經典邏輯系統中的隨機化再研究*

馬巧云，吳洪博

1.西安文理學院 信息工程學院，西安 710065

2.陜西師范大學 數學與信息科學學院，西安 710062

經典邏輯系統中的隨機化再研究*

馬巧云1+，吳洪博2

1.西安文理學院 信息工程學院，西安 710065

2.陜西師范大學 數學與信息科學學院，西安 710062

給出了經典命題邏輯系統中n元命題公式基于隨機數列和隨機映射的向量表示形式，利用命題公式的基于隨機數列的向量表示形式給出公式的D-隨機真度、公式間的D-隨機相似度和D-隨機偽距離的等價表示形式。說明了一個具體的n元經典命題公式的D-隨機真度最多只有22n種情況。利用命題公式間的D-隨機相似度和D-隨機偽距離的等價表示形式，給出了關于命題公式的D-隨機真度、命題公式間的D-隨機相似度和D-隨機偽距離的一些性質的新的證明。

經典命題邏輯系統；D-隨機真度；D-隨機相似度；D-隨機偽距離

1 引言

為了嘗試在人工智能和數值計算之間進行溝通，文獻[1-2]從邏輯概念程度化入手，建立了計量邏輯學理論，進而展開了基于邏輯系統中的基本單位——命題公式的程度化的研究和基于這種程度化思想的近似推理的研究[3-7]。但是計量邏輯學存在著缺少隨機性這樣的不足，文獻[8]利用自然數集N上的隨機數列而提出了公式的隨機真度的概念。這種基于隨機性的邏輯概念的程度化方法已經成為當前概率化人工智能研究的一個熱點問題[9-15]。文獻[15]利用經典命題邏輯中公式的賦值及賦值順序給出了公式的向量表示形式，利用向量表示形式給出公式的真度和公式間偽距離的定義，使得經典命題邏輯中公式的偽距離的討論得到簡化。

本文給出了經典命題邏輯系統中公式基于隨機數列D的向量表示形式，利用公式的向量表示形式給出公式的D-隨機真度、公式間的D-隨機相似度和D-隨機偽距離的等價表示形式。利用隨機相似度和隨機偽距離的等價表示形式，給出了關于隨機相似度和隨機偽距離的一些性質的新的證明。這些研究為深入了解邏輯空間的性質做了準備，也為后續的研究提供了一些方法和借鑒。

2 預備知識

定義1[1]設S={p1,p2,…}是可數集，?是一元運算，∨、→是二元運算，由S生成的(?,∨,→)型自由代數記作F(S)。F(S)中的元稱作合式公式，簡稱公式。S中的元稱作原子公式或原子命題。

定義2[1]設{0,1}為最簡布爾代數，其中?x=1-x，x→y=0當且僅當x=1,y=0。稱(?,→)型同態v:F(S)→{0,1}(v(?A)=?v(A),v(A→B)=v(A)→v(B))為 F(S)在{0,1}中的賦值，簡稱v為賦值。F(S)的全體賦值之集記為Ω。

定義3[8]設D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機數列，?α=(x1,x2,…,xn)∈{0,1}n，

這里，當xk=1時Qk=Pk；當xk=0時Qk=1-Pk(k=1,2,…,n)。則得一映射

稱φ為{0,1}n上的D-隨機化映射。

定義 4[8]設A=A(q1,q2,…,qn)∈F(S)，令 [A]=(1)，μ([A])=∑{φ(α):α∈(1)}，τD(A)=μ([A])，稱 τD(A)為A的D-隨機真度。

3 基于經典邏輯公式的向量表示的D-隨機真度

文獻[15]已說明總可以假定命題公式A、B含有相同多的原子公式。

設fA(x1,x2,…,xn):{0,1}n→{0,1}是由公式A誘導的Boole函數（其中fA(x1,x2,…,xn)中x1,x2,…,xn的連接方式與A(q1,q2,…,qn)中q1,q2,…,qn的連接方式完全相同）。令Σ={0,1}n,設?A(q1,q2,…,qn)∈F(S),B(q1,q2,…,qn)∈F(S),?α∈Σ，一定有：

將Σ中的2n個元按照字典順序依次記作α1,α2,…,α2n。對于具體的n元公式A(q1,q2,…,qn)，使fA(x1,x2,…,xn)=1的α是確定的，不妨依次記作αi1,αi2,…,αik，其 中i1,i2,…,ik∈{1,2,…,2n}，令Σ1={αi1,αi2,…,αik}。同樣，使fA(x1,x2,…,xn)=0 的 α 也是確定的，依次記作 αj1,αj2,…,αjl，其中j1,j2,…,jl∈{1,2,…,2n}，令Σ0={αj1,αj2,…,αjl}。顯然，k+l=2n。

定義5設D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機數列，φ為{0,1}n到{0,1}的D-隨機化映射，令

稱VecDA、VecD分別為公式A基于隨機數列D的1-值向量和0-值向量。

定義 6設A(q1,q2,…,qn)∈F(S)，VecDA=(b1,b2,…,bk)，VecD=(c1,c2,…,cl)分別為公式A基于隨機數列D的1-值向量和0-值向量，令

稱τD(A)為A的D-隨機真度。

顯然，定義6與文獻[8]中的D-隨機真度的定義是一致的。并且當k＞l時，用第二個式子計算是比較容易的。

命題1設A(q1,q2,…,qn)∈F(S)，VecDA=(b1,b2,…,bk)，VecD=(c1,c2,…,cl)分別為公式A基于隨機數列D的1-值向量和0-值向量，則：

證明由定義6可直接得到。

命題2設A(q1,q2,…,qn)∈F(S)，D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機數列，則：

證明（1）、（2）、（3）可由定義直接得到。證明略。

命題 3設A(q1,q2,…,qn),B(q1,q2,…,qn)，C(q1,q2,…,qn)∈F(S),D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機數列，α,β∈[0,1]。

命題4設D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機數列。對于n元命題公式集Fn={A(q1,q2,…,qn):A∈F(S)}中的公式A來說，A的D-隨機真度最多只有22n種。

證明設A(q1,q2,…,qn)∈Fn，fA(x1,x2,…,xn)∈F(S)是公式A對應的n元Boole函數。

若[A]=Φ，τD(A)只有=1種情況；

若[A]={αi}，τD(A)最多有種情況；

若[A]={αi,αj}，τD(A)最多有種情況；

…

若 [A]={α1,α2,…,α2n}，τD(A)最多有種情況。

綜上可知，n元命題公式A的D-真度τD(A)最多只有種不同的情況。

4 公式的相似度和公式間的偽距離

定義7[8]設D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機數列，A,B∈F(S)，令

稱ξD(A,B)為公式A與B的D-相似度。

命題5設A,B∈Fn，fA(x1,x2,…,xn)∈F(S),fB(x1,x2,…,xn)∈F(S)分別是公式A、B對應的n元Boole函數，則：

證明因為 ξD(A,B)=τD((A→B)∧(B→A))=∑{φ(α):f(A→B)∧(B→A)(α)=1}，而

所以 ξD(A,B)=∑{φ(αi):fA(αi)=fB(αi)}。

命題6[8]設D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機數列，A,B,C∈F(S)，則：

根據命題5給出命題6不同于文獻[8]的證明。

證明（1）設fA(x1,x2,…,xn)，fB(x1,x2,…,xn)分別是公式A、B對應的n元Boole函數，A≈B當且僅當?α∈Σ,fA(α)=fB(α)，當且僅當 ξD(A,B)=∑{φ(αi):fA(αi)=fB(αi)}=1。

定義8[8]設D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機數列，A,B∈F(S)，令

稱 ρD(A,B)是F(S)上的偽距離，稱為公式A與B的D-邏輯偽距離，稱(F(S),ρD)為D-邏輯度量空間。

命題7設A,B∈Fn,fA(x1,x2,…,xn)∈F(S),fB(x1,x2,…,xn)∈F(S)分別是公式A、B對應的n元Boole函數，則：

證明因為 ρD(A,B)=1-ξD(A,B)=1-∑{φ(αi):fA(αi)=fB(αi)}，而∑{φ(αi)=1:αi∈Σ},則：

命題8在偽距離空間(F(S),ρD)中，以下結論成立：

證明略。

命題9設A(q1,q2,…,qn),B(q1,q2,…,qn),C(q1,q2,…,qn)∈F(S)，D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機數列，則：

ρD(A→C,B→D)≤ρD(A,B)+ρD(C,D)

證明因為 ρD(A,B)=1-ξD(A,B)，所以只需證

由命題9，可以證明邏輯連接詞→在(F(S),ρD)中連續[8]。

命題10在偽距離空間(F(S),ρD)中，以下結論成立：

5 結束語

本文利用經典命題邏輯中公式的賦值及賦值順序給出了公式的基于隨機數列D的向量表示形式，利用命題公式的向量表示形式給出公式的D-隨機真度的等價定義；同時給出了基于隨機數列D-公式間的D-隨機相似度和D-隨機偽距離的等價定義，證明了這種定義與文獻[8]中的定義等價。說明了一個具體的n元經典命題公式的D-隨機真度最多只有22n種情況。本文還得到了公式間的D-隨機真度、D-隨機相似度和D-隨機偽距離的一些簡單性質，根據這些性質，可以證明在隨機偽距離空間(F(S),ρD)中，邏輯連接詞都是連續的。因為這種定義與文獻[8]中的定義等價，所以在經典命題邏輯中利用隨機偽距離進行近似推理的研究與文獻[8]的結論是一致的，在此不用列出。關于在多值命題邏輯系統中是否存在與本文類似的隨機真度和隨機偽距離的定義，將另文進行討論。

References:

[1]Wang Guojun.Introduction to mathematical logic and resolution principle[M].2nd ed.Beijing:Science in China Press,2006.

[2]Wang Guojun.Quantitative logic(I)[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2006,23(2):191-215.

[3]Wang Guojun,Song Jianshe.Graded method in propositional logic[J].Acta Electronic Sinica,2006,34(2):252-257.

[4]Cui Meihua.The integral truth degree and pseudo-distance of formulas in the fuzzy logic system[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2010,27(5):873-882.

[5]Li Bijing,Wang Guojun.Logic pseudo-metric spaces of regular implication operators[J].Acta Electronic Sinica,2010,38(3):497-502.

[6]Han Banghe,Li Yongming.Approximate reasoning in quantitative logic[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2010,24(5):1-7.

[7]Zhou Jianren,Wu Hongbo.An equivalent definition and some properties of truth degrees in Lukasiewicz proposition logic system[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2013,30(4):580-590.

[8]Hui Xiaojing,Wang Guojun.Randomization of classical inference patterns and its application[J].Science in China:Series E,2007,37(6):801-812.

[9]Hui Xiaojing,Wang Guojun.Randomization of classical inference patterns and its application(Ⅱ)[J].Fuzzy systems and Mathematics,2008,22(3):21-26.

[10]Cui Meihua.The D-conditional truth degree of formulas and approximate reasoning in theG3propositional logic system[J].Journal of Shandong University:Natural Science Edition,2010,45(11):52-58.

[11]Hui Xiaojing,Chang Jian.Some remarks on the randomized truth degree[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2009,23(6):38-43.

[12]Lou Yan,Feng Feiyan,Zuo Weibing.Conditional randomized truth degree of formulas in Lukasiewicz n-valued propositional logic[J].Computer Engineering and Applications,2012,48(33):63-67.

[13]Zuo Weibing.The conditional randomized truth degree of formulas in the fuzzy logic systemL?[J].Journal of Shandong University:Natural Science Edition,2012,47(6):121-126.

[14]Hui Xiaojing.Randomization ofR03-valued propositional logic system[J].Acta Mathematicae Applicate Sinica,2009,32(1):19-27.

[15]Ma Qiaoyun,Wu Hongbo.An equivalent definition about truth degree of formula and pseudo-metric among formulas in classical logic system[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2013,27(1):28-33.

附中文參考文獻：

[1]王國俊.數理邏輯引論與歸結原理[M].2版.北京:科學出版社,2006.

[2]王國俊.計量邏輯學(Ⅰ)[J].工程數學學報,2006,23(2):191-215.

[3]王國俊,宋建社.命題邏輯中的程度化方法[J].電子學報,2006,34(2):252-257.

[4]崔美華.模糊邏輯系統中公式的積分真度和偽距離[J].工程數學學報,2010,27(5):873-882.

[5]李璧鏡,王國俊.正則蘊含算子所對應的邏輯偽度量空間[J].電子學報,2010,38(3):497-502.

[6]韓邦合,李永明.計量邏輯學中的近似推理[J].模糊系統與數學,2010,24(5):1-7.

[7]周建仁,吳洪博.?ukasiewicz命題邏輯系統中真度的等價定義及其相關性質[J].工程數學學報,2013,30(4):580-590.

[8]惠小靜,王國俊.經典推理模式的隨機化研究及其應用[J].中國科學:E輯,2007,37(6):801-812.

[9]惠曉靜,王國俊.經典推理模式的隨機化研究及其應用(II)[J].模糊系統與數學,2008,22(3):21-26.

[10]崔美華.邏輯系統G3中命題的D-條件真度與近似推理[J].山東大學學報:理學版,2010,45(11):52-58.

[11]惠曉靜,常健.關于隨機真度的若干注記[J].模糊系統與數學,2009,23(6):38-43.

[12]婁妍,馮飛?,左衛兵.Lukasiewiczn值命題邏輯中公式的條件隨機真度[J].計算機工程與應用,2012,48(33):63-67.

[13]左衛兵.模糊命題邏輯L?中公式的條件隨機真度[J].山東大學學報:理學版,2012,47(6):121-126.

[14]惠小靜.三值R0命題邏輯系統的隨機化[J].應用數學學報,2009,32(1):19-27.

[15]馬巧云,吳洪博.經典邏輯系統中公式的真度及公式間偽距離的一種等價定義[J].模糊系統與數學,2013,27(1):28-33.

WU Hongbo was born in 1959.He received the Ph.D.degree from Sichuan University in 2001.Now he is a professor and Ph.D.supervisor at Shaanxi Normal University.His research interests include topology on lattice and nonclassical logic.吳洪博（1959—），男，陜西咸陽人，2001年于四川大學獲得理學博士學位，現為陜西師范大學數學與信息科學學院教授、博士生導師，主要研究領域為格上拓撲學，非經典數理邏輯。

CNKI推出《中國高被引圖書年報》

日前，中國知網（CNKI）中國科學文獻計量評價研究中心推出了一套《中國高被引圖書年報》，該報告基于中國大陸建國以來出版的422萬余本圖書被近3年國內期刊、博碩、會議論文的引用頻次，分學科、分時段遴選高被引優秀學術圖書予以發布。據研制方介紹，他們統計并分析了2013—2015年中國學術期刊813萬余篇、中國博碩士學位論文101萬余篇、中國重要會議論文39萬余篇，累計引文達1 451萬條。根據統計數據，422萬本圖書至少被引1次的圖書達72萬本。研制方根據中國圖書館分類法，將72萬本圖書劃分為105個學科，分1949—2009年和2010—2014年兩個時間段，分別遴選被引最高的TOP10％圖書，共計選出70 911本優秀圖書收入《中國高被引圖書年報》。統計數據顯示，這7萬本高被引優秀圖書雖然只占全部圖書的1.68％，卻獲得

67.4％的總被引頻次，可見這些圖書質量上乘，在同類圖書中發揮了更加重要的作用。該報告還首次發布各學科“學科h指數”排名前20的出版單位的評價指標，對客觀評價出版社的社會效益——特別是學術出版物的社會效益具有重要的參考價值。

該報告從圖書被引用的角度出發，評價圖書的學術影響力，彌補了以銷量和借閱等指標無法準確評價學術圖書的缺憾，科學、客觀地評價了圖書、圖書作者以及出版單位對各學科發展的貢獻。

《中國高被引圖書年報》把建國以來出版圖書全部納入評價范圍屬國內首創，是全面、客觀評價圖書學術影響力的工具，填補了目前圖書學術水平定量評價的空白，在幫助圖書館建設特色館藏和提高服務水平、幫助出版管理部門了解我國學術出版物現狀、幫助科研機構科研管理、幫助讀者購買和閱讀圖書等方面，均具有較強的參考價值，也為出版社評估出版業績、決策再版圖書、策劃學科選題提供有用的信息。

《中國高被引圖書年報》由《中國學術期刊（光盤版）》電子雜志社有限公司出版。該產品的形式為光盤電子出版物，分為理學、工學、農學、醫學、人文科學和社會科學6個分卷，隨盤贈送圖書，歡迎您咨詢、訂購。

咨詢電話：010-82710850,82895056轉8599;E-mail：aspt@cnki.net

Restudy on Randomization of Classical Logic System*

MAQiaoyun1+,WU Hongbo2
1.College of Information Engineering,Xi’an University,Xi’an 710065,China
2.College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China
+Corresponding author:E-mail:231687227@qq.com

MA Qiaoyun,WU Hongbo.Restudy on randomization of classical logic system.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(8)：1354-1360.

This paper gives the vector representation of n-ary formula in classical propositional logic system based on random sequence and random mapping,defines the D-randomized truth degree of formulas and D-randomized similarity degree and D-randomized pseudo-metric among formulas based on the vector representation of formula,and explains that the definitions of truth degree and D-randomized pseudo-metric are equivalent to the original probability definition.Then,this paper proves that the D-randomized truth degree of n-ary formula is not more than22ncases.Finally,some simple properties of pseudo-metric among formulas are obtained based on the equivalent representation of D-randomized similarity degree and D-randomized pseudo-metric among formulas.

classical propositional logic system;D-randomized truth degree;D-randomized similarity degree;D-randomized pseudo-metric

n was born in 1973.She

the M.S.degree in mathematics from Shaanxi Normal University in 2007.Now she is an associate professor at Xi’an University.Her research interest is non-classical logic. 馬巧云（1973—），女，陜西咸陽人，2007年于陜西師范大學獲得碩士學位，現為西安文理學院副教授，主要研究領域為非經典邏輯。

A

：O141

*The National Natural Science Foundation of China under Grant No.61572016(國家自然科學基金);the Science and Technology Planning Project of Xi'an under Grant No.2016CXYWL23(西安科技計劃項目).

Received 2017-01,Accepted 2017-04.

CNKI網絡優先出版:2017-04-13,http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20170413.1027.002.html

ISSN 1673-9418 CODEN JKYTA8

Journal of Frontiers of Computer Science and Technology 1673-9418/2017/11(08)-1354-07

10.3778/j.issn.1673-9418.1701001

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