飛船噴氣變軌時需要消耗多少能量

李永樂

(中國人民大學附屬中學 北京 100080)

飛船噴氣變軌時需要消耗多少能量

李永樂

(中國人民大學附屬中學 北京 100080)

從一道物理競賽問題出發，研究討論飛船脫離地球引力所需要的能量大小、飛船噴氣變軌時消耗燃料能量大小以及飛船與氣體獲得的機械能之間的關系.

飛船變軌 能量 燃料 物理競賽 內力做功 質心系

在第十五屆北京市高中力學競賽中有這樣一個題目.

【例題】一個人造飛船繞地球以橢圓軌道運行，橢圓的焦點是地心. 為了增加能量使飛船逃逸地球，飛船可以通過短暫的點火，使自己的速度增加Δv，問應該在軌道何處，沿什么方向上增加Δv，會使得Δv最小？說明原因.

解析：使飛船點火后速度變化Δv，應使飛船獲得最大機械能增量ΔE.由于飛船發生短時間噴氣，噴氣前后飛船引力勢能不變，因此飛船動能增量為

(1)

由于Δv是一個小量，因此式(1)中第一部分是主要部分. 在Δv大小一定時，要使ΔE最大，就要讓v最大，同時v與Δv同向，即在近地點使飛船沿著原來運動方向獲得Δv時，可使得飛船逃逸且Δv最小.

筆者在教學過程中發現，在這個問題的解決中，學生還有以下3個疑問：

(1)在不同位置脫離地球時，飛船所需獲得的機械能增量ΔE是否相同？

(2)飛船在噴出氣體時所消耗燃料的能量與飛船速度增量Δv什么關系？

(3)為何飛船獲得同樣的速度增量Δv，機械能的增量ΔE卻不相同？

本文對這3個問題依次進行解答.

1 飛船在同一軌道不同位置脫離地球時所需能量相同

飛船在半徑為r的圓軌道上環繞地球運動時，機械能守恒，機械能大小為[1]

(2)

其中G為萬有引力常量，M為地球質量，m為飛船質量.

飛船繞半長軸為a的橢圓軌道運行時，機械能守恒，機械能大小為[2]

(3)

在地球參考系下，若噴氣后飛船剛好脫離地球，到達無窮遠處時飛船的動能和勢能都為零，根據脫離過程機械能守恒，噴氣后瞬間飛船的機械能也要為零. 噴氣過程飛船需要獲得的機械能增加為

(4)

即確定軌道上的飛船要脫離地球到達無窮遠處，所需要獲得的能量增加與地球質量M,飛船的質量m以及軌道半長軸a有關，而與在何處加速無關.

2 燃料消耗的化學能與飛船速度增量成正比

燃料燃燒時消耗化學能產生的推力使飛船加速，同時使氣體向后噴出，因此，燃料消耗的化學能既要對飛船做功，同時也要對噴出的氣體做功. 消耗化學能Q可以根據動能定理得到

Q=W對飛船+W對氣體=ΔE飛船+ΔE氣體

(5)

由于動能具有相對性，相對于不同參考系，飛船和氣體動能增量都是不同的. 取飛船及燃料的質心為參考系，研究噴氣過程.

設飛船原來的質量為m，在短時間內以相對于飛船的速度u噴出少量氣體Δm(Δm?m). 在質心系下，飛船速度從零變為Δv(Δv?u)，氣體速度從零變為u-Δv,且與飛船反向,如圖1所示.

圖1 質心系下飛船噴氣時的速度和質量變化

根據動量守恒，有

0=(m-Δm)Δv-Δm(u-Δv)

(6)

由于Δm?m,Δv?u，將式(6)中的二階小量舍去，簡化為

mΔv=Δmu

(7)

同樣，在舍去二階小量時，飛船和氣體獲得的動能增量分別為

(8)

燃料對飛船和對氣體做功之比為

(9)

將式(7)代入式(9)得到

(10)

由于Δm?m,Δv?u，得到W飛船?W氣體,即質心系下，燃料做功絕大多數都轉化為氣體的動能.

這是一個普遍結論：質心系下一對內力對兩個物體做功與兩物體的質量成反比，如果質量相差懸殊，內力做功約等于對質量小的物體做功[3].

于是，消耗燃料能量

(11)

將式(7)代入式(11)，可以得到

(12)

即在飛船質量m和噴氣速度u一定的情況下，消耗燃料能量Q與飛船速度增量Δv成正比.在本題中，近地點噴氣時飛船速度增量Δv最小，就代表了消耗的燃料能量Q最少，這也是本題的實際意義所在.

采用折合質量的方法可以更方便地得到上述結論.

在二體問題中，若存在兩個物體，質量為m1和m2，則系統質心系下的能量可以按照下列方法計算[4]

(13)

其中

表示折合質量，U(r)表示系統勢能.

在本題中，質心系下飛船和氣體的初動能為零，后來系統分裂為m-Δm和Δm兩個部分，二者相對速度為u，于是燃料的消耗等于系統動能增量

(14)

根據Δm?m，可以將式(14)近似為式(11)，也可以得到相同的結論.

3 在不同位置噴氣時燃料能量在飛船和氣體間的分配不同

在地球參考系下，燃料消耗能量依然等于對飛船和氣體做功之和，即

(15)

由于做功和動能具有相對性，相對于地面參考系，燃料對飛船做功、對氣體做功、飛船動能增量和氣體動能增量都已經與質心系下的情況不同. 但是，一對相互作用力對兩物體做功的和與參考系無關，只與內力大小和相對位移有關[5]. 因此，即便在地面參考系下看，在飛船獲得速度增量的過程中，燃料的消耗Q依然滿足式(12)的結論.

只是，由于地面不是飛船和噴出氣體的質心，能量在飛船和氣體之間的分配關系不再滿足式(10)的結論. 在地面參考系下，飛船在軌道不同位置向不同方向噴氣時，燃料能量在飛船和氣體之間的分配不同.根據式(1)的計算，在近地點朝飛船原來的運動方向噴氣時，飛船能夠獲得最大的動能增量，因而也最容易飛離地球.

4 結論

要從某一軌道脫離地球引力，飛船需要獲得一定的機械能增量.在橢圓軌道不同位置向不同方向噴氣時，獲得相同的速度增量Δv所消耗的能量Q是相同的，但是這個能量需要在飛船和氣體之間進行分配. 不同位置時，能量的分配關系不同. 如果飛船在近地點朝著飛船原來運動的方向加速，消耗燃料分配到飛船上的功最多，此時飛船的速度增量最小，也最容易飛離地球.

1 姚黃濤,馮杰.淺析衛星變軌運動.物理通報,2016(6):48～50

2 周洪松,張國光.比較天體運行軌道間的機械能.物理教師,2015,36(11):72～72

3 鄭永令,賈起民.力學.北京:高等教育出版社,2002.146～148

4 鄭永令.二體問題與折合質量.物理教學,2011,33(1):5～8

5 王永昌.對一對內力做功的討論.中學物理教學參考,2010,39(4):26～27

How Much Energy Is Consumed during Airship Varies Its Orbit by Jetting Gas?

Li Yongle

(The High School Affiliated to Renmin University of China，Beijing 100080)

In This paper, we calculates the energy consumption of orbital transfer, and also discusses the relationship between the spacecraft’s mechanical energy and the fuel consumption.

orbital transfer； energy; fuel； physics Olympiad； work of internal forces； center of mass system

2017-02-19)