高中新生函數變量意識培養初探

段錄平

函數是高中數學學科體系中最基本、最重要的概念之一，函數是中學數學的重點知識，包含的內容非常廣泛，它的概念和思想滲透高中數學教學的各個方面.學生學習函數知識最主要的是樹立函數觀點，并自覺養成用函數的觀點和方法解決各類相關的復雜問題的習慣.

高中數學注重數學思維品質的培養，注重數學思維邏輯的建立，強調學生要善于從具體到抽象的概括歸納與總結，注重培養學生學習數學中的“變式思想”“數形結合思想”“形變等價思想”“化歸趨同思想”等數學思想與方法.

函數觀點下的變量意識形成不易

在初中函數是這樣定義的：如果在某變化過程中有兩個變量x與y，并且對變量x在某個范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那么y就是x的函數，變量x叫自變量，y叫因變量.

高中在學習了映射以后，用映射對函數進行了新定義：設A、B是兩個非空數集，在對應法則f下，對于自變量x在集合A內的任意一個值，在集合B中都有唯一元素y與之對應，且集合B中任意一個元素在集合A中都有原象與之對應，那么在這條件下的映射稱之為函數.并且，如果y是x的函數，特記為y=f（x），f是對應法則，x是自變量.并且集合A稱作函數的定義域，設值域為M，則MB.

（1）

（2）

（3）

（1）是映射不是函數，（2）（3）既是映射又是函數.

從函數的兩種定義知道，構成一個函數必有三要素：定義域、對應法則和值域.通過函數概念在不同歷史時期的演變及發展史不難發現：

一、函數自變量的相對獨立性

例1函數f（2x）的定義域是[-1，1]，求函數f（log2x）的定義域.

分析在這里，函數定義域是指獨立自變量x的范圍是-1≤x≤1，故12≤2x≤2，從而f（x）的定義域是12，2，而我們所要求的函數f（log2x）的定義域顯然既不是[-1，1]，也不是12，2，而應根據f（x）中x∈12，2得x∈[2，4].從而求解得x∈12，2.

在這里2x與log2x中的變量x其意義是不一樣；二是2x與log2x在f作用下的取值范圍是相同的.又如，

例2已知函數f（x-2）=x2-3x+5，求f（2）的值.

分析這里f（2）=f（4-2），即x=4.從而f（2）=f（4-2）=42-3×4+5=9.在這里充分注意到自變量的獨立性，從而避免了通過想辦法求解f（x）的解析式這一繁雜的過程.用同樣方法不難求解下面的題目.

二、函數自變量的整體性

函數自變量在具有獨立性的同時，有時往往又具有待定的整體性.

例3已知f（x2-4）=lgx2x2-8，求函數的定義域.

分析f（x2-4）與f（x）是兩個不同的函數，如果通過求解x2x2-8>0，得x>22或x<-22，所得范圍是f（x2-4）的定義域而非f（x）的定義域，但是x2-4與x在f作用下的地位是相同的，本質屬性是一樣的，我們將x2-4視作一個整體，不難得到f（x2-4）=lg（x2-4）+4（x2-4）-4，故f（x）=lgx+4x-4.從此也就不難求得f（x）的定義域是（-∞，-4）∪（4，+∞）.

例4已知f（x）=2x+1-2x，求f（x）的值域.

分析解本題關鍵在于找到函數解析式的內在聯系，不難發現f（x）=-（1-2x）+1+2x+1，不妨將1-2x視為一個整體，如，設

t=1-2x≥0，則原函數變為y=-t2+t+1（t≥0），問題也就迎刃而解了.這里x為變量，從而1-2x也為變量，1-2x也為變量，將1-2x視作一個新的變量t=1-2x≥0.由此可見，變量的整體性認識與處理，有時往往可事半功倍.

三、函數自變量的制約性

函數值是受自變量與對應法則制約的.定義域是函數值存在的首要條件，在構建函數模型、研究函數性質、求解函數值域時，需時時注意函數的定義域，這一點中學生容易忽略.如，函數f（x）=2x，x∈R與函數f（x）=2x，x∈Z，由于其定義域不同，它們的值域也不同，第一個函數的值域是實數集，而第二個函數的值域是偶數集.又如，函數g（x）=x2，x∈R與函數g（x）=x2，x∈（-∞，0），這里第一個函數不具有反函數，而第二個函數有反函數；再如，求函數f（x）=sin2x+sinx+cosx的值域時，有學生按下面方求解：

解|sin2x|≤1，|sinx|≤1，|cosx|≤1，

∴-3≤sin2x+sinx+cosx≤3，

∴原函數的值域是y∈[-3，3].

這顯然是一個錯誤的求解過程，錯誤的原因在于學生在思考問題的時候忽視了變量的制約性.其實在本題中，不難發現sin2x與sinx+cosx之間的緊密聯系：（sinx+cosx）2=1+sin2x.正確解法如下：

解設t=sinx+cosx，則|t|≤2，

∴y=t2+t-1=t+122-54，

∴y∈-54，1+2.

變量意識下的函數觀點，是通過函數的形式、方法對問題加以研究，充分利用函數的性質，如，函數的圖像與單調性、奇偶性等性質，從而使問題獲得突破與解決，達到解題目的.

一、函數變量的轉換

例5a∈[-1，1]，函數f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值總大于零，求x的取值范圍.

分析對函數f（x），這里“a”是參變量，“x”是自變量.直接對二次函數f（x）進行處理，困難不小，也找不到解決問題的辦法，無從下手.不妨進行自變量轉換，將“a”轉化為自變量，“x”為常量，令g（a）=（x-2）a+（x2-4x+4），a∈[-1，1]，這樣就得到一個以“x”為參變量，“a”為自變量的一次型函數，要符合題意條件，則可利用一次函數的單調性，只需g（-1）>0，且g（1）>0，這樣就可不難求得x的正確取值范圍是x<1或x>3.

二、建構函數的思想

例6已知a，b，c∈R且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：ab+bc+ca>-1.

分析原不等式等價于ab+bc+ca+1>0，也即（b+c）a+（bc+1）>0，因為這里a∈（-1，1），這是一個很重要的信息條件，利用好這個信息條件是解決本問題的關鍵.如果有變量意識，構建一個以“a”為自變量的函數，令這個函數f（a）=（b+c）a+（bc+1），符合題意條件不外乎下面兩種情形：

（1）若b+c=0，則f（a）=bc+1，由|bc|<100；

（2）若b+c≠0，由于一次函數的單調性，只需滿足f（-1）>0且f（1）>0即可，

因f（-1）=（-b-c）+1+bc=（b-1）（c-1）>0，同理f（1）>0.

∴f（a）在|a|<1時，必有f（a）>0.從而問題得證.

三、變量自身的函數特征

分析變量自身函數特征，能夠抓住問題的主要方面，防止在認知上出現偏差.

例7已知函數y=lg（mx2-4x+m-3）的值域是全體實數，求實數m的取值范圍.

分析對函數y=lgax的值域是R，其定義域為（0，+∞），這一點學生深信不疑，但在其具體的解題過程中，普遍學生是這樣做的：

解設t=mx2-4x+m-3>0……①，要使原函數的值域為R，須不等式①滿足m>0且Δ<0，從而得解為m>4.引導學生把函數t=mx2-4x+m-3（m>0），且Δ<0的圖形畫出來

（如右圖所示），如這里函數t=mx2-4x+m-3（m>0）有最小值t0，這里t的范圍是t∈[t0，+∞），無法保證t∈（0，+∞），學生一目了然，終于明白了自己認識上的錯誤.這里mx2-4x+m-3是一個函數，正確解法如下：

解設t=mx2-4x+m-3，當m=0時，t=-4x-3，t∈（-∞，+∞），而（0，+∞）（-∞，+∞），符合題意；當m>0時，Δ≥0即可得0

函數觀點下對變量意識的培養，深刻揭示了函數與變量的內在聯系.變量特征是函數的本質特征，努力培養學生的函數變量意識和變量意識下的函數思想，是全面掌握函數知識的有效手段之一.

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