定積分在幾何計算中的應用研究

丁軍猛

摘要：定積分是高等數學的基礎，它的應用非常廣泛，在物理學、經濟學、幾何學中都有應用，本文重點研究了定積分在幾何計算中的應用，通過利用定積分在解決一些利用初等幾何知識無法解決的幾何問題，為我們解決一些初等數學問題提供了一些新的思想，新觀點。

關鍵詞：定積分；幾何；計算

在數學中，應用可以分為不同的層次：一是數學知識的直接應用，如由基本積分公式，利用直接積分法求不定積分，這是最低層次的一種應用；二是運用數學知識解決由具體問題抽象出來的數學模型，如利用定積分解決平面圖形的面積和旋轉體的體積問題，這是高一級層次的應用；三是運用數學知識直接解決現實問題，這時，需要對具體的問題進行抽象概括，抽象出具體的數學模型，而后進行解決，這是最高層次的一種應用。本文涉及的應用問題主要是二種應用，即運用數學知識解決數學模型。

一、定積分的概念和性質

（一）定義

設 為定義在區間 上的有界函數，在 中任意插入 個分點：將區間 分割成 個小區間 ，小區間的長度分別記為 ，在小區間 上任取一點 ，作和式： ，

若當 時，上述和式極限存在，且與區間 的分法無關，與 的取法無關，則稱此極限為函數 在區間 上的定積分，記為 ，即 .

其中， 稱為積分變量， 稱為被積函數， 稱為被積表達式， 稱為積分區間， 為積分下限， 為積分上限.

（二）定積分的幾何意義

若在 上 ，則 的值表示由曲線 ，直線 ， ， 所圍成曲邊梯形的面積若在 上 ，則 為負值，絕對值是以 為曲邊，與直線 ， ， 所圍曲邊梯形的面積（圖）.

若在 上 有正有負，則 的值表示由 ， ， 和 所圍圖形在 軸上方的面積減去在 軸下方的面積所得之差（圖1、2）.

定積分的應用很廣，僅介紹它在幾何方面和物理方面的一些應用.首先說明一種運用定積分解決實際問題時常用的方法——將所求量表達成為定積分的分析方法——微元法（或元素法）.

由定積分的定義和幾何意義可以看出。在將具體問題中所求的量S表達成定積分：

時，總是把所求量S看作是與變量 的變化區間[a，b]相聯系的整體量.當把區間[a，b]劃分為若干小區間時，整體量S就相應地分為若干部分量 ，而整體量等于各部分量之和，這一性質稱為所求量對于區間[a，b]具有可加性.

劃分區間后，在各部分區間上，求出部分量的近似表達式 ，由可加性，總量的近似值可以表達成和式 （由于點 任意選取時，和式極限有確定的值，常取 為區間的左端點 ），從而這個和式的極限就是所求量的精確值，于是由定積分的定義，總量S可用定積分來表達

一般地，如果某一實際問題中所求量S滿足以下條件：

S是與變量 的變化區間[a，b]有關的量，且S對于該區間具有可加性，所求量S就可用定積分來計算.具體步驟如下：

（1）確定積分變量，并求出相應的積分區間[a，b]

（2）在區間[a，b]上任取一小區間 ，并在該小區間上找出所求量s的微元

（3）寫出所求量 的積分表達式 ，然后計算它的值.

這里 通常稱為所求量S的微分（或元素），這種直接在小區間上找積分表達式從而得出定積分表達式的方法，通常稱為微元法（或元素法）.

二、根據定積分的定義，定積分與幾何圖形的面積有直接聯系，由其定義推導過程，我們總結出以下兩種情況

（一）在直角坐標系下計算平面圖形的面積

方法一：

面積元素 = ，面積 =

第一步：在 邊界方程中解出 的兩個表達式 ， .

第二步：在剩下的邊界方程中找出 的兩個常數值 ， ；不夠時由 解出，

， ，面積 =

方法二：

面積元素 = ，面積 =

第一步：在 邊界方程中解出 的兩個表達式 ， .

第二步：在剩下的邊界方程中找出 的兩個常數值 ， ；不夠時由 解出，

， ，面積 =

例1 求 ， 圍成的面積

解 ， ， ， 。當 時 ，于是

面積

例2 計算 圍成的面積

解 由 ， 得， ，當 時

面積= =18。

三、曲邊圖形的函數表達式是其他形式的情況

（一）在曲邊梯形 、 、 、 （ ）中，如果曲邊 的方程為參數方程為 ，

則其面積 = ，其中

例3 求 軸與擺線 ， 圍成的面積

解 面積

例4 星形線 （ ）圍成的面積.

解 面積

=

（二）極坐標系下計算平面圖形的面積

某些平面圖形，用極坐標計算它們的面積比較方便.用微元法計算：由極坐標方程 所表示的曲線與射線 所圍成的曲邊扇形面積.

以極角 為積分變量，積分區間為 ，在 上任取一小區間 ，與它相應的小曲邊扇形面積近似于以 為圓心角. 為半徑的圓扇形面積，從而得到面積元素

四、定積分在計算體積中的應用

（一）平行截面面積為已知的空間物體的體積

過 軸一點 作垂直于 軸的平面，該平面截空間物體的

截面面積為 ， ，則該物體的體積

例1 一空間物體的底面是長半軸 ，短半軸 的橢

圓，垂直于長半軸的截面都是等邊三角形，求此空間體的體積。

解 截面面積

（二）旋轉體體積

設一旋轉體是由曲線 與直線 、及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉而成（右圖）.現用微元法求它的體積.

在區間 上任取 ，對應于該小區間的小薄片體積近似于以 為半徑，以 為高的薄片圓柱體體積，從而得到體積元素為

從a到b積分，得旋轉體體積為 。

類似地，若旋轉體是由連續曲線 與直線 及y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉而成，則其體積為

例2擺線 與x軸圍成的圖形

1）繞 軸旋轉形成的旋轉體體積

=

2）繞 軸旋轉形成的旋轉體體積

=

3）繞 旋轉形成的旋轉體的截面面積 。

繞 旋轉形成的旋轉體體積

例3 求心形線 與射線 、 圍成的繞極軸旋轉形成的旋轉體體積

解 心形線的參數方程為 ， ，旋轉體體積

= =

注：從計算旋轉體體積的過程中可以看出：如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面的面積，那么，這個立體的體積也可以用定積分計。

如右圖所示，取上述定軸為x軸，并設該立體在過點x=a、x=b且垂直于x軸的兩個平面之間，以A（x）表示過點x且垂直于x軸的截面面積.A（x）為x的已知的連續函數.取x為積分變量，它的變化區間為 .立體中相應于 上任一小區間 的薄片的體積，近似于底面積為A（x）、高為dx的扁柱體的體積，即體積元素

于是所求立體的體積為 。

五、定積分在計算平面弧長中的應用長

設 為 面內的一條光滑曲線弧，函數 在 上有界，在 內任意地插入 點，

它把L分成n個小弧段，設第i個小段 的長度為 ， 為 上任取的一點，記 作和式

如果極限 存在，

這個極限值就叫做函數 在曲線弧 上對弧長的曲線積分，記作 。

亦即

其中： 叫做被積函數， 叫做積分弧段。

參數方程

極坐標

表中當 時， ， ， ， ，

弧微分 。

例1求擺線 的長

解 ， ， 。

弧長

例2擺線 上求分擺線第一拱成1：3的點的坐標

解 設A點滿足要求，此時 。根據例2擺線第一拱成弧長 ， 。由條件弧OA的長為 ，即 ， ，點A的坐標為

例3 求星形線 的全長

解 星形線的參數方程為 ， ，

， ，

.

弧長 。

例4 求對數螺線 上 到 的一段弧長

解 ，弧長 = =

結論：利用高等數學的一些思想、觀點、原理和方法，可以改變我們對一些問題的思維方式，拓展我們的解題思路，從本文可以看出，以前比較難解決的曲邊圖形的面積、不規則弧長，物體的體積等問題結合定積分的思想去解決時，常常能達到事半功倍的效果。

參考文獻：

[1]淺析積分在實際問題中的應用[J]. 王巖巖，劉偉. 大學教育. 2016（06）

[2]定積分的應用研究[J]. 辛春元. 佳木斯教育學院學報. 2010（05）

[3]定積分在幾何中的應用研究[J]. 范梅. 赤峰學院學報（自然科學版）. 2012（20）

[4]定積分公式及其應用[J]. 馬華，李廣民，張海琴. 高等數學研究. 2006（01）

[5]淺析高等數學教學難點定積分的應用[J]. 關璐. 現代計算機（專業版）. 2015（26）