柔性圓柱渦激振動流體力系數識別及其特性1)

徐萬海馬燁璇 羅浩 欒英森

(天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室,天津300072)

流體力學

柔性圓柱渦激振動流體力系數識別及其特性1)

徐萬海2)馬燁璇 羅浩 欒英森

(天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室,天津300072)

渦激振動是誘發海洋立管、浮式平臺系泊纜和海底懸跨管道等柔性圓柱結構疲勞損傷的重要因素.目前，海洋工程中用于柔性圓柱渦激振動預報的流體力系數主要來源剛性圓柱橫流向受迫振動的實驗數據，存在一定缺陷和誤差.本文綜合考慮橫流向與順流向振動耦合作用，建立了柔性圓柱渦激振動流體力模型，運用有限元法和最小二乘法確定升力系數、脈動阻力系數和附加質量系數.為了準確識別柔性圓柱渦激振動流體力系數，設計并開展了拖曳水池模型實驗，實驗用柔性圓柱模型的質量比為1.82，長徑比為195.5.通過與剛性圓柱流體力系數對比，深入分析了柔性圓柱流體力系數的特性.結果表明：柔性圓柱在一階模態控制區，流體力系數隨約化速度變化趨勢與剛性圓柱大致相似；二階模態控制區，升力系數和脈動阻力系數顯著增大；附加質量系數在響應頻率較低時與振動位移的相關性增強；當響應頻率較低時，振動位移較大區域為能量耗散區，當響應頻率較高時，振動位移較大區域為能量輸入區.

柔性圓柱，渦激振動，升力系數，阻力系數，附加質量系數

引言

海流流經海洋立管與浮式平臺系泊纜等柔性圓柱結構時，會出現交替的漩渦脫落，誘使結構在平行于來流方向(順流向，in-line，IL)和垂直于來流方向(橫流向，cross-fl w，CF)發生振動，結構振動又反作用于流場，這種典型的流--固耦合現象常被稱為“渦激振動(vortex-induced vibration，VIV)”.渦激振動是引起海洋細長柔性結構疲勞損傷的重要因素，長期以來已得到人們廣泛關注[14].目前，海洋工程中柔性圓柱VIV計算主要依靠VIVA和SHEAR7等經驗模型，利用剛性圓柱受迫振動實驗中獲取的流體力，預報結構響應.Chaplin等[5]根據柔性圓柱渦激振動實驗結果對多種經驗模型(VIVA,VIVANA,VICoMo,SHEAR7和ABAVIV)進行校核發現,模型預報結果與實驗存在一定誤差.Jauvtis和W illiamson[6]的研究表明：小質量比圓柱結構順流向VIV會對橫流向產生顯著影響，CF與IL之間的振動耦合效應不可忽視.Wu等[7]研究了柔性圓柱VIV橫流向與順流向的耦合機制發現,流體力系數受CF和IL位移之間相位影響.此外，剛性圓柱VIV發生時，結構不產生變形，不同截面位置的流體力大致相同，而柔性圓柱長徑比(長度與直徑的比值)較大，漩渦脫落形式和流體力沿軸向不規則變化，VIV具有典型的三維特征，流體力空間分布仍有待進一步研究.這也是現階段VIV預報模型誤差的主要來源之一.

關于圓柱VIV流體力特性，國內外已開展部分研究工作.Gopalkrishnan[8]通過剛性圓柱橫流向受迫振動實驗，測量VIV流體力，繪制平均阻力系數、附加質量系數和升力系數云圖發現,升力系數與振動位移和響應頻率密切相關.附加質量系數與響應頻率相關性很強，與振動位移相關性較弱.Aronsen[9]測量了剛性圓柱純順流向受迫振動的流體力，繪制了IL脈動阻力系數、附加質量系數云圖.Wu[10]根據VIV實驗獲得的振動位移數據，分別采用有限元法、狀態空間法和直接反分析法計算圓柱結構的流體力.Huarte和Bearman[11]開展了階梯來流條件下柔性圓柱VIV實驗，采用有限元法計算平均阻力系數發現,平均阻力系數與CF位移同時達到峰值.Song等[12]采用直接積分的方式計算了長徑比為263的柔性圓柱VIV流體力發現,升力系數和脈動阻力系數不僅與響應頻率和位移有關，還與CF和IL振動之間的相位有關，相關規律與剛性圓柱受迫振動實驗存在較大差異.

關于VIV流體力的研究中大多忽略了CF和IL之間的相互作用.基于此方面的不足，本文建立了柔性圓柱渦激振動流體力模型，考慮CF與IL方向的耦合，通過開展室內模型實驗，測量柔性圓柱VIV的彎曲應變，運用模態分析法重構位移信息，計算結構CF和IL方向的流體力，并深入探討柔性圓柱VIV流體力系數特性.

1 理論分析

1.1 流體力識別公式

由于圓柱的相對運動，阻力FD和升力FL與順流向(x軸)及橫流向(y軸)并不完全一致[13]，而是存在如圖1所示的夾角θ，其中U為來流速度，順流向和橫流向流體力Fx和Fy可表示為

圖1 圓柱截面受力示意圖Fig.1 Diagram of forceson a cylinder cross-section

其中,Cax和Cay代表順流向和橫流向的附加質量系數，ρ為流體密度，D為圓柱直徑分別對應IL與CF方向的位移、速度及加速度.由于圓柱結構兩個方向的運動速度˙y和˙x遠遠小于來流速度U，即合速度可簡化為根據分別為升力系數和阻力系數)，進一步化簡式(1)和式(2).由于VIV具有自激勵自限制特性，響應位移較小，IL和CF方向的振動可舍去2，等非線性項，IL方程中包含的項與CF方程中含有的項亦可忽略[1516]，于是

柔性圓柱結構振動采用歐拉--伯努利梁模型

其中,EI為結構彎曲剛度，T為軸向力，Cx和Cy為IL和CF方向的結構阻尼，m為結構單位長度質量，x′′與y′′,x′′′′與y′′′′分別為順流向與橫流向位移(x和y)對軸向坐標z的二階與四階偏導數.x和y可由實驗測量的應變或加速度間接獲得，,,,可根據振動位移計算.

阻力系數CD可寫成CD=CD0+D，CD0為拖曳平衡位置對應的阻力系數即平均阻力系數，D為脈動阻力系數[12,15].IL位移x可表示為x=x0+，x0為IL平均位移，為IL脈動位移.式(5)可進一步化簡為

IL平均拖曳力使柔性圓柱產生平均位移x0，由式(7)可得

上式用來確定平均阻力系數CD0.對于IL脈動位移，由式(7)可知

對于CF方向，式(6)可化簡為

需要指出的是，在式(11)和式(12)的推導過程中，考慮了平均阻力項系數影響.

柔性圓柱渦激振動控制方程(5)和式(6)可轉化為如下有限元形式

式中，M為質量矩陣，C為結構阻尼矩陣，KE為結構彎曲剛度矩陣，KP為由軸向力產生的剛度矩陣.結構阻尼矩陣C采用瑞利阻尼形式，即

α和β為常系數

式中，ωk與ξk,ωj與ξj分別為k與j階模態的圓頻率和阻尼比，可通過空氣中自由衰減測試獲得.

用fx表示IL方向與加速度同相位的附加質量力和與速度同相位的脈動阻力的合力，fy表示CF方向附加質量力和升力(與速度同相位的項)的合力，

由于平均阻力系數CD0已知，因此fx和fy可根據式(19)和式(20)獲得

采用最小二乘法計算升力系數、脈動阻力系數和附加質量系數，具體推導過程參見Aronsen[9]和Song等[12]的研究工作

其中

1.2 模態分解法

模態分解法是柔性圓柱結構VIV實驗數據處理常用的一種方法[1618]，假定結構振動位移能夠表達成一系列固有模態線性疊加，根據不同離散點的應變信息，可求得結構的位移信息.本文運用模態分解法將柔性圓柱VIV實驗中得到的應變轉化為位移.分別對CF和IL方向的位移進行模態分解.為簡化起見，僅以CF位移為例.IL位移確定與CF方向類似，不再贅述.結構位移可寫為

其中,z為軸向坐標，t為時間，wn(t)為權重系數，n為結構的模態階次，S為確定結構位移所需的模態數目，φn(z)為模態函數，兩端簡支邊界條件的φn(z)可表示為

曲率與應變具有如下關系

式中，ε為測量獲得的應變，R為結構半徑，L為結構長度.振動位移可采用S個模態疊加表示

其中,M為應變片的測點數目，采用最小二乘法獲得模態權重系數

將式(28)中的權重系數結果代入式(21)，即可重構結構位移信息.

2 實驗設計

為了驗證上述流體力系數識別方法正確性與合理性，在天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室,利用長為137.0m，寬為7.0m，深為3.3m拖曳水池開展室內模型實驗.圖2為實驗裝置示意圖.

柔性圓柱模型內層為鋼管，鋼管表面等間距布置5個測點，從左至右依次標記為G1,G2,G3,G4和G5，每個測點設置兩組應變片，分別測量CF和IL方向的應變信息，鋼管外側附有熱塑管，保護測量導線和應變片，并保證模型外部光滑.實際海洋工程中，海洋立管與浮式平臺系泊纜等柔性圓柱結構質量比常介于1.0與10.0之間[6]，甚至低于3.0[19].結構的長徑比一般較大，通常超過100[20].根據現有的實驗條件，為了盡可能模擬實際海洋工程中柔性圓柱結構的VIV，最終制作了質量比為1.82，長徑比為195.5的柔性圓柱模型.表1為主要模型參數.圓柱一端通過萬向聯軸節固定于如圖2所示的實驗裝置，另一端通過鋼絲繩連接彈簧、張緊器和張力傳感器，通過調整張緊器改變軸向力，張力傳感器用來實時記錄模型軸向力變化.模型兩端設置導流板，消除端部邊界效應，整個鋼架固定在拖曳水池上方拖車，圓柱模型置于拖曳水池自由表面1.0m深處，拖車勻速拖動圓柱模型模擬均勻來流條件.拖車速度范圍為0.20～1.00m/s，間隔為0.10m/s.本實驗的雷諾數Re介于4000和20000之間.采樣頻率為50Hz，采樣持續時間為40s.

圖2 實驗布置示意圖Fig.2 Schematic of theexperimentalset-up

表1 圓柱模型參數Table1 Physicalproperty for the cylindermodel in experiment

分別在空氣中和靜水中開展自由衰減實驗，測量不同軸向力工況下圓柱模型順流向和橫流向固有頻率f1,如表2所示.

3 結果分析

3.1 升力系數和阻力系數

圖3和圖4為柔性圓柱CF和IL振動位移均方根隨約化速度(Vr=U/f1D)的變化情況.可以看出，CF振動在5.0＜Vr＜10.0時激發一階模態，Vr＞15.0時激發二階模態.IL振動激發一階模態時對應5.0＜Vr＜10.0，二階模態對應Vr＞10.0.圖5和圖6為升力系數和脈動阻力系數隨Vr變化規律.可以看出，升力系數和脈動阻力系數分別與CF和IL位移保持相同變化趨勢，在一階模態控制區，先增大后減小；進入二階模態控制區，升力系數和脈動阻力系數急劇增大.激發二階模態時的響應位移與一階模態的響應位移處于相同水平，但升力系數和脈動阻力系數卻顯著增大，原因是升力系數和脈動阻力系數不僅與位移有關，而且與響應頻率密切相關.實驗中一階模態的控制頻率約為2.5Hz，而二階模態的控制頻率遠遠高于一階模態，約為8.5Hz.

表2 圓柱模型靜水中固有頻率Table 2 Natural frequency of the cylindermodel in stillwater

圖3 橫流向最大位移均方根隨約化速度變化規律Fig.3 Max RMSCF dimensionlessdisplacementvs reduced velocity

圖4 順流向最大位移均方根隨約化速度變化規律Fig.4 Max RMS IL dimensionless displacementvs reduced velocity

圖5 升力系數隨約化速度變化規律Fig.5 Liftcoe ffi cientvs reduced velocity

圖6脈動阻力系數隨約化速度變化規律Fig.6 Varying drag coe ffi cientvs reduced velocity

圖7 對比了Gopalkrishnan[8],Sarpkaya等[21]及Moe和Wu[22]的升力系數.需要指出上述實驗數據是通過剛性圓柱受迫振動實驗(受迫振動位移為y/D=0.5)獲得.剛性圓柱的升力系數在VrSt(St為斯特羅哈數，St=fsD/U，fs為漩渦脫落頻率)約為0.98時獲得最大值.本文柔性圓柱VIV實驗中的St=0.17，升力系數在Vr=6.3時取得最大值，此時的VrSt=1.07與剛性圓柱較接近.關于圓柱順流向VIV流體力系數的研究較少，已有的研究大多集中在1.0＜Vr＜4.0的純順流向VIV區域.Vr＞4.0時CF和IL的振動同時激發，柔性圓柱的脈動阻力系數隨Vr的變化趨勢與升力系數相同，同樣在Vr=6.3時取得極大值.由圖5和圖7可發現,與剛性圓柱相比，柔性圓柱的升力系數和脈動阻力系數值均偏大，原因可能為：(1)柔性圓柱長徑比較大，VIV具有三維特性；(2)小質量比結構VIV橫流向與順流向之間的相互作用顯著，剛性圓柱的流體力系數大多來自橫流向受迫振動實驗，忽略了兩個方向耦合.

圖7剛性圓柱升力系數Fig.7 Liftcoe ffi cientof rigid cylinders

圖8 為平均阻力系數隨Vr變化規律.柔性圓柱平均阻力系數位于0.0與3.0之間，整體均值1.72，大于靜止圓柱水中的平均阻力系數1.2.一階模態控制區內，平均阻力系數先增大后減小，Vr=7.8時獲得峰值2.68，進入二階模態控制區，平均阻力系數逐步增大，最大可達2.98.Jauvtis和Williamson[6]開展了剛性圓柱兩自由度自由振動實驗，平均阻力系數整體位于0.5與3.0之間，在Vr=7.5時取得最大值3.0.而Huarte和Bearman[11]的柔性圓柱VIV實驗平均阻力系數位于1.0與4.0之間，在Vr=6.3的一階模態控制區內取得極大值.進入二階模態控制區，平均阻力系數先升高后降低，一階與二階模態控制區平均阻力系數最大值接近.由此可見，柔性圓柱平均阻力系數在一階模態控制區與剛性圓柱的變化趨勢基本相同，并位于同一量級.在二階模態控制區，柔性圓柱平均阻力系數隨Vr的變化與一階模態控制區相似，本文的平均阻力系數在二階模態控制區僅表現為升高部分，原因是本實驗的來流速度最高為1.0m/s，預計來流速度繼續增大,平均阻力系數將呈現下降趨勢.

圖8 平均阻力系數隨約化速度變化規律Fig.8 Mean drag coe ffi cientvs reduced velocity

3.2 附加質量系數

圖9和圖10為柔性圓柱CF與IL附加質量系數隨Vr變化規律.在一階模態控制區，CF與IL的附加質量系數隨Vr升高而降低.附加質量系數可改變結構的實際固有頻率，其降低表明結構的固有頻率隨Vr升高，從而使結構維持“鎖定”狀態.Golpalkrishnan[8],Sarpkaya[23]，Vikestad等[24]和Chung[25]開展的剛性圓柱實驗僅為一階模態，CF附加質量系數隨Vr升高而降低，變化趨勢與柔性圓柱一階控制模態時大致類似，附加質量系數最終降至-0.4～-0.8之間，如圖11所示.柔性圓柱CF附加質量系數亦會降為負值，最小值為-0.44.在模態轉化區域，柔性圓柱CF附加質量系數隨Vr變化較為激烈，導致結構固有頻率變化較大，進而誘發結構振動產生了激烈的模態競爭.在二階模態控制區，柔性圓柱附加質量系數表現平穩，CF附加質量系數趨于1.3，IL附加質量系數趨于0.8.

圖9 橫流向附加質量系數隨約化速度變化規律Fig.9 Addedmass coe ffi cientin CFdirection vs reduced velocity

圖10 順流向附加質量系數隨約化速度變化規律Fig.10 Addedmasscoe ffi cientin IL direction vs reduced velocity

Khalak等[26]、Govardhan等[27]的研究表明：剛性圓柱在“鎖定”狀態中，CF附加質量系數最終將趨于“-0.54±0.02”.Sarpkaya[23]證明了CF附加質量系數對振動位移的變化很敏感，對于剛性圓柱受迫振動，振動位移不同,附加質量系數也不相同，如圖11所示.柔性圓柱CF和IL附加質量系數在進入二階模態控制區后趨于平穩，在此之前隨Vr變化激烈.因此，柔性圓柱在響應頻率較低時，附加質量系數和振動位移均具有一定的相關性，隨著響應頻率升高,進入二階模態控制區附加質量系數與振動位移的相關性逐漸減弱.

根據附加質量系數計算結果和實驗中測量得到的軸向力確定了VIV發生時圓柱的振動頻率.圖12和圖13為CF與IL振動頻率(fCF和fIL)的測量值與計算結果對比.其中縱軸為頻率與靜水中一階固有頻率f1的比值.在一階和二階模態控制區的“鎖定”狀態下，實驗結果與計算結果吻合較好.

圖11 剛性圓柱橫流向附加質量系數Fig.11 Addedmass coe ffi cientsof rigid cylinders in CF direction

圖12 橫流向振動頻率Fig.12 Response frequency in CF direction

圖13 順流向振動頻率Fig.13 Response frequency in IL direction

3.3 流體力軸向分布

以軸向力T=100N，約化速度Vr=6.3和16.8為例，繪制柔性圓柱一階和二階模態被激發時，振動位移均方根、升力系數和附加質量系數的軸向分布圖，如圖14和圖15所示.可以看出，一階模態時，升力系數在橫流向位移最大處為負值，表明為限制振動位移的不斷增大，升力起到了振動阻尼的作用，能量由結構轉移到流體中，位移較大的區域為結構的能量耗散區，該現象亦證明了VIV的自限制特性.Wu等[2829]和Song等[12,30]獲得的升力系數分布也具有類似特點.如圖15所示，二階模態下，橫流向振動位移較大處，升力系數亦較大，即柔性圓柱在位移較大的區域能量仍由流體轉移到結構，這部分區域仍為能量輸入區.產生這一現象的原因在于二階模態下，結構響應頻率偏高，為維持此時的振動狀態，流體向結構繼續輸入能量，響應頻率較高時能量耗散區將轉變為能量輸入區.Wu等[28]計算發現，在某些位移較大區域升力系數亦較大，這些區域仍為能量輸入區.脈動阻力系數的軸向分布與升力系數呈現相同特點.

由圖14和圖15中附加質量系數的軸向分布可看出，一階模態下，附加質量系數沿軸向變化劇烈，而二階模態下附加質量系數沿軸向變化趨于緩和.原因可能是，附加質量系數不僅與響應頻率有關，還與振動位移有關.一階模態時響應頻率較低，此時附加質量系數與振動位移的相關性強，附加質量系數變化幅度大；二階模態時響應頻率較高，附加質量系數與振動位移的相關性變弱，附加質量系數變化幅度小.二階模態下，振動位移的節點處，附加質量系數產生突變.一階模態下，柔性圓柱兩端點的附加質量系數較大，情形類似于二階模態下位移節點處的突變，柔性圓柱端點處的位移為零，可看作位移的節點.Song等[12,30]的附加質量系數軸向分布也出現了位移節點突變的現象.IL附加質量系數空間分布與CF附加質量系數呈現類似規律.

圖14 橫流向位移、升力和附加質量系數軸向分布圖(Vr=6.3)Fig.14 CFdisplacement,liftand addedmass coe ffi cientsalong cylinder axisw ith Vr=6.3

圖15 橫流向位移、升力和附加質量系數軸向分布圖(Vr=16.8)Fig.15 CFdisplacement,liftand addedmass coe ffi cientsalong cylinder axisw ith Vr=16.8

圖16 橫流向流體力云圖(Vr=6.3)Fig.16 Contour of flui forces in CFdirectionw ith Vr=6.3

圖17橫流向流體力云圖(Vr=16.8)Fig.17 Contourof flui forces in CF directionw ith Vr=16.8

圖16 和圖17為柔性圓柱一階模態和二階模態時CF流體力合力云圖.CF流體力隨時間均呈現穩定的周期性變化，但沿軸向不均勻分布，流體力的軸向變化與圖14和圖15中對應升力系數類似.一階模態控制區，G2,G3和G4測點處的流體力較大,而二階模態控制區，僅G2和G4測點處流體力較大.二階模態被激發時，流體力的頻率和數值遠高于一階模態對應的情況.IL流體力合力小于CF流體力，但空間分布與CF流體力呈現相近特點.

4 結論

本文建立了考慮橫流向和順流向耦合作用的柔性圓柱VIV流體力模型，采用最小二乘法分解流體力為升力系數、脈動阻力系數和附加質量系數，研究了柔性圓柱流體力系數特性，并與剛性圓柱流體力變化規律進行了對比，得到如下結論：

(1)柔性圓柱升力系數和脈動阻力系數與剛性圓柱變化趨勢相同.但在二階模態控制區，柔性圓柱升力系數和脈動阻力系數顯著增大.

(2)柔性圓柱在一階模態控制區，附加質量系數隨約化速度變化與剛性圓柱具有相同趨勢.附加質量系數與響應頻率和振動位移有關.低響應頻率時，附加質量系數與位移相關性強，較高響應頻率時，相關性減弱.在“鎖定”區域，根據附加質量系數計算的圓柱固有頻率與實驗測量值吻合較好.

(3)柔性圓柱流體力系數沿軸向分布存在不均勻的特點.響應頻率較低時，振動位移較大區域為能量耗散區，隨著響應頻率升高，振動位移較大區域仍有可能為能量輸入區.

本文的研究工作完善了柔性圓柱VIV流體力計算理論體系，研究成果可為海洋工程中細長圓柱結構的設計提供必要理論支持.然而，本文研究僅限于來流與圓柱結構軸向垂直的特殊情形.實際工程中，特別是海洋工程中的懸鏈線立管和海洋浮式結構系泊纜線等結構軸向與來流并不垂直，存在一定傾斜角度，導致軸向二次流的存在，可見傾斜圓柱VIV相比于垂直圓柱更為復雜.因此，下一步擬定根據傾斜圓柱VIV實驗，分析更為一般的傾斜圓柱VIV流體力特性.

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IDENTIFICATION AND CHARACTERISTICSOFHYDRODYNAM IC COEFFICIENTS FOR A FLEXIBLECYLINDER UNDERGOING VORTEX-INDUCED VIBRATION1)

XuWanhai2)Ma Yexuan Luo Hao Luan Yingsen
(State Key Laboratory ofHydraulic Engineering Simulation and Safety，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

Vortex-induced vibrations(VIV)may cause serious fatigue damage on fl xible cylinder structures,such as marine risers,mooring linesof floatin platform and free spanning pipelines.Nowadays,in ocean engineering application,the hydrodynam ic coe ffi cients,used to predict the VIV of fl xible cylinders,aremainly acquired from the forced oscillationsof rigid cylinders in cross-fl w,whichmay account for the unexpected errors.Taking the coupling between cross-fl w(CF)and in-line(IL)vibrations into account,a flui forcemodel is proposed in this paper.Lift,impulse drag and addedmass coe ffi cients are obtained by the finit elementmethod and least squaremethod.A series of experimental tests of a fl xible cylinderw ith amass ratio of 1.82 and an aspect ratio of 195.5 are conducted in a tow ing tank to investigate thehydrodynam ic coe ffi cientson the fl xible cylinderundergoing VIV.Comparing to thehydrodynam ic characteristicsof rigid cylinders,thoseofa fl xible cylinderare furtherstudied.Under the first-orde mode,thehydrodynam ic coe ffi cientsof a fl xible cylinder share the same variation w ith those of rigid cylinders.A remarkable grow th on liftand impulsedrag coe ffi cientsisobserved under thesecond-ordermode.Theaddedmasscoe ffi cientsarestrongly related to thedisplacementas the frequency is low.The large displacement region is the energy dissipation regionw ith low frequency.While,the large displacement regionmay turn into theenergy input regionw ith high frequency.

fl xible cylinder,vortex-induced vibration,liftcoe ffi cient,drag coe ffi cient,addedmass coe ffi cient

TV312

A

10.6052/0459-1879-16-263

2016-09-19收稿，2017-05-11錄用,2016-05-15網絡版發表.

1)國家自然科學基金(51379144,51479135,51579175,51679167)，國家自然科學基金創新研究群體科學基金(51621092)和國家重點基礎研究計劃(973計劃)(2014CB046801)資助項目.

2)徐萬海,副教授，主要研究方向：流--固耦合.E-mail：xuwanhai@tju.edu.cn

徐萬海,馬燁璇,羅浩,欒英森.柔性圓柱渦激振動流體力系數識別及其特性.力學學報,2017,49(4)：818-827

XuWanhai,Ma Yexuan,Luo Hao,Luan Yingsen.Identificatio and characteristicsof hydrodynam ic coe ffi cients for a fl xible cylinder undergoing vortex-induced vibration.Chinese JournalofTheoreticaland Applied Mechanics,2017,49(4)：818-827