數學實驗：讓幾何概念的理解更深刻

吳靜

摘要：數學實驗是幾何概念教學的“腳手架”，是學生自主建構概念意義的重要學習方式。利用數學實驗進行幾何概念教學，能使情境和經驗再現，讓操作和智慧相融，促理解和創造共生。教學中，教師要立足學生的數學現實，以學生的視角進行觀察和思考，從實驗時機的把握、序列的設計、材料的選取以及方式擇定等方面進行探索，使學生對幾何概念的理解更加深刻。

關鍵詞：數學實驗；幾何概念；理解

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2017）07A-0104-05

義務教育數學課程標準（2011年版）明確指出：“設計必要的數學活動，讓學生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感知知識的形成和應用。”[1]隨著新課改的不斷深入，數學實驗日益受到一線教師的關注，成為小學生數學學習的重要方式，然而，在實際運用中還存在著一些問題。如何正確理解數學實驗？數學實驗具有怎樣的教學價值？如何在教學中合理運用數學實驗？下面，結合小學數學幾何概念中“數學實驗”的實踐和探索，談談個人的一些思考和體會。

一、意義詮釋：什么是小學幾何概念中的數學實驗

（一）幾何概念

幾何概念是學生學習一切幾何知識的開端，是后續學習幾何運算、幾何推理、幾何證明、幾何變換等所需情感和知識的基石，對發展空間觀念起到重要的作用。小學數學教材中絕大部分的幾何概念（如表1）是在對現實空間的具體概念進行組織的過程中發展起來的，具有直觀性、經驗化的特點。

從教材內容看，小學幾何概念主要分為圖形概念、圖形運算概念以及圖形變換概念這三類。圖形概念包括線、面、體三種基本圖形概念；圖形運算概念主要涉及周長、面積、表面積和體積、容積；圖形變換概念主要是指軸對稱圖形、平移和旋轉、圖形的放大與縮小。從概念理解水平看，分為直觀認知水平和描述性水平兩類概念。通常圖形概念、圖形變換概念要分兩次學習，幫助學生從直觀感知逐步上升為抽象理解。

（二）小學幾何概念中的數學實驗

數學實驗是為了獲得某種數學理論，檢驗某個數學猜想，解決某類數學問題，實驗者運用一定的物質手段，在數學思維活動的參與下，在典型的實驗環境中或特定的實驗條件下所進行的一種數學實踐探索活動。[2]數學實驗的本質是“做中學”，即通過物質材料的操作展示知識的形成過程，不僅能使數學對象具體化、可視化，還能將壓縮、靜態的數學結論“解壓”，使之過程化并具有探索性。

小學幾何概念中組織數學實驗活動，其實質是通過對物化的概念要素的操作，引發學生對幾何概念關鍵特征和本質屬性的思考，從而自主建構概念意義的一種探究性學習方式。

二、價值尋繹：為什么要在小學幾何概念教學中進行數學實驗

數學實驗是幾何概念教學的“腳手架”。學生通過操作實驗材料建構概念，豐富已有的經驗，獲得對幾何概念意義的深刻理解，發展創造性思維能力。

（一）“情境”和“經驗”再現，學生理解幾何概念的重要手段

在學習幾何概念之前，學生已經在日常生活中不斷通過自身感知覺體驗的積累，形成幾何概念意象。這些概念意象受學生原有經驗、視覺信息表征及圖形特點的影響，具有隨意性、不穩定等特點，從而阻礙幾何概念的發展。學生在數學實驗中，通過對物質材料的操作對接經驗，再現幾何概念的形成過程，使原有的概念意象中模糊、粗糙，甚至錯誤的部分得以清晰可見，進而直觀捕捉關鍵要素和本質屬性，澄清、修正、完善已有的概念意象。

（二）“操作”和“智慧”相融，學生主動學習幾何概念的重要方式

借助數學實驗教學幾何概念是一個動態建構概念的過程，也是學生主動理解數學概念的有效途徑。數學實驗要求學生利用已有的經驗和知識基礎“做”出新的概念，而不是以“看”為基礎的概念推想。“看”是被動接受，而“做”是主動探索。“做”比“看”更能激發學生的學習熱情，也需要投入更多的智慧。數學實驗通過“做”概念將“操作”和“智慧”完美結合，兩者相互融合、相互促進。思考引發操作，操作加深思考。學生基于問題的思考進行操作，又在操作中修正和完善認知，加深對概念意義的理解。

（三）“理解”和“創造”共生，學生創造性學習幾何概念的有效途徑

數學實驗變靜態的“看”為動態的“做”，不僅改變了概念認知方式，更使創造性學習成為可能。荷蘭數學家弗蘭登塔爾認為：“學習數學唯一正確的方法是實行‘再創造，也就是由學生本人把要學的東西，自己去發現或創造出來。”數學實驗解放了學生的手腳和大腦，讓學生有了更多的學習自由、更大的探索空間，使數學學習變得生動、有趣，還有利于概念的再創造。學生在實驗中，需要擺脫對教師的依賴，整合自身的經驗、能力以及對新情境的認知，通過動手操作展示自身的理解，再現或創造出新的幾何概念。可以說，通過數學實驗獲得的幾何概念無一例外是學生創造性學習的產物。

三、操作策略：如何在小學幾何概念教學中開展數學實驗

數學實驗在小學幾何概念的教學中有著廣泛的運用。要發揮數學實驗應有的教學價值必須立足學生的數學現實，以兒童的視角思考，從實驗時機的把握、序列的設計、材料的選取以及操作方式的擇定等因素切入，引導學生不斷加深對幾何概念意義的理解。

（一）把握時機：在學生困惑時展開

數學實驗是為學生探索幾何概念意義而進行數學活動，具有較強的目的性。合理把握實驗時機有利于學生理解幾何概念意義，有助于學生感受數學實驗的價值，進而產生自覺運用實驗理解概念意義的意識。過早或過遲引入數學實驗都不可取。通常，數學實驗要在學生出現理解困惑時“登場”，才能起到事半功倍的效果。

【案例1】蘇教版小學數學三年級下冊“三角形的認識”

（學生在生活情境中識別三角形，并進行了廣泛舉例）

師：同學們對三角形已經有了一定的認識，那么你能說說什么樣的圖形叫作三角形嗎？

生：有3個角、3條邊的圖形。

師：還有不同想法嗎？是不是有3個角、3條邊的圖形就一定是三角形呢？

（全班同學點頭，肯定自己的想法）

師出示圖形：這個圖形有3個角、3條邊嗎？是不是三角形呢？

生1：三角形的3條邊是3條線段，不是曲線。

生2：我認為有3個角、3條線段組成的圖形是三角形。

生3：我感覺這樣的說法還有問題，如果是這樣的圖形（隨手畫出 ），也不是三角形啊。

師：有點感覺，但好像說不清楚。那么怎樣的圖形才能叫作三角形？咱們可以用什么辦法來研究？

生：可以做個小實驗，用小棒圍三角形。

教師并沒有直接讓學生進行實驗，而是通過提問幫助學生提取已有的經驗，在學生發現自身理解不足的基礎上展開活動的。“什么樣的圖形叫作三角形？”“有3個角、3條邊的圖形一定是三角形嗎？”“要知道怎樣的圖形叫作三角形，咱們可以用什么方法來研究？”教師的三問直指圖形概念，層層深入，由第一問激活學生原有的經驗，到第二問暴露學生經驗和思維中的不足，最后到第三問尋求解決問題的辦法，逐步為學生敲開數學實驗研究的大門，充分體現了數學實驗在幾何概念學習中的價值。

古人云：學起于思，思源于疑。問題是學生數學學習活動的起點和歸宿，更是學生主動實驗的原動力。教學中，教師要先通過提問讓學生察覺自己的錯誤，造成認知上的不平衡，進而產生認知調整的需求，再通過實驗澄清錯誤概念，這樣，才能使數學實驗成為解決問題、理解概念的利器。

（二）優化序列：在認知障礙處突破

幾何概念的形成過程通過數學實驗得以體現。學生循著教師設計的實驗序列思考和探索，逐步建構起對概念意義的理解。合理的實驗序列不僅要展示幾何概念內在的邏輯線索，更要和學生認知線索相吻合。學生的認知線索則要通過對學生已有認知基礎和水平的鑒定才能覺察。數學實驗要在學生認知障礙處停留，并通過恰當的操作方式加以突破。

【案例2】蘇教版小學數學六年級上冊“認識體積”

（1）實驗一

呈現材料：一個裝有蘋果的玻璃杯和一個裝有水的容器

思考：能不能將水倒入杯中，為什么？（杯中還有空隙、空間）

驗證：將部分水倒入杯中。

（多次進行上述實驗，直到杯中沒有空間為止）

結論和拓展：玻璃杯中有空間，那么課桌肚有空間嗎？教室有空間嗎？

（2）實驗二

材料：兩個同樣大小的杯子，分別裝滿水，兩個大小不同的石塊

思考：往兩個杯中分別放入石子，想想會出現什么情況？哪個杯溢出的水多？

實驗：往杯中放入石子

分析：為什么一個杯溢出的水多，而另一個杯溢出的水少？

結論：兩塊石子所占空間大小不同，石子所占空間的大小就是石子的體積。

體積概念理解的難點是“空間”。由于“空間”是看不見、摸不著的，很難具象，通常，教學時會淡化“空間”認識，而強化“物體占有空間”的理解。比如，出示2個完全相同的玻璃杯，將一個杯中盛滿的水倒入另一個裝有物體的杯子，再提問“為什么杯中還剩有水？”由“水的剩余”反推“物體占了杯子的空間”。這樣處理，學生對“空間”的認知還停留于想象中。這位教師的高明之處就在于，直面學生的問題，通過調整實驗活動的順序巧妙化解難點。由先提問“能不能往杯中倒水？”再實驗，成功將學生的注意力引向杯中“空間”，使存在于想象中的空、幻的“空間”變得具體、可視，接下來依然采用“先猜后證”的順序繼續倒水實驗，不斷豐富著學生對空間的感知。正因為前期對“空間”充分的認知，掃除了認知上的障礙，所以后面只需一個對比實驗就能使學生輕松理解體積的概念。

實踐表明，實驗序列設計要以學生的理解水平為參考，基于數學知識內在邏輯進行加工和改造。如果學生理解出現困難，就要想方設法創設實驗環境幫助學生跨越障礙；如果學生輕易就能理解的部分，則可以不做實驗安排。好的實驗序列要體現“以生為本”的教育理念，從學生學習實際出發進行計劃，并通過精心設計提問引發學生關注和思索。

（三）精選材料：在關鍵要素上聚焦

數學實驗是通過材料操作幫助學生實現對概念的理解的。實驗材料是學生操作和思維的對象，在實驗中起著舉足輕重的作用。通常，幾何概念教學中的實驗材料直接指向概念的各個要素。因此，要在代表關鍵要素的實驗材料上多動腦筋、做文章，幫助學生快速聚焦。

【案例3】蘇教版小學數學五年級下冊“圓的認識”

設疑：你有哪些辦法畫出一個標準的圓？（全班交流）

出示材料：一根繩子、一段粉筆和一枚圖釘。

提問：你會利用這些材料畫出一個圓嗎？

實驗：同桌合作，利用教師發的兩套工具分別畫一個圓。（提供的是組裝好的半成品，即繩子的一頭已經系好粉筆。另外每組都有兩套材料且繩子的彈性不同，有的繩子無彈性，有的是彈性大的皮筋。）

討論：同樣是用釘繩畫圓，為什么一個能畫出比較標準的圓，另一個不行？

結論：要畫出一個標準的圓關鍵是什么？（繩子長度固定不變）

定名：釘子所在的位置正好在圓的中心，叫圓心；固定不變的繩子畫下來就是一條線段，這條線段就是圓的半徑。

特征：圓的半徑有什么特征？為什么？

教師將原本孤立的畫圓、各部分名稱和半徑特征三個教學環節聯系起來，形成以探究圓的特征為核心的認知整體。圓的特征是什么？又該如何聚焦特征？通過以上的教學便可一目了然。教師對于圓的本質特征持有鮮明的觀點：半徑的特征就是圓的特征，即半徑有無數條且長度相等。這一特征借助實驗材料——“繩子”進行聚焦、放大，引發學生關注和思考，最終由“物”過渡為“線段”，順利完成抽象。

數學實驗要凸顯幾何概念的本質特征，不僅需要依托合理的實驗順序，更要遵循實驗設計特定的準則、方法。從以上案例中我們可以窺見數學實驗的一般之“道”，即找到與幾何概念關鍵要素相契合物質載體（實驗材料）和操作方式。如“半徑”對應“繩子”，“半徑有無數條，長度相等”則對應“繩長固定不變，繞釘子旋轉一周”。設計實驗時，教師要立足幾何概念本身進行特征和要素分析，通過鮮明的材料以及夸張的操作，抓住學生的注意力并引導其主動思考。如教學蘇教版小學數學二年級“角的認識”一課中，教師可以設計讓學生用紙質材料做角的實驗，為了讓學生感知角的大小和邊的長短無關，可以通過夸張的手法剪短學生所做角的邊，強化學生對角的本質的認識。

（四）改良方式：在經驗再造中探索

同一個內容可以通過不同的實驗方式進行學習，而不同的實驗方式有不同的教學效果。教學中，教師不要拘泥于教材提供的實驗思路，可以借鑒或創造一些實驗活動，并在此基礎上通過價值判斷選擇出最佳方案讓學生實驗。好的實驗方案能讓學生主動參與學習，在經驗再造中探索概念本義，并能促進思維能力的發展。

【案例4】蘇教版小學數學三年級上冊“認識長方形、正方形”

出示材料：3組長短不同的小棒（各四根，分別為2長2短、4根不同長短、4根等長的小棒）

實驗：選擇其中的一組小棒圍一個長方形

反饋：同學們都利用小棒圍出了長方形，很厲害！下面，請你們指揮老師圍一個長方形。我該選的是怎樣的4根小棒，又該怎么擺放小棒呢？

（選2根長、2根短小棒，長的和長的對面擺放，短的和短的對面擺放）

想象：按照你們的方法，老師一定能圍成長方形嗎？

操作出平行四邊形，設疑：為什么沒能圍成長方形呢？問題在哪兒？

及時調整角度，得結論：圍長方形的時候要關注小棒擺放的角度。

操作描述：說說怎樣才能圍成長方形？（選4根小棒，2根長，2根短，長、短小棒要相對擺放，4個角要擺成直角。）

轉換：圍長方形的小棒就是長方形的邊，誰能說說長方形有什么特點？

特征再描述：4條邊，相對的邊長度相等，4個角都是直角。

以上案例中，教師并沒有沿用教材提供的實驗路徑和方式，明確要求學生通過測量邊、角發現長方形特征，而是讓學生用小棒“做”出長方形。這個改變源自于教師對“做中學”這一實驗內涵深刻的理解：首先，選小棒做圖形需要學生綜合運用操作技能和智慧技能才能完成，是一個構造圖形的過程，也是一個不斷調用、完善圖形經驗的過程。隨后，采用“指揮老師圍圖形”的實驗反饋形式更為學生描述特征起到關鍵作用，不僅將學生對長方形特征的認識從動作層面上升至語言層面，使特征清晰化、明朗化，還能使學生對圖形認識更為全面，從對“邊”“角”單一元素的感知過渡到多元、全面的認知。

數學實驗的方式優劣因教學內容、教學目標和教學對象而異。教師在選擇實驗方式時要非常謹慎，要從凸顯概念本質、增進學習體驗和提升思維能力等方面進行綜合考量，全面關注學生“四基”的發展。

數學家歐拉曾說過：“數學這門學科，需要觀察也需要實驗。”數學實驗具有直觀性、操作性、探索性和創造性等特點，在小學幾何概念教學中得到了極大的關注。然而，不能將數學實驗“標簽化”，簡單地將有無數學實驗作為衡量一節幾何概念課好壞的標準。教師要正確理解數學實驗的意義和價值，結合具體的教學內容，從學生的數學現實出發設計實驗活動，使數學實驗真正成為由表及里、由淺入深理解概念本質的重要手段。

參考文獻：

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社， 2012：63-64.

[2] 董林偉.初中數學實驗教學的理論與實踐[M].南京：江蘇科學技術出版社， 2013：6.

責任編輯：石萍

Mathematics Experiment and Geometrical Concept Interpretation

WU Jing

（Jiangyin Chengjiang Central Primary School， Wuxi 214400， China）

Abstract： Mathematics experiment is the scaffold of geometrical concept teaching and also an important way of students autonomous construction of conceptual meanings. This teaching method can relive the situation and experience， integrate operation with wisdom， and improve students understanding and creation. Teachers should be based on the mathematic reality of students and make an observation and thinking from the angle of students. Furthermore， teachers should explore from such aspects as capturing the time of experiment， sequence designing， material selection and choice of approaches to improve students understanding of concepts more deeply.

Key words： mathematics experiment； geometrical concept； interpretation