圓錐曲線上某一點處的切線方程

趙廣華　尼志福

【摘要】在做解析幾何大題時，需求曲線上某一點處的切線方程，那么圓錐曲線上某一點處的切線方程有沒有一般形式呢？我們研究一下.

【關鍵詞】切線方程

在做解析幾何大題時，我們經常需要求曲線上一點處的切線方程.最常用的方法就是設出方程，然后聯立直線方程與曲線方程，再利用Δ=0求解.這種做法思路簡單，但運算量大，尤其當曲線方程含有參數時，運算量更大，更不易做對.那么圓錐曲線上某一點處的切線方程有沒有一般形式呢？我們研究一下.

問題1求過圓x2+y2=r2（r>0）上一點P（x0，y0）的切線方程.

解設M（x，y）是切線上任意一點，則OP·PM=0，

即（x0，y0）·（x-x0，y-y0）=0，

整理得x0x+y0y=x20+y20=1，

所以切線方程為x0x+y0y=1.

問題2求過圓（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）上一點P（x0，y0）的切線方程.

用解決問題1的方法我們可以得到問題2的答案（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

類比過圓上一點的切線方程的形式我們猜想.

結論1橢圓x2a2+y2b2=1上一點P（x0，y0）處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.

結論2雙曲線x2a2-y2b2=1上一點P（x0，y0）處的切線方程為x0xa2-y0yb2=1.

結論3拋物線y2=2px上一點P（x0，y0）處的切線方程為y0y=px+px0.

上述類比推理得到的結論是否正確？我們用大學的知識來證明一下.

證明橢圓x2a2+y2b2=1上一點P（x0，y0）處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.

∵x2a2+y2b2=1，

∴等式兩邊同時對x求導得2xa2+2yy′b2=0，

∴y′=-b2a2·xy，

∴切線斜率k=y′|x=x0=-b2a2·x0y0，

切線方程為y-y0=-b2a2·x0y0（x-x0），

整理得x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2=1.結論得證.

用同樣的方法我們也能證明結論2與結論3的正確性.

下面我們用上述結論小試牛刀.看2013年山東高考數學壓軸題：

橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F2，離心率為32，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.

（1）求橢圓C的方程.

（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2.設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明1kk1+1kk2為定值，并求這個定值.

解（1）橢圓C的方程為x24+y2=1.

（2）m的取值范圍-32，32.

我們重點看一下第三問.

設P（x0，y0），因為x24+y2=1，所以等式兩邊同時對x求導得2x4+2yy′=0，整理得y′=-x4y.

因此，直線l斜率k=y′|x=x0=-x04y0，

k1=y0x0+3，k2=y0x0-3，

所以1kk1+1kk2=1k1k1+1k2

=-4y0x0x0+3y0+x0-3y0=-8，

即1kk1+1kk2為定值-8.

可見掌握上述結論對同學們在做圓錐曲線大題時有很大幫助，我們在學習過程中要不斷總結，不斷探究.