試論高中物理解題中量子霍爾效應的運用

吳飛

摘 要：量子霍爾效應是高中物理選修課程中的一個研究性學習內容，雖然屬于選修性內容，但它在解決帶電粒子在磁場中運動的相關問題時應用十分廣泛。通過對量子霍爾效應的內涵進行分析，指出了量子霍爾效應在高中物理解題中應用的條件，最后通過實例對量子霍爾效應的具體應用進行分析，為高中物理的學習提供借鑒與參考。

關鍵詞：高中物理；量子霍爾效應；解題運用

霍爾效應是新課標人教版高中物理教材選修的一個研究性教學內容，在教材中出現過兩次，要求學生在實驗中，通過研究性學習發現電子運動的規律。這體現了新課標的教學理念，也增強了學生對現代科技與生產實際相聯系的理解，激發了學生學習物理的興趣與愛好。霍爾效應在生活與物理解題中具有十分廣泛的應用，通過量子霍爾效應與物理解題相結合，能提高學生的學習興趣，還能加深學生對量子霍爾效應實驗的理解。

一、量子霍爾效應分析

量子霍爾效應屬于高中物理知識中的選學內容，但是在物理解題中應用比較廣泛，學生通過對量子霍爾效應進行分析，有利于培養物理學習的興趣，提高分析復雜帶電粒子在電場中運動問題的能力，進而加強對量子霍爾效應的理解。根據經典霍爾效應理論的內涵，可以知道霍爾電阻RH的變化應隨磁場B呈現出連

續變化的狀態，并且隨著電路中的載流子濃度n的變化而變化，并且隨著n的增大而減小。但是，在1980年，克利青在實驗研究中發現，在1.5 K極低溫度和18.9 T強磁場的實驗環境下進行霍爾實驗，通過實驗測量分析，發現金屬-氧化物-半導體場效應晶體管中進行霍爾實驗，霍爾電阻呈現出新的規律，他發現當霍爾電阻RH隨磁場的變化而變化時，反應的結果出現了h一系列量子化的變化平臺，即RH=Ne2的計算方法，其中h為普朗克常量，e為反應中的電子電量，N為正整數，并將反應中的這種現象稱為整數量子霍爾效應（IQHE），也是量子霍爾效應。在該反應式中，QHE的概念可以簡單理解為在磁場的環境中，帶電粒子在磁場中運動，在一定的條件下，處在強磁場中的二維帶電運動粒子，其霍爾電阻的電導率張量利用公式表示如下：

？滓=0■■0 （1）

在上面的公式（1）中，其中i是自然整數，也就是說在量子霍爾反應中，電磁場中的電流密度i嚴格地與電場E垂直，且電路中的電流值是量子化處理后的。

從上面的計算公式中可以看出，當電場Ex=0時，可以得到：

jx=？滓xyEy，jy=0 （2）

通過對上面的公式（2）進行分析計算，可以得到以下公式：

j=？滓HE=■E （3）

從上面的分析可以看出，量子霍爾效應主要應用于帶電粒子在電場中運動的相關問題解決中，當電磁場中的電流密度i嚴格地與電場E垂直，且RH=Ne2中N為正整數時，可以采用量子霍爾效應解決此類問題。

二、量子霍爾效應在高中物理解題中的應用分析

量子霍爾效應涉及的知識面比較廣泛，對粒子在電場中運動的分析具有重要意義，但由于高中生的知識有限，對量子霍爾效應的講解不能太深入。但是，課本及輔導書的習題也涉及了量子霍爾效應的問題，主要是圍繞經典霍爾效應的知識點進行設計和解答的。因此，為了培養學生物理知識的學習興趣，老師需要給學生滲透一些量子霍爾理論知識，拓展學生的知識面，激發學生的學習興趣，這對學生高中物理知識的學習具有十分重要的作用，可以通過一些問題實例提高學生對量子霍爾理論的理解。

例1.運用電磁流量計對導電液體的電量進行測量，電磁流量計的截面為正方形的非磁性管，具體如圖1所示，它的每邊邊長為d，導電液體在電磁流量計內流動，在垂直液體流動方向上施加了一個勻強磁場，磁場的方向指向紙內，電磁感應的強度為B，電磁流量計測得導電液體a、b兩點間的電勢差為U，試對管內導電液體的流量Q進行分析。

■

解析：導電液體經磁場時會產生電磁感應，在洛侖茲力的作用下，通過電磁流量計的正離子向下偏轉，負離子向上偏轉，使得電磁流量計的管內電壓發生變化，在管內液體的上表面積累負電荷，下表面積累正電荷，這樣在電磁流量計的管內產生一個方向豎直向上的電場，進而形成一個相互垂直的電場和磁場的復合場（滿足量子霍爾效應的基本條件），共同作用于進入電磁流量計管內的電子，使得進入這個復合場的正、負離子不僅受洛侖茲力，同時還受與洛侖茲力相反方向的電場力作用。在正、負電子不斷向電磁流量計表面累積的過程中，電場力不斷發生變化，當電場力與洛侖茲力達到平衡時，進入電磁流量計管內的離子勻速通過管子，不再發生偏轉而做直線運動，此時a、b兩點間的電勢差U保持恒定。

解：通過上面對電子整個運動過程的分析可以得出，當a、b間保持恒定電勢差U時應滿足電場力與洛侖茲力相等。因此，可以得到：q·■=qvB，

這樣就可以求出電磁流量計內導電液體的流速：

v=■

因此，我們可以求出導電液體的流量：

Q=v·d2=■

從上面的分析可以看出，電磁流量計中的電流密度Q嚴格地與電場E垂直時，說明滿足量子霍爾效應，這樣我們在解題中就可以運用量子霍爾效應的相關理論進行解題，不僅有利于學生對量子霍爾效應的理解，還能提高學生解決問題的能力。

例2.在原子反應堆的實驗中，當抽動液態金屬等導電液時，為了保證反應的嚴密性，不允許傳動機械部分與這些反應堆中的流體相接觸，常使用一種電磁泵與傳動機械部分相連，如圖2所示的這種電磁泵的結構。將導管置于磁場S中，當電流I穿過電磁泵的導電液體時，這種導電液體即被驅動，就會產生運動，如果導管的內截面積為a×h，電磁泵磁場區域的寬度為L，電磁泵的磁感強度為B，如果液態金屬穿過磁場區域的電流為I，試分析驅動電流所產生的壓強差應該是多少。

■

圖2 原子反應堆的電磁泵

解析：本題設置的物理情景如下：當電流通過金屬液體，并沿著圖3所示的豎直方向向上流動時，電流將會受到磁場力的作用，而且電流方向與磁場力的方向垂直（符合量子霍爾效應的要求），電流將受到磁場的作用力，而磁場力的方向可以采用左手定則的方法進行判斷。這個磁場力即為驅動液態金屬流動的動力，我們就可以根據量子霍爾效應對其產生的壓強差進行求解。

■

圖3 例2的等價示意圖

解：根據上面的分析可以得出，由于驅動力而使金屬液體沿電流流動方向運動，并在管壁的兩側產生壓強差？駐P，根據量子霍爾效應，可以得出電場力為：F=BIh，而？駐P=■，這樣通過聯立這兩個公式求解，就可以得出電流流過時所產生的壓強差的計算方法為：？駐P=■。

從上面的例題分析可以看出，在應用量子霍爾效應時需要滿足它的基本條件：首先，電流運動的方向與電磁場的方向垂直；其次，從經典霍爾效應到量子霍爾效應之間應該是整數倍的關系。在解題的過程中，只要滿足這兩個條件，我們就可以考慮使用量子霍爾效應分析問題中的信息。

例3.有一個厚度為h、寬度為d的均勻厚度的導體板，將其放在與它垂直的、磁感應強度為B的勻強磁場中，如圖4所示，當電流通過導體板時，試分析導體板的上側面A和下側面A'之間

電勢差的情況。

■

圖4

解析：由題意可知，導體板在一個均勻的磁場中通過導電電流，在外部磁場的洛侖茲力的作用下，運動的電子聚集在導體板的一側，在導體板的另一側就會聚集正電荷，這樣在導體板之間就會形成一個橫向的電場，電場對電子施以靜電力，靜電力的方向與洛倫茲力的方向相反，當靜電力與洛侖茲力達到平衡時，電子在磁場內做勻速直線運動，在導體板的上下就會形成一個穩定的電勢差。

解：電子在運動的過程中受到的電場力與洛倫茲力相等，使

得電子達到平衡，做勻速運動，可以得出：■=evB，而導體板中的電流I的大小為：I=nev（dh），這樣聯立這兩個公式，就可以求出導體板上側面A和下側面A'的電勢差為：U=■=■=KnevdB，其中K為霍爾系數，K=■，進而求得導體板的電勢

為：U=dvB。

從上面的分析可以看出，量子霍爾效應是一種發現、研究和應用都很廣泛的磁電效應，能有效解決高中物理中的一些問題，

特別是帶電粒子與磁場力的方向垂直運動的情況。從經典霍爾效應到整數量子霍爾效應再到分數量子霍爾效應，都在科技中得到了廣泛的應用，而量子霍爾效應在物理探究性教學與學習中也具有十分廣泛的用途。隨著新的研究方法的應用，量子霍爾實驗的元器件也比較容易獲得，使得量子霍爾效應的實驗也變得比較容易，這樣學生可以通過量子霍爾實驗進行研究性學習，從而能方便地理解量子霍爾實驗，也能更好地將量子霍爾效應應用于解決物理問題中。

參考文獻：

[1]馮劍盛.霍爾效應及其相關效應與高中物理教學[J].物理教師，2011（7）.

[2]余麗容.開展“霍爾效應”研究性學習破解高中物理學習難點[J].學園，2012（4）.

[3]于世新.霍爾效應及其相關效應與高中物理教學[J].物理教學，2013（4）.

[4]張會云.霍爾效應的發展及應用[J].紡織高校基礎科學學報，2012（1）.

[5]陳元軍.談霍爾效應及其運用[J].考試周刊，2011（9）.