探析類比思想在中學數學中的應用

鄭育玲

[摘 要]所謂類比思想，是把兩個（或兩類）不同的數學對象進行比較，如果發現它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處.它是解決數學問題常用的方法和途徑，在中學的數學教學中有意識地滲透類比聯想的思想方法，有助于提高學生的數學思維能力，并且發現知識間的內在聯系.本文通過探析類比聯想、類比與數列以及類比與解析幾何，學會舉一反三，觸類旁通，以期指導學生有意識地鍛煉自身類比聯想的思維能力.

[關鍵詞]類比；數列；解析幾何

一、類比與聯想

例1 已知是非零實常數，對任意，恒成立，則是否為周期函數？若是，求出它的一個周期；若不是，請說明理由.

解題策略：由已知等式的結構形式聯想到與進行類比，所以把看作的一個具體模型，題中的相當于，由函數的周期，故可猜想的周期可能是.

對任意，有

；，根據周期函數的定義可知是一個周期為的周期函數.

通過結構關系上的相似性進行類比、聯想是進行探索、創新的一種重要途徑.因此，在中學數學的學習中不僅要重視公式的記憶，更要把握公式中量與量之間所反映出來的結構關系，這樣才能做到舉一反三，觸類旁通.

二、數列中的類比

例2 （1）求證：在等差數列中，若，則有等式成立；（2）類比上述性質，在等比數列中，若則有等式 成立；（3）在第（1）小題中，若將改成，則相應的等式應該是 .

解題策略：

1.常規解法是根據等差數列的前n項和公式分別對等式兩邊進行求和，并由化簡證明兩式相等.下面給出一種較簡便的解法：設是數列的前n項和，且.因為，所以，由是n的二次函數可知：的圖像的對稱軸為，所以，即成立.

注：中的n本是正整數，但為了研究的方便，不妨設亦可.

2..類比的依據如下：不妨設，則數列就是等差數列，且，由第（1）小題易知，化簡后即有

3..

等差數列和等比數列是高中數學進行類比的典型例子.這是因為兩者的定義只有一字之差，而定義中的“差”與“比”只是運算上的差別，兩者之間可以相互轉化：即若是等差數列，則是等差數列.所以，從本題中涉及的運算關系看，是加法運算與乘法運算的類比.

三、解析幾何中的類比

例3 與圓類似，連接圓錐曲線上兩點的線段叫做圓錐曲線的弦，過有心曲線（橢圓、雙曲線）的中心（即對稱中心）的弦叫做有心曲線的直徑.對圓，由直徑所對的圓周角是直角出發，可得：若AB是圓O的直徑，M是圓O上的一點（異于A、B），且AM、BM均與坐標軸不平行，則.

1.試根據點M和直徑AB的特殊位置，寫出對橢圓的類似結論并證明；

2.類比問題（1），寫出對雙曲線的類似結論.

四、解題策略

1.在橢圓上任取，直徑的兩端點坐標為、，，由此可猜想出相應的一般結論是：若AB是橢圓的直徑，M是橢圓上異于A、B的一點，且直線MA、MB與坐標軸均不平行，則.

證明如下：設、是橢圓上不同的兩點，由于橢圓的中心是原點，故直徑AB的另一端點B的坐標是，且滿足，.由此得，，因此.

2.若AB是雙曲線的直徑，為雙曲線上異于A、B的一點，且直線MA、MB與坐標軸均不平行，則.

圓錐曲線的方程都是二元二次方程，圓錐曲線的第一定義很相似（特別是橢圓與雙曲線），圓錐曲線還可由第二定義來定義，并把方程統一成極坐標形式.因此，根據一種圓錐曲線所具有的性質，通過類比，可在方法或結論上探索另一種圓錐曲線所具有的性質，當然這種性質不一定是簡單的“復制”.

參考文獻：

[1]類比法在數學課堂教學中的應用[J]. 寧華玲. 讀書文摘. 2015（18） .