數學建模思想在解高考數學題中的應用探究

歐陽群壯

【摘要】數學建模是“普通高中數學課程標準修訂”提出來的六大數學核心素養之一，近幾年高考數學試題非常重視數學建模思想的考查，本文以高考數學真題為載體，從函數等五大數學模型的應用進行探究.

【關鍵詞】數學建模高考數學題；探究

《普通高中數學課程標準（修訂）》提出我國中學生在數學學習中，應培養好六大核心素養，數學建模就是其中的六大數學核心素養之一，它是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，把現實世界的原型問題進行數學抽象與提煉，用數字、符號或圖形表格等建立數學模型，繼而應用數學工具、方法求出數學模型的解，進而還原為實際問題的解，并與原型問題進行對照修改、深化、擴展，再尋求更優化的解答.近幾年高考相當重視數學建模思想的考查，下面以高考數學題為載體進行探究.

一、函數模型

挖掘數學應用問題的隱含條件，建立目標函數，把問題轉化為函數模型求解.

例1（2016年四川卷）某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發資金投入.若該公司2015年全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是（）.

（參考數據：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）

A.2018年

B.2019年

C.2020年

D.2021年

解析設2015年后的第n年，該公司全年投入的研發資金為y，由題意有y=130（1+12%）n，又y>200，得1.12n>2013，兩邊取對數，得n>lg2-lg1.3lg1.12≈195，所以n≥4，選B.

點評：本題是指數函數模型在實際生活中的應用，考查了在實際問題中提取數量關系、建立數學模型，在不等式的求解過程中，考查了數據處理和運算求解能力.

二、線性規劃模型

線性規劃是輔助人們進行科學管理的一種數學方法，在經濟管理、交通運輸、工農業生產等經濟活動中有著廣泛的應用.在高考數學試題中，有關線性規劃的應用與求解是熱點與難點，主要有遷移線性規劃思想求函數的最值問題、通過二元一次不等式組表示的平面區域來確定實際問題的最優解等數學模型.

例2（2016年全國Ⅰ卷）某高科技企業生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料.生產一件產品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時，生產一件產品A的利潤為2 100元，生產一件產品B的利潤為900元.該企業現有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為多少元？

解析設生產產品A，產品B分別為x，y件，利潤之和為z元，那么，

1.5x+0.5y≤150，x+0.3y≤90，5x+3y≤600，x≥0，x∈N+，y≥0，y∈N+.

目標函數為z=2 100x+900y.作出二元一次不等式組的平面區域（如圖所示），即可行域為圖中的陰影部分，包括邊界內的整數點，圖中陰影四邊形的頂點坐標分別為（60，100），（0，200），（0，0），（90，0），當直線z=2 100x+900y經過點（60，100）時，z取得最大值216 000元.

點評：試題以工業生產中的現實問題為載體，考查線性規劃最優解的模型，側重數學建模、分析解決問題和運算求解能力的考查，對數形結合思想和方法要求較高.

三、排列組合模型

排列組合應用問題蘊含著許多豐富的數學思想和方法.其因內容的抽象、思維的獨特、解題方法的特殊性而成為高考數學科命題的一個熱點和考點，若能認真理解題意，抽象出其中的數量關系，構建“排位置”“投球入盒”“抓球”“填格子”等幾種數學模型來求解，則可簡捷、巧妙地解決.

例3（2013年全國卷）6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有種.（用數字作答）

解析本題屬有條件的“排位置”模型，可用直接法或間接法求解.

思路1：先排甲、乙共有10A22=20（種）排法，再排其余的4個人，有A44=24（種）排法，據分步法原理，可知所求共有20×24=480（種）.

思路2：用間接法.6個人排成一行的排法總數為A66=720（種），其中甲、乙兩人相鄰的排法數為2A55=240（種），所以6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有720-240=480（種）.

點評：試題以生活中的真實情境為素材，考查考生運用分類加法計數原理和分步乘法計數原理，解決實際問題的能力，在運算過程中應合理應用排列組合公式優化運算，引導考生關心身邊的數學問題、發展數學應用意識.

四、立體幾何模型

新課程標準明確指出教師可借助幾何模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系基礎上，抽象出空間線、面的位置關系的定義，并了解可以作為推理依據的公理和定理.在高考中常考的模型有柱體、錐體和臺體，因此，教師應靈活運用模型化，處理立體幾何知識及生活中與幾何圖形有關的應用問題，幫助學生找到解題突破口，把問題化難為易.

例4（2015年全國Ⅱ卷）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（）.

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

解析因為米堆為一個圓錐的四分之一，由米堆底部的弧長為8尺，可知圓錐底面圓的四分之一圓周長為8尺，從而可得米堆的底面半徑R=16π尺.又圓錐的高為5尺，可算得米堆的體積為V=3203π立方尺，所以可估算出米堆約有22斛，選擇B.

點評：試題以《九章算術》中的問題為背景，傳承了中國文化，考查了考生的應用意識和數學建模思想.根據米堆形狀和所給條件，建立立體幾何模型，計算出堆放米的體積，著重考查考生空間想象、邏輯推理、運算、應用和估算能力，體現了新一輪高中課程改革的要求.

五、概率統計模型

在近幾年的全國和各省市高考試題中，“概率與統計”應用問題是考查的重點內容，試題非常注重理論聯系生活實際，常考的數學模型有古典概率、互斥事件、條件概率、分布列、二項分布、正態分布、直方圖、莖葉圖、線性回歸模型等等.

例5（2014年全國新課標Ⅰ卷）4名同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為（）.

A.18B.38C.58D.78

解析由題意知4名同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動有24種情況，而4名同學都選周六有1種情況，4名都選周日有1種情況，故周六、日都有同學參加公益活動的概率為p=24-1-124=78，故選D.

點評：試題選取考生熟悉的情境，屬于簡單的古典概率模型問題，考查了概率的基本知識和方法，引導考生關注生活中的數學問題，增強數學應用意識.

例6（2016全國新課標Ⅰ卷）某險種的基本保費為a（單位：元），繼續購買該險種的投保人稱為續保人，續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：

上年度出險次數01234≥5

保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

設該險種一續保人一年內出險次數與相應概率如下：

一年內出險次數01234≥5

概率0.300.150.200.200.100.05

（1）求一續保人本年度的保費高于基本保費的概率；

（2）若一續保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；

（3）求續保人本年度的平均保費與基本保費的比值

解析（1）設A表示事件：“一續保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發生當且僅當一年內出險次數大于1，故P（A）=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

（2）設B表示事件：“一續保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發生當且僅當一年內出險次數大于3，故P（B）=0.1+0.05=0.15.

又P（AB）=P（B），

故P（B|A）=P（AB）P（A）=P（B）P（A）=0.150.55=311，

因此，所求概率為311.

（3）記續保人本年度的保費為X，則X的分布列為：

X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

P0.300.150.200.200.100.05

EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a，

所以續保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23.

點評：試題考查互斥事件、條件概率、分布列等模型，通過概率、數學期望的計算考查運算求解能力，通過隨機變量的分布列考查數據處理能力，利用貼近生活的實際問題考查分析問題、解決問題的能力、應用意識和數學建模思想方法.

縱觀多年的高考數學應用題，取材貼近生產、生活熟悉的情境和當前社會的熱點問題，數學建模靈活多樣，試題注重數學文化的承傳和數學應用意識的培養，有利于考生進一步理解數學的價值和數學知識在生活實際中的應用，側重數學建模這一數學核心素養的考查，在常規教學中，要重視多用案例融入數學建模思想的新的教學方法，探索新的教學模式，加強學生的實踐性教學環節，培養學生的應用意識和探索創新能力.