格值信息系統的知識分辨度與信息熵*

張曉燕，史德容，魏 玲

1.西北大學 數學學院，西安 710127

2.重慶理工大學 數學與統計學院，重慶 400054

格值信息系統的知識分辨度與信息熵*

張曉燕1,2，史德容2，魏 玲1+

1.西北大學 數學學院，西安 710127

2.重慶理工大學 數學與統計學院，重慶 400054

格值信息系統；知識分辨度；信息熵；知識顆粒

1 格值信息系統

1.1 預備知識

粗糙集理論[1-2]是近年發展起來的一種處理不精確性、不確定性和模糊知識的軟計算工具，已經在人工智能、故障檢測、數據挖掘、醫療診斷、股票數據分析、模式識別、智能信息處理等領域得到了普遍的應用。經典粗糙集是以完備信息系統[3]為研究對象，以等價關系（滿足自反性、對稱性、傳遞性）為基礎，通過等價關系將論域分成互不相交的等價類，劃分越細，知識越豐富，信息越充分。

粗糙集模型[4]中的知識表達是通過信息系統[5]被認知的。相當于一個關系表，信息系統是一個反映對象與屬性之間關系的數據表。實際上，信息系統就是一個三元數組(U,A,F)，其中U是有限非空的對象集；A是有限非空的屬性集；F是一個從對象到屬性的映射。

在經典的信息系統中，屬性值域是單一的實數域。隨著粗糙集理論的發展，又提出了集值信息系統，即屬性值都是集合。接著對屬性值域為模糊集的信息系統進行了研究。這些信息系統的屬性值域都是單一的，而在某些現實問題中，可能出現某些屬性值是實數值，有些是集合值或區間值等[6]。因此，就順勢提出了背景最為廣泛的格值信息系統[5,7-8]。在此信息系統中若有多個優勢關系[9-10]（知識）生成的多個優勢類（知識顆粒），可用優勢關系的粗細來敘說。而一個細優勢關系生成的知識顆粒比一個粗優勢關系生成的知識顆粒小，此時知識分辨能力強。基于此，本文把知識分辨度與信息熵[11-16]引進到格值信息系統中，通過研究發現，知識的分辨度越大表明知識的分辨能力越強，知識的分辨度越小表明知識的分辨能力越弱，而信息熵有著與之一致的結論。

1.2 格值信息系統相關定義

格值信息系統是一種知識表達系統，它區別于經典的知識表達系統，格值信息系統的屬性取值域均是格值的。下面介紹格值信息系統的相關概念。

定義1[5]稱一個四元數組L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，若U={x1,x2,…,xn}為對象集，A={a1,a2,…,am}為屬性集，V=Va，Va是條件屬性a的值域，是具有最大元1和最小元0的有限格，≥表示Va上的偏序關系；F={f:U→V}為對象屬性值映射，也稱信息函數，有f(xi,a)∈Va,?a∈A。

注：本文以偏序關系為基礎得到一種新的關系——優勢關系。

設L≥=(U,A,V,F)是一個格值信息系統，對于任意屬性子集B?A，給出二元關系：

為xi關于條件屬性集A的偏序類。

2 格值信息系統的知識分辨度

序信息系統[10]中知識的粒度可以反映知識的分辨能力，知識的粒度越大表明知識的分辨能力越弱，知識的粒度越小表明知識的分辨能力越強。同樣的，本文通過知識的粒度來研究格值信息系統中知識的分辨能力，首先介紹知識粒度的相關概念，然后再引入知識分辨度的定義。

定義2[16]設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥為L≥上的優勢關系，記：

稱 GK(R≥)為知識R≥的粒度。

定義3設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥為L≥上的優勢關系，記：

稱Dis(R≥)為知識R≥的分辨度。

定理1（粗糙不變性）設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥、S≥為L≥上的優勢關系。若|U/R≥|=|U/S≥|，且存在一一對應h:U/R≥→U/S≥，使得則 Dis(R≥)=Dis(S≥)。

證明由知識粒度的粗糙不變性可知GK(R≥)=GK(S≥)，再由定義3直接獲證。

推論1設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥、S≥為 L≥上的優勢關系。若R≥=S≥，則 Dis(R≥)=Dis(S≥)。

定理2（單調性）設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥、S≥為 L≥上的優勢關系。若R≥≤S≥，則Dis(R≥)≥Dis(S≥)。

證明由于R≥≤S≥，故對任意的x∈U，有，于是有：

即 Dis(R≥)≥Dis(S≥)。

推論2設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥、S≥為 L≥上的優勢關系。若R≥＜S≥，則Dis(R≥)＞Dis(S≥)。

推論3設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥、S≥為 L≥上的優勢關系。若R≥≤S≥，且 Dis(R≥)=Dis(S≥)，則R≥=S≥。

定理2、推論2和推論3說明，分辨度隨著知識顆粒的變大、分類的變粗而單調減小，或者隨知識顆粒的變小、分類的變細而單調增加。

證明由于，故有：

定理4（最小值）設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥為 L≥上的優勢關系。若R≥=δ≥，則知識R≥的分辨度達到最小值0。

證明由于，故有：

即 Dis(δ≥)=0。

定理5設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥為L≥上的優勢關系，則知識R≥的分辨度滿足：

證明由定理3、定理4直接可得。

定理6（細化性）設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥為 L≥上的優勢關系。若R′≥是將U/R≥中的某個知識顆粒細化成兩個知識顆粒后形成的新的優勢關系，且U/R′≥中其他知識顆粒與U/R≥中相同，則有Dis(R′≥)≥Dis(R≥)。

證明設U/R≥中的某個知識顆粒分解成兩個知識顆粒（不妨設i＜j），其中，且，于是：

即 Dis(R′≥)≥Dis(R≥)。

推論4設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥為L≥上的優勢關系，且R′≥是將U/R≥中的某個知識顆粒分解形成的新的優勢關系，若R′≥≤R≥，則Dis(R′≥)≥Dis(R≥)。

定理7（粗化性）設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥為 L≥上的優勢關系，若R″≥是將U/R≥中的某兩個知識顆粒粗化成一個知識粒度后形成的新的優勢關系，且U/R″≥中其他知識顆粒與U/R≥中的相同，則有 Dis(R≥)≥Dis(R″≥)。

證明設U/R≥中的某兩個知識顆粒合成一個知識顆粒（不妨設i,j＜k），其中，于是：

即 Dis(R≥)≥Dis(R″≥)。

推論5設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥為L≥上的優勢關系，且R″≥是將U/R≥中的知識顆粒合并形成的新的優勢關系，若R≥≤R″≥，則 Dis(R≥)≥Dis(R″≥)。

由上面結論可知知識顆粒的細化和粗化對知識分辨度的大小有很大的影響。隨著知識顆粒的細化，知識分辨度變大，當每個知識顆粒中只有一個元素時，知識分辨度達到最大值，此時的知識是最精確的，而隨著知識顆粒的粗化，知識分辨度將逐漸變小，當只有一個知識顆粒即論域本身時，知識分辨度達到最小值，此時的知識是最粗糙的。因此在實際問題中要盡可能細化知識顆粒來獲得精確的認識，通過粗化知識顆粒使問題簡單化。

3 格值信息系統的知識信息熵

本文在粗糙集理論中利用集合的補定義了一種新的熵，用這種方法給出了格值信息系統的信息熵，并對其性質進行了討論。

定義4設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥為L≥上的優勢關系，記：

稱E(R≥)為知識R≥的信息熵。

定理8設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥為L≥上的優勢關系，則R≥的信息熵E(R≥)與知識粒度GK(R≥)之間的關系為：

證明R≥為L≥上的優勢關系，且粒度分類為，由定義4可得：

即E(R≥)+GK(R≥)=1。

推論6設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥為L≥上的優勢關系，則R≥的信息熵E(R≥)與知識分辨度Dis(R≥)之間的關系為：

推論7設L≥=(U,A,V,F)為格值信息系統，R≥、S≥為L≥上的優勢關系，則R≥的信息熵滿足：

（1）（粗糙不變性）若|U/R≥|=|U/S≥|，且存在一一對應h:U/R≥→U/S≥，使得，則E(R≥)=E(S≥)。

（2）（單調性）若R≥≤S≥，則E(R≥)≥E(S≥)。

（3）（有界性和最值性）信息熵E(R≥)滿足：

（4）（細化性）若R′≥是將U/R≥中的某個知識顆粒細化成兩個知識顆粒后形成的新的優勢關系，且U/R′≥中其他知識顆粒與 U/R≥中相同，則有E(R′≥)≥E(R≥)。

（5）（粗化性）若R″≥是將U/R≥中的某兩個知識顆粒粗化成一個知識粒度后形成的新的優勢關系，且U/R″≥中其他知識顆粒與U/R≥中的相同，則有E(R≥)≥E(R″≥)。

4 實例分析

Table1 Alattice-valued information system表1 給定格值信息系統

表中U={xi|i=1,2,…,6}是對象集，A={a1,a2,a3}是屬性集，并且該格值信息系統是基于優勢關系R≥的，其中：

對比分辨度和信息熵的計算結果可知：

由這個實例證實了分辨度與知識粒度，信息熵與知識粒度，分辨度與信息熵的關系，而且知識的分辨度與信息熵是相同的，因此它們都可以用來反映格值信息系統中知識的顆粒和分類程度，分辨度與信息熵則從側面反映了格值信息系統中知識顆粒對知識的影響。

5 結束語

生產生活中許多信息系統是基于優勢關系建立起來的。梁吉業等人成功地建立了經典粗糙集下信息系統的熵理論。本文把知識分辨度、知識信息熵引入到格值信息系統中，研究了它們各自的性質，并討論了它們之間的關系，證明了二者隨著知識顆粒的細化而單調增加，粗化而單調減小的結論，而且知識的分辨度與信息熵是相同的。進一步用具體的實例驗證了知識分辨度和信息熵的性質和關系，保證了其準確性。

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SHI Derong was born in 1991.She is an M.S.candidate at Chongqing University of Technology.Her research interest is the mathematical foundation of artificial intelligence.史德容（1991—），女，重慶人，重慶理工大學碩士研究生，主要研究領域為人工智能的數學基礎。

WEI Ling was born in 1972.She is a professor and Ph.D.supervisor at Northwest University.Her research interests include concept lattice and rough set,etc.魏玲（1972—），女，陜西西安人，博士，西北大學教授、博士生導師，主要研究領域為概念格，粗糙集等。

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Knowledge Resolution and Information Entropy in Lattice-Valued Information Systems*

ZHANG Xiaoyan1,2,SHI Derong2,WEI Ling1+
1.School of Mathematics,Northwest University,Xi'an 710127,China
2.School of Mathematics and Statistics,Chongqing University of Technology,Chongqing 400054,China
+Corresponding author:E-mail:wl@nwu.edu.cn

ZHANG Xiaoyan,SHI Derong,WEI Ling.Knowledge resolution and information entropy in lattice-valued information systems.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(8)：1340-1346.

In dealing with practical issues,it is generally possible to obtain accurate understanding through the refinement of knowledge particles.On the contrary,the problem can be simplified by coarse knowledge particles.This paper introduces the concepts of knowledge resolution and information entropy to study the resolution ability of knowledge in lattice-valued information systems.By some properties,it can be proved that both of them gradually become lager with the refinement of knowledge particles,smaller with the coarsening of knowledge particles.An instance result shows that the knowledge resolution and information entropy are greater,the ability of knowledge resolution is stronger.Furthermore,the relationship between knowledge resolution and information entropy,which can be used to reflect the particles of knowledge and the degree of classification in lattice-valued information systems,states that they are the same.In addition,the influence of knowledge particles on knowledge is reflected from the side.These conclusions provide theoretical basis for the knowledge discovery of lattice-valued information systems.

lattice-valued information system;knowledge resolution;information entropy;knowledge particles

2016-05,Accepted 2016-08.

A

：TP18

*The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos.61472463,61402064(國家自然科學基金);the Graduate Innovation Foundation of Chongqing University of Technology under Grant No.YCX2015227(重慶理工大學研究生創新基金).

CNKI網絡優先出版:2016-08-01,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160801.1406.006.html

ISSN 1673-9418 CODEN JKYTA8

Journal of Frontiers of Computer Science and Technology 1673-9418/2017/11(08)-1340-07

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摘 要：在處理實際問題時，一般會盡可能通過細化知識顆粒獲得精確的認識，相反地，經過粗化知識顆粒來使問題得以簡單化。在格值信息系統中引入知識分辨度和信息熵的概念來研究知識的分辨能力。通過研究它們的有關性質，證明了二者隨著知識顆粒的細化逐漸變大，粗化而逐漸變小的結論。通過對實例的研究得到知識的分辨度和信息熵越大表明知識的分辨能力越強，知識的分辨度和信息熵越小表明知識的分辨能力越弱。進一步通過它們之間的關系發現知識的分辨度與信息熵是相同的，因此它們都可以用來反映格值信息系統中知識的顆粒和分類程度，都從側面反映了格值信息系統中知識顆粒對知識的影響。這些結論為格值信息系統的知識發現奠定了一定的理論基礎。