng)然還有另一種理解——將粒子運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)相互垂直的運(yùn)動(dòng)：與勻速運(yùn)動(dòng)方向垂直的簡諧運(yùn)動(dòng)，另一方向則是一簡諧運(yùn)動(dòng)與勻速運(yùn)動(dòng)疊加.

而更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氖怯梦⒃ㄅc積分法的綜合應(yīng)用，這些對(duì)中學(xué)生來說可能偏難，但對(duì)中學(xué)教師以及參加物理競(jìng)賽的學(xué)生來說是非常有必要掌握的.

mvx=qyB

Deep Analysis on the Movement Law of a Class of Charged Body in the Compound Field

Diao Hanxin Diao Pinquan

(Furen High School，Wuxi, Jiangsu 214023)

When the charged particle moves in the strong magnetic field, if the particle is subjected to gravity or electric field force, the particle moves, and what is implied. This paper analyzes and discusses the common law from multiple angles.

compound field；charged particles；college entrance examination and competition

2017-01-09)