基于內環H∞控制的實時混合試驗

寧西占， 周惠蒙， 吳 斌， 王 貞

(1.哈爾濱工業大學 結構工程災變與控制教育部重點實驗室,哈爾濱 150090;2.哈爾濱工業大學 土木工程學院,哈爾濱 150090;3.中國地震局工程力學研究所地震工程與工程振動重點實驗室,哈爾濱 150080)

基于內環H∞控制的實時混合試驗

寧西占1,2， 周惠蒙3， 吳 斌1,2， 王 貞1,2

(1.哈爾濱工業大學 結構工程災變與控制教育部重點實驗室,哈爾濱 150090;2.哈爾濱工業大學 土木工程學院,哈爾濱 150090;3.中國地震局工程力學研究所地震工程與工程振動重點實驗室,哈爾濱 150080)

實時混合試驗將結構的關鍵部位作為試驗子結構進行試驗，而其余部分作為數值子結構在計算機中模擬，并通過作動器或振動臺對試驗子結構進行加載來實現二者邊界條件的協調。由于作動器-試件系統復雜的非線性動力特性，傳統的PID控制器性能受到一定影響，必須采用時滯補償方法或外環控制消除作動器-試件系統的非線性動力特性影響，才能保證實時混合試驗的成功。為在作動器內環消除作動器-試件系統非線性動力特性的影響，采用基于混合靈敏度的H∞控制理論設計實時混合試驗作動器內環控制器，并研究了這種方法的可行性。數值仿真表明，H∞控制器表現出較好的跟蹤性能并具有一定的魯棒性；單自由度線彈性結構實時混合試驗證明了該方法在作動器內環控制上的可行性。

實時混合試驗；內環控制；H∞控制；魯棒性；混合靈敏度

實時混合試驗由擬動力試驗發展而來[1]，它可以對具有速度或加速度相關特性的結構或構件進行試驗，在工程抗震試驗領域得到了不斷的研究。實時混合試驗的關鍵在于數值子結構與試驗子結構在邊界處運動量的協調和力的平衡。然而作動器-試件系統復雜的非線性動力特性使作動器難以在積分時間末準確實現期望位移，這將帶來試驗誤差，使試驗精確性降低甚至發散，從而導致實時混合試驗失效。因此，品質優良的控制方法成為實時混合試驗成功的必要條件。Wagg等[2]在實時混合試驗中采用了最小控制合成法(Minimal Controller Syn-thesis,MCS)，試驗結果表明該方法可行，由于其試驗子結構質量太小，這種方法對土木工程結構試驗的適用性有待研究；Stoten等[3]提出了最小合成誤差反饋控制法，該控制方法對結構參數變化、試件非線性仍具有較好效果；Phillips等[4]提出了基于模型的前饋反饋控制方法，其控制效果與模型的準確程度有關，作動器模型不宜高于三階；Wu等[5]將滑動模態控制方法代替比例積分(Proportional Integral Controller,PI)和比例微分(Proportional Differential,PD)控制應用于實時混合試驗的等效力控制方法中，通過對彈簧試件和防屈曲支撐試件的研究表明滑動模態控制方法具有較好的控制效果。

自1981年Zames[6]提出H∞控制思想以來，該方法得到了廣泛的研究。它在設計過程中考慮了建模的不確定性、參數不確定性和外界干擾的影響，具有很好的魯棒性，且兼顧了頻域方法的形象與時域方法的靈活等特點。徐洋等[7]采用H∞方法對AMD(Active Mass Driver)結構主動控制中的Benchmark問題進行了研究，并通過數值仿真表明該方法具有較好的魯棒性。Gao[8]在作動器內環控制基礎上基于回路成型設計了H∞外環控制器并應用于實時混合試驗，通過鋼框架試驗證明該方法具有很好的魯棒性與跟蹤性能，但卻存在穩態誤差。

本文研究了實時混合試驗內環作動器H∞控制方法，從作動器內環消除作動器-試件系統的非線性特性帶來的試驗誤差和潛在穩定性問題。將基于混合靈敏度的H∞控制方法應用于實時混合試驗中作動器-試件系統的加載控制，通過加權函數來考慮作動器-試件系統的不確定性。結合特定算例，對權函數的選取以及控制器的設計方法作出了詳細闡述。數值仿真和實時混合試驗證明了H∞控制方法在實時混合試驗中的可行性。

1 H∞控制方法原理

H∞控制是通過建立所關心的性能指標并以其H∞范數作為衡量標準，通過不斷優化該性能指標來設計控制器的方法。圖1給出了標準H∞控制問題的一般框圖，其中G表示性能加權的廣義被控對象，K為所需設計的控制器，w為包含參考輸入、干擾等的廣義輸入，u為控制輸入，z為性能輸出，y為控制輸出。

圖1 標準H∞控制框圖

標準H∞控制問題可通過一般的反饋控制問題經性能加權獲得，如圖2所示，其中P為被控對象，K為所需設計控制器，w為參考輸入，WS、WR和WT分別為性能加權矩陣。權函數WS、WR和WT分別反應了系統的追蹤性能、控制器輸出性能和模型的不確定性，于是得到輸入(w,u)到輸出(z,y)的傳遞函數，即廣義被控對象為

(1)

式中：0和I分別為具有相應維數的零矩陣和單位矩陣。其狀態空間實現表示為

z=C1x+D11w+D12u

y=C2x+D21w+D22u

(2)

式中：x是狀態向量(本文為位移及其對時間的各階導數)，“·”表示狀態向量對時間的一階微分；A是狀態轉移矩陣，B1和B2是輸入位置矩陣，C1和C2是輸出矩陣，D11、D12、D21和D22是直接傳輸矩陣。從而廣義被控系統可記為

(3)

采用DGKF法[9]設計H∞控制器，就是尋求一個使得系統內穩定的控制器K，并使廣義輸入w到性能輸出z的閉環系統的線性分式變換FL(G,K)的H∞范數小于γ，γ為給定的正數。FL(G,K)的表達式為

FL(G,K)=G11+G12K(I-G22K)-1G21

(4)

圖2 加權的反饋控制框圖

若式(2)所示廣義被控對象滿足以下條件:

(1) (A，B2)為可鎮定的，(C2，A)為可檢測的；

(2)D12=[0;I]、D21=[0I]；

其中，ω是頻率，j是虛數單位，則可基于2個Riccati方程并通過DGKF法[9]來設計H∞控制器。

定義系統的靈敏度函數、控制器靈敏度函數和補靈敏度函數分別為

S=(1+PK)-1

(5)

R=K(1+PK)-1

(6)

T=I-S=PK(1+PK)-1

(7)

靈敏度函數S反映了系統的開環變化對閉環性能的影響程度，是參考輸入w到誤差信號e的傳遞函數；補靈敏度函數T反映了響應信號對命令信號的跟蹤性能，是系統的參考輸入w到測量輸出y的傳遞函數；控制器靈敏度函數R可以看作是系統的參考輸入w到控制器輸出u的傳遞函數。因此，調整權函數WS可改善系統的跟蹤特性以及對干擾的抑制能力，調整權函數WR可避免控制輸出過大甚至飽和，而調整權函數WT則可保證被控系統對高頻輸入具有較好的魯棒性。權函數選取原則可參考文獻[10]。

2 控制器設計

2.1 控制對象

本節將闡述基于混合靈敏度的H∞控制器設計過程。這里將作動器-試件系統稱之為內環，采用H∞控制理論設計實時混合試驗內環H∞控制器，如圖3所示，圖中RN、RE、dN、dE、d、dc、rm分別為數值子結構恢復

(a) 實時混合試驗流程圖

(b) 作動器-試件系統

力、試驗子結構恢復力、數值子結構位移、試驗子結構位移、測量位移、作動器位移命令和作動器出力。采用文獻[11]中電液伺服系統建模方法，通過對電液伺服系統的各個環節進行線性簡化，結合電液伺服系統出廠指標以及油壓(見表1)等信息獲取被控對象模型。得到簡化的從控制輸入u到位移輸出d的傳遞函數表達式為

(8)

2.2 權函數選擇

實時混合試驗中不僅要求作動器在積分時間末能夠實現對命令信號的追蹤，而且要避免發送給伺服閥的電壓過大而造成流量飽和，同時控制器應能考慮到系統的不確定性，因此控制器設計問題為S/R/T混合靈敏度問題。

表1 電液伺服系統相關技術指標

權函數WT與被控對象建模的不確定性有關，反應了標稱模型(被控對象P)與實際模型未建模高頻動態特性的差異，文獻[7,10]給出了其選取方法。為加速系統頻響函數在高頻處的衰減以達到對高頻噪聲的抑制，本文選取權函數WT使其具有s2特性。由傳遞函數的性質可知，廣義被控對象G應為有理真分式，因此選擇權函數WT使其在所考察的頻率范圍內具有近似s2特性。經試算，其表達式為

(9)

權函數WS與系統的追蹤能力有關，直接影響著被控后系統的動態性能。選擇權函數WS使系統在所關心的頻率范圍內具有較小的靈敏度增益，同時為避免被控后系統出現穩態誤差，應使權函數WS應具有積分特性。經試算，其表達式為

(10)

從圖4可以看出，權函數WS的穿越頻率遠小于WT的；權函數WT在低頻段奇異值遠小于1，且隨著頻率的增加而逐漸變大，當超過某一頻率時，奇異值遠大于1，在高頻處權函數WT具有接近40 dB/dec的斜率，表明其具有近似s2特性；WS的斜率為-20 dB/dec，具有積分特性。

圖4 權函數奇異值圖

考慮到控制器輸出u過大易造成流量飽和，經試算，選取選函數WR為

WR=0.1

(11)

2.3 控制器的獲取

權函數選取完成后，借助Matlab魯棒控制工具箱，將傳遞函數形式的廣義被控對象G(式(4))轉化為狀態空間形式(式(5))，通過求解Riccati方程進而獲取控制器。本文的控制器傳遞函數表達式為

(12)

3 控制器性能仿真

圖5 閉環系統性能圖

為考察被控后系統的動態性能，本文采用Matlab/Simulink對被控后系統的單步階躍響應進行了分析?？紤]試驗中由于外界振動、A/D和D/A轉換以及接口轉換等因素，將不可避免的引入噪聲，本節分析中也分析了含有測量噪聲的單步階躍響應。需要說明的是，仿真中所施加的測量噪聲信號為試驗中加載系統開機狀態下實測的噪聲信號，噪聲峰值為0.22 mm。

從圖6中可以看出，無噪聲時系統達到穩態耗時小于0.02 s且無穩態誤差。在有噪聲時，系統響應單調上升并趨于穩態，且調節時間小于0.02 s；存在超調現象，但超調量為2%，在可接受的范圍內。同時可以看出，兩種工況下系統的上升時間和調節時間相同，控制器表現出一定的魯棒性能。

同時，為考察所設計控制器在應用于實時混合試驗時的性能，完成了單自由度線彈性結構的虛擬實時混合試驗仿真，計算簡圖如圖7所示。結構阻尼比ζ=0.1，周期T=2 s；數值子結構質量MN=6 889.8 kg，剛度KN=34 N/mm；試驗子結構為質量、阻尼可忽略不計的線性彈簧試件，剛度為KE=34 N/mm。選用的地震動為EI Centro(NS,1940) 地震加速度記錄，峰值加速度為80 gal。數值積分算法為中心差分法，積分步長為0.02 s，系統采樣頻率為1 000 Hz。仿真在Matlab/Simulink中完成。同時，采用Matlab軟件中的LSIM命令計算得到位移時程作為參考解。

圖6 有無系統噪聲下階躍響應

圖7 單自由度結構計算簡圖

虛擬實時混合試驗的模擬結果如圖8所示。從圖8(a)可以看出，作動器響應與作動器命令完全重合，作動器響應與參考解基本吻合；從圖8(b)可以看出，在積分時間末點，作動器響應能夠完全跟蹤作動器命令，無超調現象，且能與參考解吻合良好。算例表明，設計H∞控制器作為實時混合試驗作動器內環控制器是可行性的。

4 試驗驗證

本試驗在哈爾濱工業大學力學與結構試驗中心進行，所用電液伺服作動器為FTS，由北京富力通達技術有限公司生產；控制器采用dSPACE系統，硬件控制板為DS1104。試驗中位移傳感器為德國NOVOTECHNIK公司生產的型號為LWH-200的位移傳感器，最大量程為200 mm；力傳感器是由Vishay公司生產的PSD-5tSJTT傳感器，最大量程為5 t；伺服閥是由MOOG公司生產的型號為MOOG-761-3005伺服閥。試驗裝置如圖9。鑒于試驗系統加載條件的限制，選用彈簧試件作為試驗子結構，并采取軸向加載。圖10和圖11分別給出了試驗系統的測量噪聲和一階作動器數值模型與試驗識別模型(掃頻信號)的對比圖。從圖10中可以看出，試驗系統具有較大的測量噪聲，且從圖11中可以看出設計控制器所用數值模型與真實系統具有較大的差異。為此本文主要探討H∞控制器在較大測量噪聲和模型不確定性情況下的性能。需要說明的是，在進行試驗前將彈簧預拉50 mm，以保證試驗過程中彈簧處于受拉狀態。此時，測得的彈簧剛度為35 N/mm。

(a) 整體圖

(b) 局部放大圖

4.1 系統驗證

試驗系統模型如式(8)所示，考慮到真實系統與理論模型的差別，經試算，權函數如式(13)所示，于是得到用于真實試驗時的控制器表達式如式(14)所示。

圖9 試驗裝置照片

(a) 測量力噪聲

(b) 測量位移噪聲

(a) 幅值

(b) 相位

WR=1×10-6

(13)

(14)

由于試驗系統為數字采樣系統，試驗前采用Matlab中c2d命令將控制器連續狀態表達式轉化為離散形式，離散步長為0.001 s，離散方法為Tustin。為削弱測量噪聲對試驗的影響，試驗中使用了最小階Elliptic濾波器對力和位移信號進行了濾波。濾波器采樣頻率為1 000 Hz，對位移濾波的截止頻率為100 Hz，對測量力濾波的截止頻率為30 Hz。完成了幅值為2 mm，頻率分別為f=0.5 Hz和f=5 Hz的正弦荷載激勵試驗，以驗證系統性能，試驗結果如圖12所示，值得說明的是這個實驗僅有內環控制，沒有數值計算部分。

從圖12中可以看出，當激勵頻率為0.5 Hz時，作動器響應與命令吻合良好；當激勵頻率增加到5 Hz時，作動器響應與命令間存在一定的滯后，平均滯后量約0.008 s，遠小于積分步長。可見，所設計控制器可保證實時混合試驗的順利進行。

(a) f=0.5 Hz

(b) f=5 Hz

4.2 實時混合試驗

完成了單自由度實時混合試驗，計算簡圖如圖7所示。其中試驗子結構剛度為KE=35 N/mm，數值子結構剛度為KN=35 N/mm，結構阻尼比為ζ=0.1，結構周期為T=2 s。數值積分方法為中心差分法，積分步長為0.02 s。試驗中濾波器參數設置與4.1節相同。為驗證實時混合試驗結果的正確性，采用Matlab軟件中的LSIM命令計算得到位移時程作為參考解。

(1) 正弦激勵

所選正弦荷載的周期為0.5 s，力幅值由0慢慢增至344.492 N，其穩態響應如圖13所示。

(a) 穩態響應整體

(b) 局放大部圖

從圖13(a)可以看出，作動器的響應、命令和參考解完全重合；由圖13(b)可以看出，在積分時間末，作動器響應跟蹤能很好的跟蹤上作動器命令，且能與參考解吻合良好，說明在該正弦荷載激勵作用下，H∞控制器表現出較好的跟蹤效果。

(2) 地震激勵

選取地震動為EI Centro(NS,1940)地震加速度記錄，峰值加速度為50 gal，加載時長40 s。

從圖14(a)位移時程圖可以看出，當結構響應達到峰值前，試驗結果與參考解吻合良好；隨著響應的衰減，試驗結果與參考解在波峰和波谷處出現差異；20 s之后，試驗結果與參考解吻合良好。從圖14(b)局部放大圖可以看出，作動器響應與作動器命令基本完全重合，表明所設計H∞控制器能夠使作動器很好地實現對命令信號的追蹤。

(a) 整體圖

(b) 局部圖

為定量評價試驗結果，定義如下誤差指標

(15)

該誤差指標同時考慮了相位誤差和幅值誤差，反應了系統對信號的再現能力。經計算，作動器的跟蹤誤差為3.77%，表明H∞控制器具有較好的跟蹤性能，可實現對參考輸入的完全跟蹤；試驗結果與參考解的誤差為14.69%，表明在內環H∞控制器作用下，實時混合試驗可反應結構的真實地震響應。

5 結 論

為消除作動器-試件系統復雜非線性動力特性引起的試驗誤差和潛在穩定性問題，本文對實時混合試驗內環控制進行了探索。采用基于混合靈敏度的H∞控制方法，以線性化作動器-試件模型為控制對象，簡述了權函數的選取，設計了實時混合試驗內環控制器，詳述了控制器性能評判標準。通過有/無噪聲的階躍輸入數值模擬，H∞控制器表現出良好的跟蹤性能和魯棒性能；單自由度實時混合試驗數值模擬表明，采用內環H∞控制器的作動器在積分步長末能很好的跟蹤信號輸入。正弦激勵和地震激勵下單自由度線彈性結構的實時混合試驗結果表明：內環采用H∞控制器的作動器能夠很好的再現命令信號的幅值和相位，結構位移響應與參考解吻合良好。數值模擬和試驗驗證表明，基于混合靈敏度的H∞控制方法在作動器內環控制上是可行性的。

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Real-time hybrid simulation based on inner-loopH∞control

NING Xizhan1,2, ZHOU Huimeng3, WU Bin1,2, WANG Zhen1,2

(1. Key Lab of Structures Dynamic Behavior and Control, Harbin Institute of Technology, Ministry of Education, Harbin, 150090, China; 2. School of Civil Engineering, Harbin Institute of Technology, Ministry of Education, Harbin, 150090, China; 3. Key Laboratory of Earthquake Engineering and Engineering Vibration, Institute of Engineering Mechanics, China Earthquake Administration, Harbin, 150080, China)

Real-time hybrid simulation (RTHS) was used to take key parts of a structure as a test substructure for testing, and the remainder of the structure as a numerical substructure for simulation, an actuator or a shaking table was used for loading on the test substructure to realize the boundary condition between the two substructures to be compatible. Owing to the complex nonlinear dynamic characteristics of the actuator-specimen system, the performance of a traditional PID controller was easy to be affected. The time delay compensation or the outer-loop control strategy was used to eliminate the former’s influences to ensure the success of RTHS. TheH∞control theory based on the mixed sensitivity was adopted to design the inner-loop controller of RTHS. Numerical simulations indicated that theH∞controller has an excellent tracking performance and robustness; the RTHS of a linear elastic single-DOF structure verifies the feasibility of the proposed method in actuator inner-loop control.

real-time hybrid simulation (RTHS); inner loop control;H∞control; robustness; mixed sensitivity

中國地震局工程力學研究所基本科研業務費專項項目(2016B09)；國家自然科學基金(51161120360；51408565；51408157);高等學校博士學科點專項科研基金(20132302110065)

2016-02-23 修改稿收到日期：2016-06-19

寧西占 男，博士生，1987年12月生

吳斌 男，博士，教授，1970年1月生 E-mail:bin.wu@hit.edu.cn

TU317

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.009