基于增廣SVM的結構動力學模型修正方法研究

陳 喆， 何 歡， 陳國平

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室， 南京 210016)

基于增廣SVM的結構動力學模型修正方法研究

陳 喆， 何 歡， 陳國平

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室， 南京 210016)

研究了基于代理模型的有限元模型修正方法，針對支持向量機(Support Vector Machine, SVM)在處理非線性程度不高函數時容易出現過擬合，提出了一種采用混合基函數形式的增廣SVM方法。該方法首先是在結構動力學試驗結果和結構有限元模型計算分析結果的基礎上，根據設計要求、靈敏度計算或工程經驗選擇適合的待修正參數、修正范圍來確定修正樣本空間，并給出樣本點，其次采用增廣SVM方法構造每組樣本點和與之對應的目標函數之間的代理模型，采用基于Pareto最優解的多目標優化方法，以代理模型輸出為目標，樣本空間為變量，尋找待修正參數在修正區間內的全局最優解。用代理模型代替原有的有限元模型進行相關的計算分析，避免在模型修正過程中反復調用原有限元模型進行計算帶來的高昂計算成本。通過算例一表明，增廣SVM的預測結果較傳統SVM方法精度更高，而算例二、三則說明所提出的基于增廣SVM方法的結構動力學模型修正方法具有實際應用價值，同時計算結果具有很高的精度。

代理模型； 多目標優化； 增廣SVM； 模型修正

由于有限元建模過程中會根據建模要求、工程經驗和計算規模限制等對結構進行簡化，再加上結構幾何尺寸、材料特性、以及邊界條件等因素的影響，使有限元模型與真實結構之間不可避免的存在誤差[1-2]，在某些情況下，有限元模型無法滿足實際問題的精度要求。為了提高有限元模型計算精度，Rodden等[3]提出了模型修正的觀點，利用試驗數據對有限元模型進行修正，使修正后的有限元模型擁有更高精度，并且能夠更加真實的反映結構的動力學特性[5-6]。本文針對當前主流的基于代理模型的有限元模型修正問題進行討論。

代理模型的實質是以擬合精度或預測能力為約束，利用近似技術對離散數據進行回歸或插值的數學模型，通過有限的已知點響應構造近似函數表達式對未知區域進行預測[7-8]。目前常用構造代理模型的方法有：經典響應面法(Response Surface Method, RSM)[9]、移動最小二乘法(Moving Least Squares, MLS)[10]、人工神經網絡[11]、徑向核函數法(Radial Basis Function, RBF)[12]、Kriging差值[13-14]以及支持向量機(SVM)[15]等，其中SVM在解決小樣本、非線性及高維模式識別問題中表現出許多特有的優勢，近年來得到廣泛應用。

SVM是基于統計學習理論的通用機器學習方法，其思想源于Vapnik等[16]在1963年提出的用于解決模式識別問題的支持向量方法。Clarke等[17]采用支持向量機作為代理模型，通過典型的工程實例與響應面、徑向核函數、多變量回歸和Kriging模型的性能進行比較，結果表明支持向量回歸機代理模型的準確性和魯棒性均優于其他四種模型；Ayestaran等[18]采用支持向量回歸機完成了陣列天線設計；Yun等[19]利用支持向量回歸機模型成功用于結構多目標優化中Pareto解的求取；Saqlain等[20]將支持向量回歸機代理模型引入的多學科領域，實現了考慮節流效應時運載火箭的多學科優化；Wang等[20]采用smooth-支持向量機代理模型，實現了結構優化；Qazi等[22]研究了不同樣本策略對支持向量回歸機性能的影響，提出了一種新的樣本策略，實現了運載火箭的優化；Wang等[23]采用最小二乘支持向量機，實現了鈑金結構有優化；朱躍等[24-25]針對模型確認中有限元模型的不確定性建模問題，提出了一種基于支持向量回歸機的不確定性建模方法;費慶國等[26]提出了一種基于方差分析的參數篩選、基于回歸分析的響應面擬合以及利用響應面的模型修正方法，該方法適用于線性、低頻情況，且易于推廣到非線性、沖擊等領域，同時具有計算量小，適合工程應用等特點；張冬冬等[27]結合Kriging理論構造響應面代理模型和有限元模型確認思想，以Garteur benchmark飛機結構瞬態響應分析為例，證明了Kriging響應面能準確對有限元模型響應進行預測；此外，Ren等[28]將基于響應面的模型修正方法運用到以簡化模型預測實際結構響應的問題上，結果表明，該方法具有良好的精度和預測效果。

本文將對基于SVM的代理模型在模型修正中的應用展開討論，并在此基礎上提出一種改進的SVM方法。

1 一種改進的SVM方法

1.1 SVM回歸基本原理

支持向量機(SVM)方法的基本思想是：定義最優線性超平面，并把尋找最優線性超平面的算法歸結為求解一個最優化的問題。進而基于Mercer展開定理，通過非線性映射φ，把樣本空間映射到一個高維乃至于無窮維的特征空間，使在特征空間中可以應用線性學習機的方法解決樣本空間中的高度非線性分類和回歸等問題。簡單的說就是實現升維和線性化。

y=f(x)

(1)

可以用來模擬樣本輸入與輸出之間的關系，輸入樣本如圖1所示。

圖1 支持向量機線性可分模型

引入ε-不敏感損失函數[29]

(2)

則支持向量機回歸問題可以用如下的優化問題表達

(3)

可以通過構造Lagrange函數解決上述的優化問題：

(4)

(5)

式(4)和(5)的求解問題實際上可以轉化為一個凸二次優化問題

(6)

(7)

1.2 增廣SVM

考慮到允許擬合誤差存在的情況，引入松弛變量ξ≥0和ξ*≥0來改善其泛化性能，納入松弛變量的支持向量回歸機的數學模型為：

(8)

式中，C>0為正則化參數，通常稱為懲罰因子，用來平衡回歸函數的平滑程度和偏差大于ε的樣本點個數。

求解上述形式的支持向量機問題一般采用對偶理論，將其轉化為二次規劃問題。建立Lagrange方程

(9)

(10)

根據KKT條件，在最優解處存在

(11)

和

(12)

(13)

當0

(14)

如果樣本是線性不可分的，那么在求解回歸問題時會陷入無限循環而導致問題不可解，一般采用的方法是引入非線性映射φ，將原始樣本輸入空間映射到高維的特征空間，然后在特征空間中進行線性逼近。則式(10)可以改寫為

(15)

為了簡化回歸問題的求解過程，引入核函數(Kernel function)，核函數滿足

k(x,x′)=<φ(xi),φ(xi)>

(16)

則式(15)變為

(17)

式中：k(x,x′)為實對稱矩陣，且滿足Mercer條件。

(18)

式中，ur=[1,…,1]1×r。

基函數的選取對SVM的泛化能力有很大影響。采用Quad基和Gauss基的SVM適用于構造具有強非線性特征的代理模型問題。若真實函數非線性程度較低，或表現出較為顯著的線性特征，考慮到ε的影響，采用這兩類基函數的SVM會出現明顯的過擬合現象。對于這個問題，采用多項式基函數的SVM會獲得更好的擬合效果。由于不同基函數的選取對待擬合函數自身的非線性特征有關，僅僅采用單一的基函數對一般性函數的擬合存在困難。針對這一問題，本文將Gauss基函數或Quad基函數與常規的多項式基函數相混合，采用這種新的混合基函數來對傳統SVM進行改進。改進后的SVM模型的增廣形式表達式為

(19)

由于待求的參數數目要多余方程數目，因此式(19)無法定解，為此可引入正交性條件：

(20)

值得注意的是，增廣形式的SVM基函數矩陣是非正定矩陣。而在SVM構造代理模型的過程中采用二次規劃求解最優系數時要求核函數矩陣必須是正定矩陣，因此，需要構造適合的響應函數用于二次規劃求解問題。

定義新的響應函數表示為：

g(x)=(k(x)-f)T(k(x)-f)

(21)

式中：k(x)表示核函數，f表示原始響應值。因此，新的二次規劃問題描述為：

(22)

2 基于增廣SVM的模型修正

對于模型修正問題，可以利用增廣SVM構造修正目標的代理模型。假設x為修正變量，y為修正目標函數。設修正變量與修正目標函數之間的真實映射關系可表示為：

y=f(x)

(23)

表達式(14)的反函數為：

x=f-1(y)

(24)

由于目標函數y可以通過結構動力學模型試驗實際之間或者間接得到，將y作為增廣SVM的輸入，用增廣SVM來描述函數關系式f-1，則結構設計參數x將作為增廣SVM的輸出，從而達到模型修正的目的。

利用增廣SVM構造代理模型進行結構動力學模型修正的具體步驟如下：

(1) 目標函數的選取。可以根據試驗結果或者實際需求選擇目標函數，通常可以選擇模態頻率、頻響函數、模態頻率殘差或者頻響函數殘差等作為增廣SVM的輸入。本文以模態頻率殘差作為目標函數。

(25)

則模型修正問題的目標函數可以表示為：

(26)

(2) 樣本空間的選擇。樣本點的選取需要采用合理的試驗設計方法，試驗設計方法實際上就是有關如何合理安排試驗的數學方法，它是代理模型的取樣策略，決定了構造代理模型所需樣本點的個數和樣本點的空間分布情況。現階段常用的試驗設計方法包括：全面析因試驗設計、中心復合試驗設計、正交試驗設計、均勻試驗設計、隨機投點設計和拉丁方方法等。本文主根據設計參數數量的不同，分別采用全面析因試驗設計和中心復合試驗設計方法構造樣本點。

(3) 代理模型精度檢驗。對代理模型采用R2判定系數和相對均方差(RMSE)檢驗其精度，其計算式分別為

R2=1-SSE/SST

(27)

(28)

式中:p為代理模型中非常數項的個數;SSE是誤差平方和;SST是總誤差平方和。SSE與SST的計算公式分別如下

(29)

(30)

(4) 結構動力學模型修正。當有限元模型參數和試驗模型參數完全一致時，目標函數值在理論上為零。因此，可以通過優化計算，得到修正區間內的最優解，即為修正后的設計參數值。將修正后的設計參數值代入有限元模型進行計算和精度檢驗，若精度滿足要求，則可以通過有限元模型進行后續的計算分析。

模型修正過程的流程圖如圖2所示。

3 數值仿真驗證

3.1 兩參數數值算例

以一個非線性數學函數——Branin rcos函數來比較由SVM-Quad、SVM-Gauss和SVM-Multi構造的全局近似函數的精度。Branin rcos函數有兩個設計變量，形式如下：

(31)

定義x1∈[-5,10]，x2∈[0,15]。

采用不同的代理模型構造得到的代理模型及真實函數曲面的對比如圖3所示，其中SVM-Gauss表示Gauss基SVM，SVM-Polynomial表示多項式基SVM，SVM-Multi表示增廣SVM。

圖2 基于代理模型的結構動力學模型修正方法流程圖

編號x1x2f編號x1x2f1-1-1308.11400.560.572-1-0.580.12150122.173-1010.31160.5-147.984-10.520.8170.5-0.522.385-1110.96180.5073.236-0.5-1193.3190.50.5122.67-0.5-0.532.75200.5169.968-0.503.156211-117.519-0.50.526.62221-0.559.3910-0.512.5012310150.5110-1106.62410.5212.8120-0.513.512511145.9130024.13

對比上圖可以明顯發現，基于不同基函數的SVM都可以根據樣本點對真實函數進行擬合。但不同的是， 基于SVM-Polynomial的構造函數的擬合結果和精度都相對較差，存在嚴重的過擬合現象。基于SVM-Gauss的構造函數雖然在一定程度上可以比較準確的對真實函數進行描述，但從圖3(c)中可以看出，在某些區域，構造函數與真實函數之間仍存在明顯偏差。而基于SVM-Multi的構造函數則可以最準確的描述真實函數，精度最高。為了更加直觀的說明這一問題，同樣采用全面析因試驗設計方法構造一系列的檢驗樣本點來檢驗構造函數的精度，檢驗樣本點如表2所示。

(a)真實函數(b)SVM-Polynomial構造函數

(c)SVM-Gauss構造函數(d)SVM-Multi構造函數

圖3 基于不同基函數的構造函數與真實函數對比情況

Fig.3 The contraction between the constructor function and the real function based on different basis function

表2 檢驗樣本點

根據式(27)和(28)計算得到R2和RMSE，如表3所示。

表3 R2和RMSE

從表3中可以明確看出，在SVM-Quad、SVM-Gauss和SVM-Multi三種方法中，SVM-Multi的R2值最大，RMSE值最小，這進一步說明在這三種代理模型構造方法中，增廣SVM方法在處理一般函數問題中，其構造函數的精度比傳統SVM方法更高，對真實函數的描述更準確。

3.2 某機翼模型結構動力學模型修正

本算例選用某機翼結構為研究對象，機翼有限元模型如圖4所示。

圖4 機翼整體結構有限元模型

試驗結果和初始有限元計算結果列于表6中，其中誤差和MAC(Modal Assurance Criteria)可以分別由下式得到

(32)

(33)

將機翼蒙皮和翼肋的彈性模量、厚度作為待修正參數，其修正區間取值范圍見表4。

表4 機翼有限元模型修正參數的修正區間

通過MSC.NASTRAN對表5中每組樣本點對應的有限元模型進行固有振動頻率計算，定義F為結構前五階固有頻率測量值和計算值之間殘差的絕對值與對應權系數乘積的總和：

(34)

(35)

表5 基于中心復合試驗設計的機翼模型計算樣本點和目標函數值

Tab.5 The calculate sample points and objective function values of wing model based on central composite experimental design

編號E1t-1E2t-2F1-1-1-1-134.42-1-0.33-0.33-0.3322.163-10.330.330.3311.24-11113.15-0.33-1-0.330.3333.526-0.33-0.330.33121.97-0.330.331-198-0.331-1-0.333.0490.33-1-0.330.3332.88100.33-0.330.33120.56110.330.331-18.74120.331-1-0.333.44131-1-0.330.3331.62141-0.330.33119.261510.331-17.31611-1-0.334.461711113.961810.330.330.338.14191-0.33-0.33-0.3318.28201-1-1-146.56210.3310.33-0.333.6220.330.33-0.33-18.66230.33-0.33-1121.16240.33-110.3332.4825-0.3310.33-0.333.226-0.330.33-0.33-19.5227-0.33-0.33-1122.4428-0.33-110.3333.7429-110.33-0.333.0230-10.33-0.33-110.3831-1-0.33-1123.7632-1-110.3335.02

最終得到的修正參數需要滿足

(36)

根據式(19)構造代理模型，采用高斯基，并且增加一組多項式函數作為SVM-Multi的基函數，然后通過遺傳算法計算獲得最優解。由于權系數的大小會對修正結果產生直接影響，因此定義wi=1/n，使各階固有頻率對結果的影響是均勻的。修正前后有限元計算固有頻率和試驗測量固有頻率的對比情況如表6所示。

表6 機翼結構前五階固有頻率試驗值與計算值的相關性分析

Tab.6 The Correlation Analysis of experimental and calculated values of the first five natural frequencies

模態階數固有頻率/Hz試驗修正前誤差MAC修正后誤差MAC1102.297.15.00.85100.02.150.992192.7181.94.00.82196.31.870.973237.9202.814.80.61236.20.710.964271.2228.915.60.09271.70.180.975302.1242.719.70.04301.40.230.98

通過對比可以發現，修正后結構的前五階固有頻率誤差明顯降低，特別是第三、四、五階固有頻率誤差變化尤為明顯，對應的MAC值也明顯增大。

(a)修正前的MAC矩陣(b)修正后的MAC矩陣

圖5 修正前后MAC矩陣對比圖

Fig.5 The modal assurance criteria before and after model updating

圖5為試驗模型分別與修正前后的有限元模型前5階振型的MAC圖，從圖中可以看出，修正前的MAC矩陣對角元數值不大，某些非對角元數值較大，說明修正前的有限元模型與試驗模型相關性不好；而修正后的MAC矩陣對角元幾乎為1，非對角元也相對較小，說明修正后的有限元模型與試驗模型相關性比較好。

3.3 典型連接結構動力學模型修正

本算例選取一種典型的螺栓聯接結構——板搭接件作為研究對象進行研究，試驗裝置如圖6(a)所示，采用bush單元模擬螺栓，有限元模型如圖6(b)所示。

(a) 搭接板錘擊試驗

(b) 搭接板有限元模型

圖6 搭接板錘擊試驗與搭接板有限元模型

Fig.6 The lap board hammer test and finite element model of lap board

將 bush單元的軸向平動剛度k作為模型修正參數之一，將材料的彈性模型E作為另一個修正參數。表7給出了修正參數的修正區間。

表7 搭接板結構修正參數的修正區間

本算例采用全面析因試驗設計方法構造樣本點，將各階試驗測量固有頻率與有限元計算固有頻率之間的殘差fi作為目標函數

(37)

本算例采用Pareto優化算法，將結構動力學模型修正問題轉化成對優化問題(38)的求解過程

(38)

通過SVM-Multi構造代理模型，搭接板前四階彎曲模態頻率殘差絕對值的代理模型，如圖7所示。

通過MATLAB優化工具箱計算可以得到一組的最優解集，這些最優解構成的Pareto前緣,如圖8所示。

通過多目標優化得到一組最優解集，根據各個解計算得到的固有頻率與測量值之間的偏差列于表9中，可以看出，固有頻率的最大偏差不超過0.76%，最小偏差僅有0.002%，這表示修正后搭接板有限元模型的動力學特性與真實結構具有良好的一致性。

表8 基于全面析因試驗設計的搭接板計算樣本點和目標函數值

Tab.8 The calculate sample points and objective function values of lap board based on central composite experimental design

樣本點kEf1f2f3f41-1-13.811.4828.436.162-1-0.333.340.2225.920.163-10.332.871.8923.455.934-112.423.5521.0111.645-0.33-10.341.458.075.876-0.33-0.330.230.245.040.147-0.330.330.801.922.056.088-0.3311.363.580.9111.9690.33-10.231.454.275.82100.33-0.330.810.251.130.19110.330.331.401.931.986.13120.3311.983.585.0512.01131-10.471.452.645.80141-0.331.070.250.560.211510.331.661.933.716.1516112.253.596.8312.04

(a)代理模型f1(b)代理模型f2

(c)代理模型f3(d)代理模型f4

圖7 前四階代理模型

Fig.7 The first four agent model

4 結 論

本文對傳統SVM進行改進，提出了一種基于混合基函數的增廣SVM方法，并以此為基礎構造代理模型來實現結構動力學模型修正。通過Branin rcos函數的數值算例來對比驗證增廣SVM的預測精度，并通過機翼模型仿真算例和搭接板動力學試驗算例來證明基于增廣SVM的結構動力學模型修正方法的實用性，算例結果表明：

圖8 Pareto前緣

最優解集頻率誤差/%第一階第二階第三階第四階10.7550.1290.5050.00220.6850.0520.3390.07630.6470.0130.3720.11640.5910.0520.4250.18450.5310.1290.4820.26060.4840.2000.5220.32770.4640.2320.5390.36080.4490.2840.5420.41190.4430.2970.5490.427100.4490.3160.5350.447110.4560.3480.5180.480120.4730.3740.4950.500130.4980.3870.4590.517140.5130.3940.4390.522150.5310.4000.4150.526160.5450.3360.3950.531170.5730.4070.3620.525180.5960.4070.3320.537190.6100.4130.3180.538200.6270.4130.2920.538

(1) 本文提出的混合基增廣SVM有效解決了傳統SVM存在的過擬合或者擬合精度不足的問題，可用于構造具有良好預測精度的代理模型；

(2) 算例分析結果表明，在增廣SVM的基礎上提出的模型修正方法對試驗樣本數的需求較少，可以在少量試驗數據樣本的條件下獲得具有高計算精度的修正模型；

(3) 由于增廣SVM具有很好的泛化能力，可以準確逼近含有顯著非線性特征的真實響應，因此本文提出的模型修正方法也適用于具有較高非線性特征的結構動力學模型修正問題。

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Structural dynamic model updating based on augmented SVM

CHEN Zhe， HE Huan， CHEN Guoping

(The State Key Lab of Mechanics and Control for Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016, China)

Here, the FE model updating method based on surrogate model was studied. An augmented support vector machine (SVM) based on hybrid basis functions was proposed for solving over-fitting results when SVM was used to deal with weak nonlinear functions. Based on dynamic test results measured and calculated results with a structural finite element model, according to design requirements, sensitivity analysis or engineering experience, appropriate parameters to be modified and modification ranges were chosen to determine the modification sample space and sample points. Then, the surrogate model for each group of sample points and corresponding objective function was constructed adopting the augmented SVM. The multi-objective optimization algorithm based on Pareto optimal solution was introduced to find the global optimal solution to parameters to be modified within the modification interval taking the output of the surrogate model as the objective and the sample space as variables. Example 1 showed that the prediction results with the augmented SVM have a higher accuracy than those with the traditional SVM do. Example 2 and 3 showed that the structural dynamic model updating based on the proposed augmented SVM is valuable in actual application and its results have a higher precision.

surrogate model； multi-objective optimization； augmented SVM; model updating

國家自然科學基金(11472132); 江蘇省研究生培養創新工程(KYLX_0223);中央高校基本科研業務費資助(NS2014002); 江蘇高校優勢學科建設工程

2015-11-30 修改稿收到日期：2016-06-16

陳喆 女，博士生，1989年6月生

何歡 男，博士，副教授，1978年2月生

O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.029