淺談求函數最值的方法

張新秀

最值問題是歷年高考重點考查的常見題型.由于其綜合性強，能力要求高，解決這類問題，要靈活選擇恰當的解題方法.求最值的方法有很多種，教學中我感受到不必追求新穎別致、靈活奇巧，應該集中精力練好幾種常用方法，努力打好基本功，到時自然能夠得心應手.

一、反解法

當已知自變量或者某個因式整體的范圍時，反解法能夠快速準確地求出函數值域.

例1求函數f（x）=x2-1x2+1的值域.

解由y=x2-1x2+1反解求得x2=1+y1-y，借助x2≥0可得-1≤y<1.實踐證明，許多師生喜歡用f（x）=x2-1x2+1=1-2x2+1來求值域，相比而言反解法路數少，不易出錯，效率明顯更高.

二、換元法

把某一部分看作一個整體或用一個新元來代替，能夠達到“看起來熟悉、用起來順手、寫起來簡潔”的目的.

例2求函數y=x+1-2x的值域.

解令t=1-2x，則t≥0且x=12（1-t2）.原函數變為y=12（1-t2）+t=-12（t-1）2+1.由于t∈[0，+∞），故y∈（-∞，1].

運用換元法時應特別注意所引進的新元的取值范圍，這是一個易錯點.

三、函數單調性法

求函數值域，應該讓學生養成先觀察函數在定義域上的單調性的習慣，這往往能夠快速找到解決問題的切入口.

例3求函數y=3x+6k-8-x的值域.

解因為函數y=3x+6-8-x在定義域[-2，8]上為增函數，當x=-2時，y取得最小值-10.當x=8時，y取得最大值30.

故而原函數的值域為[-10，30].

若函數在整個區間上不是單調的，則先研究函數單調性，把該區間分成各個小區間，使得函數在每一個區間上是單調的.

四、基本不等式法

基本不等式在求范圍或值域問題中往往顯得非常活躍，當其形狀結構不太明顯時，常常借用換元法、配湊法等手段以達到湊形的目的.

例4求y=x2+7x+10x+1（x≠-1）的值域.

解∵y=x2+7x+10x+1=（x+1）2+5（x+1）+4x+1

=（x+1）+4x+1+5.

以下分當x+1>0和x+1<0兩種情況討論.

運用基本不等式求最值，應注意“一正二定三相等”三個條件缺一不可.當不能確定主變量為正數時應該分情況討論.

五、判別式法

對于二次分式函數的值域問題，可以用方程的思想先將函數化為f（x，y）=0的形式，再利用一元二次方程有根的條件求解.

例5求函數y=x+1x2+2x+2的值域.

解將原函數式化為yx2+（2y-1）x+2y-1=0，

當y≠0時，由判別式Δ=（2y-1）2-4y（2y-1）≥0，解得-12≤y≤12且y≠0，顯然y=0時得x=-1滿足，綜上可得原函數的值域為-12，12.

判別式法求值域往往局限于二次函數，而且一定要關注二次項系數為0的情形.

求函數最值的方法還有很多，比如，導數法在求最值方面比其他方法的適用范圍都要廣泛.尤其是超越函數或者混合函數中導數的優越性無可替代.這里不再贅述.

數學（包括幾何）有分量的問題最后往往都和函數的最值有關，教學中我們要重視求最值的方法的訓練和提煉，但無須刻意追求靈巧新奇，以常見的基本方法為主，相信熟能生巧，基本功扎實了，自然能夠得心應手.