導數在中學數學中的應用

金春?張婷毅

[摘 要]導數是研究函數基本性質、變化率以及優化問題上強有力的工具，圍繞著導數知識的高考命題研究層出不窮。 由于受學生思維水平以及認知結構的限制， 導數的教學做了簡化處理， 教學過程以理解為主， 淡化形式。 其次， 圍繞著導數中學常做大量技巧性的解題訓練，突出其應用。 缺乏對該知識拓展和延伸， 無法在更高的視野下重視所學內容。 本文將以導數為例， 探究導數在中學數學的應用， 將中學數學中已下移的導數知識進行深入， 對沒有進入中學的知識進行下放。

[關鍵詞]高等數學； 中學數學；導數

一、導數的定義

通過瞬時速度、瞬時變化率定義導數概念直觀形象， 符合中學生的認知水平。 但在教學過程中， 存在以下問題。

1.學生對導數定義中的自變量趨于某一值沒有充分理解， 對“無限逼近”是不是意味著值能取得到存在困惑， 有的學生認為一定在定義域范圍內。

導數教學借鑒了國外課程設置， 課程的編排采取“無極限導數”的策略， 從注重形式化到借助直觀物理模型引入導數概念， 強調以理解為主， 淡化形式， 突出概念的本質， 不再將導數概念過早地“形式化”， 也導致學生對極限思想、無窮小量的理解不夠。 如果引入導數的形式化定義， 那么課程設置需要從講述數列、數列極限、函數極限、函數連續性、到導數及其應用， 微積分知識的完整性得到了充分的體現， 但這種課程設置沒有考慮學生的認知水平， 學生的理解能力有限， 抽象思維能力不夠。 由此可見， 對極限定義進行適當的引入和介紹， 體會“無限逼近”的思想價值對導數概念教學設計的探索十分有必要。 同時要注意避免極限概念對導數本質的干擾， 為了適應新的概念， 個體必須對原有概念進行改造， 使其適應新的情景， 形成新的數學觀。

為了透徹理解導數與導函數概念的極限思想， 有必要講述時函數的極限。 設是定義在點的某個空心領域內的函數， 討論當趨于時， 對應的函數值能否趨于某個定數， 尤其是在處是可以無定義的。

有必要對無窮小量概念進行講解， 講解比式的極限求導。

在數學概念的習得過程中，學生長期使用通過觀察大量數學事例的方法進行歸納概括， 而不是在符號表征的基礎上進行邏輯推理和證明， 也沒有對所學知識進一步推廣。 因此， 有必要在中學數學的教學過程中， 立足于高等數學的應用性為中學課程設計提供多種思路， 為中學解題提供多種解法和拓展。中學涉及了， 以及等的極限， 講解無窮小量有一定的必要性， 避免機械記憶。

從平均變化率到瞬時變化率的過程過于粗糙， 學生沒有體會到極限思想 。

學生對于瞬時速度的認識不深刻， 盡管能通過物理知識充分區別平均速度和瞬時速度， 但他們對于瞬時速度的表述是函數在某一點的導數， 而不是通過平均速度逼近得來的。 由于在學習導數之前， 沒有學習過極限概念， 只是把導數當作特殊極限處理， 因此在教學過程中， 應該充分讓學生認識到取極限的過程， 尤其是當趨于時， 平均變化率取極限的過程， 用切線逼近割線體會“無限逼近”的思想， 從靜態處理過渡到動態認識導數概念。

2.導數的計算。

（1）反函數的導數。

中學關于導數的計算是在平均變化率的基礎上， 用瞬時變化率逼近的， 通過導數的定義求出了一些簡單函數的導數。 包括常值函數、指數函數與對數函數的求導。 對于與， 學生經常混淆。 在學習指數函數和對數函數后， 學生對反函數有了一定的了解， 對高等數學中反函數的導數定理可以做一定的簡化處理。

定理1 設為的反函數， 若在點的某領域上連續， 嚴格單調且， 則在點可導， 且

對該定理做簡化處理， 對于指數函數和對數函數的導數滿足上述定理， 由此可將二者聯系起來加深理解。

3.復合函數的導數。

復合函數的求導遵循從外到內的原則， 即鏈式法則， 在中學已有大量應用。

對于多個函數復合而得的復合函數， 只需反復應用上述法則即可。

例1 設， 求。

部分學生把函數誤看作， 導致錯解。

錯解 令， 。

正解 根據復合函數求導法則和導數的四則運算法則，將看作兩個函數的復合， 則

4.高階導數。

中學數學目前沒有涉及到高階導數， 實際上， 高階導數在泰勒展式以及求解函數的拐點等有廣泛應用。 在中學數學中， 對于一般角的三角函數值只能通過查表或借助計算器得到， 可介紹高等數學中的高階導數與泰勒展式進行近似計算。

二、單調性與極值

中學數學關于函數單調性的教學是在觀察大量函數模型如一次函數、指數函數、對數函數的基礎上， 歸納出導函數的符號與函數單調性之間的關系。 而高等數學中關于單調函數的定義是通過導函數的定義進行界定的， 其中涉及到函數極限的保不等式性與保號性。 事實上， 根據導數的定義來定義函數的單調性是順其自然的思路。 只是學生會對過程中的保號性與保不等式性產生疑慮， 教師只需做出說明， 簡單講解原因即可， 提供函數單調性定義的另一種思路。 培養學生研究問題的嚴謹性， 改善以往研究問題只靠從大量實例中歸納總結的思維習慣。

中學接觸的是極值的第一充分條件， 簡言之， 導函數的正負對應著原函數的增減， 通過畫表格的方式得到函數的極值。 事實上， 極值的第二充分條件在中學也有廣泛應用。

高等數學知識可以為中學課程設計與解題提供多種思路，對公式定理加以延伸和拓展。 研究高等數學在中學數學的應用對彌補二者在知識和思想方法上的斷層有一定的實際意義。 但是， 利用高等數學解決中學數學問題應該建立在其實際應用的基礎上， 不能一味地擴大其作用， 以免增加學生負擔， 適得其反。 在實際教學過程中， 關于高等數學在中學的可下移程度還需進一步實驗探究。

參考文獻：

[1]洪妍.高中導數概念的教與學研究[D].江蘇：揚州大學，2009.

[2]秦德生.學生對導數的理解水平及其發展規律研究[D].吉林：東北師范大學，2007.

大學生創新創業訓練計劃項目 陳崢立副教授；