三維拋體問題

張夢安

(浙江省吳興高級中學 浙江 湖州 313000)

邱為鋼

(湖州師范學院理學院 浙江 湖州 313000)

三維拋體問題

張夢安

(浙江省吳興高級中學 浙江 湖州 313000)

邱為鋼

(湖州師范學院理學院 浙江 湖州 313000)

依據不同三維拋體模型，采用合適的三維坐標系，來求解運動軌跡、落點特性和初始條件等問題.

三維 拋體 三維坐標系

平拋和斜面(曲面)結合的問題是高考的出題點[1，2]，自主招生題目[3，4]傾向于斜拋和斜面結合.文獻[1～4]中的拋體問題，實質是兩維問題，與斜(曲)面的面沒有關系.實際生活中的拋體是三維問題，譬如足球入球網，網球(乒乓球)斜線過網落點，一些高考題和競賽題已經采用三維拋體模型.三維拋體問題，利用矢量分量、坐標、時間反演可以更加簡單地求解.我們以3個例子來說明這種方法的應用.

第一個例子是2014年中學生物理競賽決賽第2題.先簡述原題：潛艇以發射速度v0發射母彈，母彈在最高點分裂為同質量的3個分彈頭，相對質心速度大小都是v.兩個分彈頭擊中目標W和N，兩個目標距離是L.潛艇與兩個目標的垂直距離是d，如圖1所示. 求潛艇位置和發射方向.

圖1 第一個例子題圖

參考答案是以兩個目標的中點為原點.本文則以最高點為原點，兩個目標連線方向為x軸.設此時母彈的速度為(vx,vy).由正三角形對稱性，兩個彈頭的速度為

(1)

(2)

從最高點計時，經過時間t擊中目標，那么這兩個目標的坐標是

(3)

(4)

兩目標橫向距離為L，即

(5)

時間反演，由于最高點自由落體落到海面時間一樣，那么相對最高點潛艇位置是

(6)

潛艇與目標的縱向距離是d，即

(7)

發射速度為v0, 即

(8)

式(5)、(7)、(8)聯立，很容易得到vx,vy,t的值.由時間反演，得到母彈發射時3個坐標軸方向的分速度，把發射方向算出來.通過目標相對最高點，最高點相對潛艇，也能確定發射時潛艇的位置.留作計算題給讀者算一算.

以噴泉為原點，設斜面與地面的夾角是α，那么斜面的法向量

n=(-sinα,0,cosα)

斜面方程是

-xsinα+zcosα=0

以轉動角φ為參數，噴泉出水的速度分量是

vx=v(cosαcosθcosφ-sinαsinθ)

vy=vcosθsinφ

(9)

vz=vsinαcosθcosφ

其中θ是水流速度與垂直斜面矢量的夾角.由此可得噴水空中軌跡方程

x=vt(cosαcosθcosφ-sinαsinθ)

y=vtcosθsinφ

(10)

當水落在斜面上-xsinα+zcosα=0時，解得時間

(11)

即斜面上水跡形狀還是一個圓，不過比平面的水跡半徑大，半徑之比是1∶cosα.

第三個例子是彈性小球在斜面上各個落點前后長度問題.依據問題特性，小球反彈前后垂直斜面方向的速度大小不變，方向相反，以斜面為“水平面”， 平行斜面的兩個相互垂直方向為x′和y′方向，垂直斜面向上為z′方向.在新參考系下，重力加速度為

g=g(0,sinα,-cosα)

其中α是斜面與地面的夾角.彈性小球起始點在原點，出射速度在新坐標系下是

v0=(v1,v2,v3)

那么第一次小球空中軌跡方程是

x′=v1t

(12)

小球彈跳前后速度大小不變，垂直斜面加速度大小不變，所以小球在空中的彈跳時間，每一段相等.當小球第n次落在斜面上時，時間為

小球彈跳前后平行斜面的速度不變，平行斜面的加速度不變，所以平行斜面的坐標可以繼續采用式(12)的表示.把落點時間代入，計算得到第n次的落點坐標為

(13)

由式(13)可以計算得到第n個落點與第n-1個落點的距離為

(14)

由此可見，采用合適的三維坐標系，可以方便解決各種三維拋體問題.

1 陳超群.當平拋遇上斜面.中學物理，2012,30(17)：56～57

2 朱加沐.當平拋運動約會了曲面.物理教學，2013,35(10)：58～59

3 陳玉奇.斜面約束下斜拋運動的分析方法.物理教學，2015, 37(1)：71～74

4 許小濤.由一道自主招生試題談斜拋運動的幾種解.物理教學，2015,37(4)：67

Three Dimensional Projectile Questions

Zhang Meng′an

(Zhejiang Wuxing High School，Zhejiang，Huzhou 313000)

Qiu Weigang

(School of Science, Huzhou Teacher′s College, Zhejiang, Huzhou 313000)

The trajectories, impact points and initial conditions of three dimensional projectiles are derived from different representations of three dimensional coordinates, which depend on different kinds of problems.

three dimension； projectile； three dimensional coordinates

2017-02-02)