高等數學中求函數極限的若干方法舉例探析

林見松

摘 要：函數極限的計算是高等數學的重要組成部分，靈活掌握計算方法對學好高等數學起著極其關鍵的作用。有關函數極限計算的方法眾多，該文通過具體例題探析了用定義法、四則運算法則、函數的連續性、分段點處左右極限討論、兩個重要極限及變形公式、無窮小量性質、等價無窮小替換、導數的定義、洛必達法則等9種常用方法計算函數極限。

關鍵詞：函數 極限 方法

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）05（c）-0222-02

函數極限的計算是整個高等數學的重點，掌握函數極限的計算方法對于學好高等數學起著極其關鍵的作用。針對初學者的學習需求，結合教學實踐，現將常見求解函數極限的若干方法做一探析歸納。

1 定義法求極限

用定義法求函數極限常常借助于函數的圖像來分析，更有直觀性。

例1：求

解：觀察函數的圖像（如圖1），

分析該函數當自變量無限接近于1（但）時函數值的變化趨勢，容易發現：當，函數的函數值無限的接近于2，即=2.

2 四則運算法則求極限

對和、差、積、商形式的函數求極限，考慮能否直接利用極限的四則運算法則來計算。特別地，對于不能直接利用四則運算法則的，往往要變形或化簡（如分解因式、通分、分子或分母有理化等等）后再使用。

例2：求

解：原式==

例3：求

解：原式====1.

例4：求

解：分子分母的極限均不存在，不能直接運用法則。分子分母同處以，得。

==

一般地，當，為非負整數時，有

=

3 函數的連續性求極限

連續函數在其定義域內某點的極限值等于在該點的函數值，利用此結論可求函數極限。

例5：求.

解：因是初等函數，其定義域為，而，所以==0.

4 分段點處左右極限討論求極限

利用，求（或判斷）分段函數在分段點處的極限（存在與否）。

例6：討論函數，當時的極限。

解：由于，

，所以當時的函數極限不存在。

5 兩個重要極限及變形公式求極限

利用兩個重要極限、（或）或其變形、、等進行極限計算。

例7：證明

證明：等式左邊====右邊.

例8：計算

解：原式===

6 無窮小量性質求極限

無窮小量性質有限個無窮小量的和（積）仍是無窮小量；有界函數與無窮小的積為無窮小量。

例9：求

解：因時，是無窮小量，而≤1，所以有=0

7 等價無窮小替換求極限

例10：求

解：因為當時，，，所以，

原式==

注意：在利用等價無窮小求極限時，一般只在以乘積或商的因子中替換。

8 利用導數的定義求極限

對具有形如或形式的極限，可利用導數的定義來求解。

例11：設存在，求

解：==

9 洛必達法則求極限

“”型、“”型兩種不定式的極限求解，往往優先考慮用洛必達法則，對于其它的不定式，如“、、、 、”等，可通過適當變形，將它們轉化成前兩種不定式，然后再利用羅必達法則求極限。使用羅必達法則時，可以先使用一些技巧（如變量替換、等價無窮小等）將原函數化簡。

例12：求

解：原式==

===。

實際上，求解函數極限的方法還有很多，如利用定積分定義、夾逼定理、級數、泰勒展開式、微分中值定理等等。解同一題目可用不同方法或多種方法聯合運用。不難發現，每種方法對計算函數極限類型有較強的針對性，為此，在通過上述基本方法學習的基礎上，應讓學習者掌握思想方法，學會分析所給函數極限的特征，做到靈活選擇解法，最終實現具有獨立解決此類問題的能力。

參考文獻

[1] 湖南省教育科學研究院職業教育與成人教育研究所組.高等數學（工科類）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 同濟大學，天津大學等.高等數學[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[3] 吳云飛，裴亞萍.數列極限計算的方法與技巧[J].寧波職業技術學院學報，2003，3（1）：91-92.

[4] 李占光.函數極限的計算方法歸納[J].長沙民政職業技術學院，2004，11（2）：83-84.

[5] 屈文文.極限的運算方法[J].山西經濟管理干部學院學報，2004（3）.