基于廣義變分原理和鋸齒理論的高精度層合梁模型

賀 丹，楊萬里

(沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復合材料結構分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136)

基于廣義變分原理和鋸齒理論的高精度層合梁模型

賀 丹，楊萬里

(沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復合材料結構分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136)

基于廣義變分原理和精化的zigzag理論建立了高精度的層合梁彎曲和自由振動模型。為準確預測層合梁的力學行為做出兩個預處理：首先采用線性zigzag函數[1]使面內位移在梁高度方向(z方向)上呈鋸齒分布；然后通過彈性平衡方程構造了預先滿足層間連續和自由表面條件的層間橫向剪力，因此不需要剪切修正因子。另外，基于Reissner混合變分原理推導了該梁模型的控制方程和邊界條件，并以正交鋪設的兩端簡支層合梁為例，分析了靜彎曲和自由振動行為。算例結果表明，該模型能夠準確地預測位移、應力和自振頻率，驗證了本文方法的精度和可靠性。

Reissner混合變分原理；層合梁；層間應力；zigzag函數

0 引言

復合材料層合板/梁結構由于輕質、耐腐蝕及可設計性等優點廣泛應用于土木工程、航空航天等領域。在實際應用中，層合板/梁結構的主要破壞形式之一是層間的橫向剪力引起的分層破壞，現有軟件尚未考慮層間連續條件而無法準確地計算層間應力。因此對層間橫向剪力進行準確的計算非常必要[1-8]。

為準確預測層合結構的層間應力，位移函數沿高度方向必須預先滿足層間連續條件[9]，而位移的1階導數不連續，即呈鋸齒分布。為模擬該條件，分層理論[3]通過對每個單層構造運動學方程來滿足；整體局部理論[10]通過定義高階局部函數來滿足；zigzag理論[11]通過在面內位移場添加線性局部函數來滿足。基于分層理論，Plagianakos等[3]精確地預測了層合結構的面內位移分布和層間應力分布。基于整體局部理論，Wu等[10]采用有限元法由求得的應變精確計算了層間橫向剪力和面內應力，并采用平衡方程后處理方法準確計算了層間法向應力。近來，Iurlaro等[11]基于精化的zigzag理論，通過Reissner混合變分原理對彈性平衡方程進行預處理構造了滿足上下表面條件和層間連續性條件的剪應力，并求解了板的自振頻率；文獻結果表明[11-12]，該模型在處理復合材料層合結構問題時具有非常高的精度。與分層理論和整體局部理論相比，精化的zigzag理論中對單層位移的定義更為簡便，計算效率更高，且未知變量的個數獨立于層合結構的層數，非常適合工程應用。另外，通過Reissner混合變分原理對彈性平衡方程進行預處理所得的結果比其他方法所得的結果更加精確。

因此，本文基于精化的zigzag理論和廣義變分原理建立了預先滿足層間連續條件和自由表面條件的層合梁彎曲和自由振動模型。另外，基于Reissner混合變分原理推導了該模型的平衡方程和邊界條件。文中以正交鋪設的兩端簡支梁模型為例，分析了不同鋪設方式下彎曲變形和自由振動，并與相關文獻進行對比檢驗本文方法的精度。

1 層合梁模型

1.1 位移場

基于精化zigzag理論[1]的梁模型如圖1所示，其位移場以1階Timoshenko梁函數為基礎函數，并分層添加線性zigzag函數模擬了面內位移在高度z方向上呈鋸齒分布，具體表達式為：

uk=u0(x,t)+zθ(x,t)+φk(z)ψ(x,t)

w=w(x,t)

(1)

其中，u0為中面的平動位移，w為撓度，θ為截面轉角，k表示第k層，φk(z)為第k層的線性zigzag函數，ψ(x)為zigzag幅值函數。圖中，zk=zk-1+2hk，2hk為第k層的高度，N表示層數。另外，z0=-h，zN=h，分別表示梁的上下表面，z∈(-h，h)。pt和pb分別表示上下表面的外載荷。

圖1 層合梁承載示意圖Fig.1 Schematic figure of a laminated composite beam subjected to transverse loads

分層表示的線性zigzag函數[1]可寫成：

(2)

(3)

其中，uk(k=1,2,…,N)為層間軸向位移[1]。

1.2 層合梁的本構方程

經坐標變換之后，第k層的應力-應變關系在結構坐標系(x,y,z)下可以寫為：

σk=Qkε

(4)

其中,

ε=[εxγxz]T

(5)

Qk=TkTCkTk

(6)

其中,T為坐標變換矩陣，C為材料彈性系數矩陣。

梁的剛度矩陣Qk，表述如下：

(7)

2 層間應力連續的前處理

為滿足層間應力連續條件，進行如下預處理[11]：

1)忽略體力的第k層平衡方程可寫成：

(8)

將式(4)代入式(8)，則式(8)可改寫成：

(9)

2)式(9)等號左右兩端沿z方向積分可得：

(10)

3)將z=h代入式(10)，則

(11)

(12)

4)將式(12)代入式(10)，層間橫向剪力可表示為：

(13)

其中，

(14)

3 平衡方程與邊界條件

根據Reissner混合變分原理，放松剪應變和替換剪應力后得到的修正泛函[11-12]的變分可表示為：

(15)

(16)

其中,We為外力功，Wi為慣性力做的功。式(15)表示域內的平衡，式(16)為用Lagrange乘子表示的應變約束條件。

(17)

其中,B=[1 ?φk/?z],q=[θ+?w/?xψ]T。

將式(17)代入式(13)，層間橫向剪力的表達式變為：

(18)

將式(1)和式(18)代入式(15)并分部積分，則式(15)可改寫成：

δWe-δWi=0

(19)

外力功的一階變分可表示為：

(20)

(21)

慣性力所做的功的一階變分可表示為：

(22)

令

m0=<ρk>,m1=,m2=

(23)

則慣性力所做的功一階變分可改寫成：

(24)

將式(20)、(21)和(24)代入式(19)可得梁的平衡方程為：

(25)

在x=0和x=L處的邊界條件為：

(26)

將本構方程代入式(25)，用位移表示的平衡方程可表示為：

(27)

4 算例

以正交鋪設的簡支層合梁為例，首先對受正弦載荷時的彎曲行為進行分析并檢驗了本文方法的精度。如圖2所示，簡支梁僅承受z向圓柱彎曲載荷fw=q0sin(πx/L)，且各單層的高度和材料屬性均相同。另外，進一步分析了該模型的自由振動行為。

圖2 簡支梁示意圖Fig.2 Schematic figure of a simply supported beam

簡支梁的邊界條件為：

(28)

(29)

4.1 彎曲分析

對于彎曲分析，由于沒有慣性力，因此令Wi=0。另外，滿足全部邊界條件的位移函數可設為：

(30)

4.1.1 位移與正應力

4.1.2 層間橫向剪切應力

(a)0°/90°

(b)0°/90°/0°圖3 x=0處的軸向位移Fig.3 The axial displacement at x=0

(a)0°/90°

(b)0°/90°/0°圖4 梁中面撓度Fig.4 Center deflection of the beam

(a)0°/90°

(b)0°/90°/0°圖5 x=L/2處的正應力Fig.5 The normal stress at the mid-span at x=L/2

(a)0°/90°

(b)0°/90°/0°

(c)90°/0°/90°

(d)0°/90°/0°/90°/0°圖6 x=0處梁的剪應力Fig.6 The transverse shear stress of the beam at x=0

4.2 自由振動分析

本節分析了正交鋪設簡支層合梁的自由振動，并給出了不同鋪設方式下的自振頻率。對于自由振動分析，滿足全部邊界條件的位移函數可設為：

(31)

其中,ωn為自振頻率，i2=-1。

將式(31)代入式(27)，則層合梁的控制方程可改寫成：

Ku=ω2Mu

(32)

由表1可知：0°/90°/90°/0°鋪設時，本文結果與文獻解[14]吻合。但文獻[14]中采用了1階剪切變形理論，不能滿足層間連續條件和上下自由表面條件，因此，采用了剪切修正因子進行了修正。然而剪切修正因子在不同材料中取不同的值[15]，不具有普適性。本文的自由振動模型預先滿足層間連續條件和自由表面條件，不需要采用剪切修正因子，因此更適合工程應用。

表1 不同鋪設方式下層合梁的自振頻率

5 結論

與采用1階理論的梁模型相比，本文基于zigzag理論和Reissner混合變分原理建立的層合梁彎曲和自由振動模型預先滿足了層間連續條件和自由表面條件，不需要剪切修正因子。另外，該模型梁高方向的位移函數呈鋸齒分布，能夠準確地預測層間應力，且未知變量的個數不隨層數的增加而增加。研究結果表明，本文模型不僅可以準確地預測梁的位移、應力和自振頻率，而且不犧牲計算效率。因此，該梁模型在航空航天等領域有著廣泛的應用前景。

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A High-accuracy Composite Laminated Beam Model Based on Generalized Variational Principle and Zigzag Theory

HE Dan, YANG Wan-li

(Key Laboratory of Liaoning Province for Composite Structural Analysis of Aerocraft and Simulation,Shenyang Aerospace University, Shenyang 110136, China)

A high-accuracy bending and free vibration model of composite laminated beam is developed based on generalized variational principle and zigzag theory. To predict the mechanical behaviors accurately, the following two-step processes are implemented in this paper. Firstly, the linear functions are employed to insure that in-plane displacements through the thickness direction (the direction ofzaxis) are of the zigzag form. Secondly, the interlaminar stresses which satisfy a prior continuity conditions at the interface and free conditions at the surface are derived with the aid of the Elasticity equilibrium equations. Therefore, the transverse shear correction factors are not required. Moreover, the Reissner’s Mixed Variational Theorem is employed to derive the governing equations and the boundary conditions. A simply supported cross-ply beam model is taken as an illustrative example, the problem of static bending and free vibration are analytically solved. Illustrative examples indicate that the displacements, stresses and natural frequencies predicted by present model are accurate which demonstrates the correctness and reliability of present formulation.

Reissner’s mixed variational theorem; Composite laminated beam; Interlaminar transverse shear stress；Zigzag functions

2017-02-28；

2017-04-13

國家自然科學基金(11572204)

賀丹(1979-)，男，博士，副教授，研究方向為微納米力學、結構優化。E-mail：Danhe@sau.edu.cn

V41

A

2096-4080(2017)02-0026-07