基于數學史的《勾股定理》教學設計

鄭育玲

建構主義認為，真正的理解只能是由學習者基于自身經驗，在與環境的互動過程中建構起來的.因此在探索和證明勾股定理的過程中，啟發學生從特殊到一般、面積法等經驗是有效建構的基礎.為了讓學生在學習過程中自我發現勾股定理，本節課首先情景創設激發興趣，再通過幾個探究活動引導學生從探究等腰直角三角形這一特殊情形入手，自然過渡到探究一般直角三角形，學生通過觀察圖形，計算面積，分析數據，發現直角三角形三邊的關系，進而得到勾股定理.另一方面，課程活動的組織以及師生的反饋互動影響著學生學習本課的質量.依據“學生是學習的主體”這一理念，在探索勾股定理的整個過程中，本節課始終采用學生自主探索和與同伴合作交流相結合的方式進行主動學習.教師只在學生遇到困難時，進行引導或組織學生通過討論來突破難點.

為了培養學生探索問題與解決問題的能力，本課主要組織了自主畫圖探究以及合作拼圖證明等活動，由學生親身經歷勾股定理的探索過程和證明過程，體會從特殊到一般、轉化以及數形結合的思想方法，并且充分結合現代教育技術——幾何畫板進行教學，給教學帶來極大的便利，同時激發學生的學習興趣.

勾股定理的教學，應當注重滲透數學史的教學，使學生親身經歷前人的探索過程，易于學生接受、掌握和運用. 同時讓學生感受中國古人的聰明才智，加強民族自豪感！

一、教材分析

本節主要內容是勾股定理的發現及表達、趙爽的證明及其相關歷史. 勾股定理是平面幾何中非常重要的一個定理，揭示了直角三角形三邊之間的一種美妙關系，將形與數密切聯系起來，在數學的發展和現實世界中有著廣泛的作用.本節是直角三角形相關知識的延續，同時也是學生認識無理數的基礎，充分體現了數學知識承前啟后的緊密相關性、連續性.此外，歷史上勾股定理的發現反映了人類杰出的智慧，其中蘊涵著豐富的科學與人文價值.

二、學情分析

八年級學生已經具備一定的觀察、歸納、探索和推理的能力，已掌握圖形的面積求法，圖形割補拼，具備基本的學習能力.在小學，他們已學習了一些幾何圖形面積的計算方法（包括割補法），但運用面積法和割補思想解決問題的意識和能力還遠遠不夠. 初二學生對“形”到“數”的運用上仍較為薄弱. 同時，初二的學生，數形結合與抽象思維尚不能勝任體會，對從面積的割補來證明勾股定理有一定的難度.部分學生聽說過“勾三股四弦五”，但并沒有真正認識什么是“勾股定理”.此外，學生普遍學習積極性較高，探究意識較強，課堂活動參與較主動，但合作交流能力和探究能力有待加強.

三、教學目標

1.知識與技能

了解勾股定理的發現過程，掌握勾股定理的內容，會用面積法證明勾股定理.

2.過程與方法

（1）在勾股定理的探索過程中，發展合情推理能力，體會數形結合的思想；

（2）通過拼圖活動體驗數學思維的嚴謹性，發展形象思維；

（3）在探究活動中，學會與人合作并能與他人交流思維的過程和探究過程.

3.情感態度價值觀

（1）通過對勾股定理歷史的了解，感受數學文化，激發學習熱情；

（2）在探究活動中，體驗解決問題方法的多樣性，培養合作交流意識和探究精神.

四、教學過程

1.問題情境

活動：復習回顧三角形的三邊數量關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.引出今天的主題，對于特殊的三角形——直角三角形，又有怎樣的數量關系？

評：復習舊知識，將新知識與舊知識建立聯系，易于理解與掌握.

2.分析探究

活動1：探究等腰直角三角形的三邊數量關系.還原畢達哥拉斯發現等腰直角三角形三邊數量關系的歷史著手，引導學生從面積關系推導出等腰直角三角形的三邊數量關系.

評：通過給出古代數學家與勾股定理相關的圖，引起學生的注意，激發學生的好奇心和探究的欲望. 體驗勾股定理的探索發現過程，了解知識的來源，易于掌握和接受新知識. 從面積關系轉化到三邊數量關系，體會面積法在勾股定理探索過程中的應用.

活動2：探究一般直角三角形三邊數量關系.學生親自動手畫一般的直角三角形進行探究，類似地通過面積關系得到三邊數量關系，在求面積時引導學生通過切割或者補形的方法去求解.并結合幾何畫板進行直觀演示直角三角形的三邊數量關系.

評：讓學生體驗從特殊到一般的過程，好好體會從特殊到一般的思想方法在數學中的應用.讓學生自己動手，主動探索學習，調動學生學習數學的積極性；同時讓學生自己推出結論，可以產生一種成就感，也是對學生的肯定和贊賞，從而對數學產生濃厚的興趣. 讓學生體會轉化的思想，通過對圖形的割補將較難求面積的圖形轉化為容易求得面積的方法.將現代教學技術融入課堂，激發學生的學習興趣，并且能讓學生直觀感受勾股定理在直角三角形中的一般性.

3.得出猜想

活動：經過從等腰直角三角形到一般直角三角形的三邊數量關系，引導學生組織語言，進行猜想.

評：培養學生從特殊到一般，從探究到猜想的思維能力.

4.實踐驗證

活動1：趙爽弦圖證法.詳細敘述我國數學家趙爽對勾股定理的證明過程，并說明趙爽對于世界數學所做出的重大貢獻，并由此證明方法滲透數形結合的思想.勾股定理出來之后，對定理進行辨析，并由此定理可對直角三角形的三邊進行“知二求一”.

評：以“猜想——命題——證明——定理”的形式給出勾股定理，讓學生體會數學定理的嚴密性和科學性.基于有意義學習理論，讓學生理解勾股定理的符號形式的真正含義，有效避免機械學習，利于學生掌握和運用. 讓學生對勾股定理的應用有個初步的認識，為下節課深入學習其應用做鋪墊. 同時在“知二求一”中體會分類討論的思想.勾股定理歷史的介紹是對學生進行文化熏陶，“趙爽弦圖”的證明是為了引導學生學習古人對數學的鉆研精神，增強民族自豪感，同時體會數形結合的魅力所在.

5.總結升華

活動：回顧總結勾股定理從猜想到證明的過程，并總結勾股定理的歷史意義.勾股定理是世界數學史上一顆璀璨的明珠，它的意義十分重大：它是聯系數與形的第一定理，導致了無理數的發現，引發了第一次數學危機.

評：讓學生回顧整堂課的學習內容，使其學有所得. 引導學生一同總結，培養學生學會總結善于總結的好習慣. 并且通過總結進一步強化從特殊到一般、數形結合的思想方法.揭示勾股定理的重大意義，體會勾股定理的魅力所在.

參考文獻：

[1]神奇的勾股定理[A]. 白浩宇.第四屆世紀之星創新教育論壇論文集[C]. 2016.