有關直線與圓錐曲線的一個統一結論

謝孝順

圓錐曲線中的橢圓、雙曲線、拋物線，不僅各具特色和內涵，而且也有統一的定義和性質.而對于作為一個有機整體的圓錐曲線，探求其所具有的共同特征應該非常有用.本文探究直線與圓錐曲線相交所得線段相等的問題，具體內容如下：

一、問題提出

直線y=kx+m與雙曲線x2a2-y2b2=1及其漸近線交于A，B，C，D四點，求證：|AC|=|BD|.

解如圖1所示，可設雙曲線及漸近線方程為x2a2-y2b2=λ（λ=0或1），

由y=kx+m，x2a2-y2b2=λ，

得

（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2-λa2b2=0，

該方程顯然有實數解.

∴x1+x22=kma2b2-a2k2，

即直線y=kx+m與曲線x2a2-y2b2=λ（λ=0或1）的兩交點的中點的橫坐標相同（與λ無關）.故線段AB與CD的中點重合，即|AC|=|BD|.

二、分析

四點共線，然后求該直線上的線段長相等，如果直接算，計算量應當很大.本題巧妙地利用中點相同化解了這一問題，又因為漸近線方程與雙曲線方程的結構相似（只差一個常數λ），所以只用一次韋達定理即解決問題，何等的干凈利索！

（一）引申1

可以將原題中的漸近線改為雙曲線x2a2-y2b2=k（k≠0）（如圖2或圖3所示），然后一直線被兩組雙曲線截得的四個點仍有相同的性質，而證明過程同剛才一樣.

（二）引申2

設兩橢圓的離心率相同，對稱中心重合，長短軸位置一致，則與兩橢圓相交的直線夾在橢圓間的兩線段長相等.

解由已知設兩橢圓方程為x2a2+y2b2=λi（i=1，

圓錐曲線中的橢圓、雙曲線、拋物線，不僅各具特色和內涵，而且也有統一的定義和性質.而對于作為一個有機整體的圓錐曲線，探求其所具有的共同特征應該非常有用.本文探究直線與圓錐曲線相交所得線段相等的問題，具體內容如下：

一、問題提出

直線y=kx+m與雙曲線x2a2-y2b2=1及其漸近線交于A，B，C，D四點，求證：|AC|=|BD|.

解如圖1所示，可設雙曲線及漸近線方程為x2a2-y2b2=λ（λ=0或1），

由y=kx+m，x2a2-y2b2=λ，

得

（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2-λa2b2=0，

該方程顯然有實數解.

∴x1+x22=kma2b2-a2k2，

即直線y=kx+m與曲線x2a2-y2b2=λ（λ=0或1）的兩交點的中點的橫坐標相同（與λ無關）.故線段AB與CD的中點重合，即|AC|=|BD|.

二、分析

四點共線，然后求該直線上的線段長相等，如果直接算，計算量應當很大.本題巧妙地利用中點相同化解了這一問題，又因為漸近線方程與雙曲線方程的結構相似（只差一個常數λ），所以只用一次韋達定理即解決問題，何等的干凈利索！

（一）引申1

可以將原題中的漸近線改為雙曲線x2a2-y2b2=k（k≠0）（如圖2或圖3所示），然后一直線被兩組雙曲線截得的四個點仍有相同的性質，而證明過程同剛才一樣.

（二）引申2

設兩橢圓的離心率相同，對稱中心重合，長短軸位置一致，則與兩橢圓相交的直線夾在橢圓間的兩線段長相等.

解由已知設兩橢圓方程為x2a2+y2b2=λi（i=1，2），設直線方程為y=kx+b（斜率不存在情況顯然成立）.

則由x2a2+y2b2=λi，y=kx+b，

得（b2+a2k2）x2+2a2kbx+a2b2-a2b2λi=0，

∴x1+x22=-a2kbb2+a2k2，

∴直線y=kx+b與橢圓的交點的中點橫坐標與λi無關，所以兩中點重合，也即與兩橢圓相交的直線夾在橢圓間的兩線段長相等.

2），設直線方程為y=kx+b（斜率不存在情況顯然成立）.

則由x2a2+y2b2=λi，y=kx+b，

得（b2+a2k2）x2+2a2kbx+a2b2-a2b2λi=0，

∴x1+x22=-a2kbb2+a2k2，

∴直線y=kx+b與橢圓的交點的中點橫坐標與λi無關，所以兩中點重合，也即與兩橢圓相交的直線夾在橢圓間的兩線段長相等.