淺談一元二次方程的應用

張曉燕

[摘 要]一元二次方程在初中教學內容中，站著舉足輕重的地位，學好一元二次方程，是學好二次函數不可或缺的捷徑，也是學好高中數學的奠基工程。因此，本文將從函數入手，著重探討一下一元二次方程的概念、形式、解法以及應用，以求對于一元二次方程有個深入的解析。

[關鍵詞]一元二次方程；應用

一元二次方程是在學習《一元一次方程》、《二元一次方程》和分式方程等基礎之上學習的，它也是一種數學建模的方法。學好一元二次方程，是學好二次函數不可或缺的捷徑，也是學好高中數學的奠基工程。應該說，一元二次方程是初中教學的重點內容。

一、一元二次方程的概念

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的方程，叫做一元二次方程.

二、一元二次方程的一般式

（其中a， b， c為常數，且a≠0），則稱y為x的二次函數.頂點坐標為（，）.

經過適當變形，繼而我們可以得到：

1.頂點式：（）.

2.交點式（x軸）：.

3.兩根式：，其中x1， x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標，即一元二次方程的兩個根.

注意：

（1）任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式，拋物線的頂點坐標是，h=0時，拋物線的頂點在y軸上；當k=0時，拋物線的頂點在x軸上；當h，k=0時，拋物線的頂點在原點.

（2）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次方程有實數根x1和x2存在時，根據二次三項式的分解公式， 二次函數可轉化為兩根式.

三、一元二次方程的解法

一元二次方程的求解和應用是初中數學的重點內容，方程思想也是學習數學的一種重要思想.一元二次方程的解法以一元一次方程為基礎，解一元二次方程的基本思想就是降次，把二次變為兩個一元一次方程再求解.一元二次方程的一般形式為，特點是只含有一個未知數，未知數的最高次數是2，且是整式方程.如果不是整式方程，需要先把它整理成整式方程再進行判斷.一元二次方程的基本解法有四種：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.下面我們將舉例分析這四種方法的運用：

例1 用直接開方法解下面的一元二次方程.

直接兩邊開方，得：或.

由得x1=3，由得x2=，

∴原方程的解為：x1=3，x2=.

說明：用直接開方法解一元二次方程，一般不用把方程轉化為一般形式，再兩邊同時開方的時候應注意方程只需在一邊取正負號，還應注意不要丟解.

四、一元二次方程根的判別式的應用

一元二次方程根的判別式，是初中數學的一個重點，中考必考知識點，它是解答數學問題的重要工具和方法，應用十分廣泛，不僅用于方程的解和根的差別，而且作為一種解題方法，在代數、方程（組）、不等式、函數、幾何等都有非常廣泛的應用 .

1.判別拋物線與x軸的交點. 若Δ>0，則該拋物線與x軸有兩個交點；若Δ=0，則該拋物線與x有一個交點；若Δ<0，則該拋物線與x軸無交點.

2.判別拋物線與直線的位置. 將兩式組成方程組，消去y得關于x的一元二次方程. 當Δ>0時，拋物線與直線相交；當Δ=0時，拋物線與直線相切；當Δ<0時，拋物線與直線相離.

只要我們潛心研究，還可發現一元二次方程判別式在更多領域的應用. 在教學中，教師只要對學生認真引導，培養學生自主學習、合作學習、探究學習的學習精神，學生就會掌握更多解決數學問題的方法，感受學習成果的愉悅，提高數學興起，也為學生終身學習數學、研究數學打下良好基礎.

一元二次方程作為最基本的初等函數，它既簡單又具有豐富的內涵和外延。可以以它為素材來研究函數的單調性、奇偶性、最值等性質，還可建立起函數、方程、不等式之間的有機聯系；作為拋物線，可以聯系其它平面曲線討論相互之間的關系。這些縱橫聯系，使得圍繞二次函數可以編制出層出不窮、靈活多變的數學問題。同時，有關二次函數的內容，與近現代數學發展緊密聯系，是學生進入高校繼續深造的重要知識基礎。