淺談求函數(shù)最值的方法

張新秀

最值問題是歷年高考重點(diǎn)考查的常見題型.由于其綜合性強(qiáng)，能力要求高，解決這類問題，要靈活選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.求最值的方法有很多種，教學(xué)中我感受到不必追求新穎別致、靈活奇巧，應(yīng)該集中精力練好幾種常用方法，努力打好基本功，到時(shí)自然能夠得心應(yīng)手.

一、反解法

當(dāng)已知自變量或者某個(gè)因式整體的范圍時(shí)，反解法能夠快速準(zhǔn)確地求出函數(shù)值域.

例1求函數(shù)f（x）=x2-1x2+1的值域.

解由y=x2-1x2+1反解求得x2=1+y1-y，借助x2≥0可得-1≤y<1.實(shí)踐證明，許多師生喜歡用f（x）=x2-1x2+1=1-2x2+1來(lái)求值域，相比而言反解法路數(shù)少，不易出錯(cuò)，效率明顯更高.

二、換元法

把某一部分看作一個(gè)整體或用一個(gè)新元來(lái)代替，能夠達(dá)到“看起來(lái)熟悉、用起來(lái)順手、寫起來(lái)簡(jiǎn)潔”的目的.

例2求函數(shù)y=x+1-2x的值域.

解令t=1-2x，則t≥0且x=12（1-t2）.原函數(shù)變?yōu)閥=12（1-t2）+t=-12（t-1）2+1.由于t∈[0，+∞），故y∈（-∞，1].

運(yùn)用換元法時(shí)應(yīng)特別注意所引進(jìn)的新元的取值范圍，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).

三、函數(shù)單調(diào)性法

求函數(shù)值域，應(yīng)該讓學(xué)生養(yǎng)成先觀察函數(shù)在定義域上的單調(diào)性的習(xí)慣，這往往能夠快速找到解決問題的切入口.

例3求函數(shù)y=3x+6k-8-x的值域.

解因?yàn)楹瘮?shù)y=3x+6-8-x在定義域[-2，8]上為增函數(shù)，當(dāng)x=-2時(shí)，y取得最小值-10.當(dāng)x=8時(shí)，y取得最大值30.

故而原函數(shù)的值域?yàn)閇-10，30].

若函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)的，則先研究函數(shù)單調(diào)性，把該區(qū)間分成各個(gè)小區(qū)間，使得函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的.

四、基本不等式法

基本不等式在求范圍或值域問題中往往顯得非常活躍，當(dāng)其形狀結(jié)構(gòu)不太明顯時(shí)，常常借用換元法、配湊法等手段以達(dá)到湊形的目的.

例4求y=x2+7x+10x+1（x≠-1）的值域.

解∵y=x2+7x+10x+1=（x+1）2+5（x+1）+4x+1

=（x+1）+4x+1+5.

以下分當(dāng)x+1>0和x+1<0兩種情況討論.

運(yùn)用基本不等式求最值，應(yīng)注意“一正二定三相等”三個(gè)條件缺一不可.當(dāng)不能確定主變量為正數(shù)時(shí)應(yīng)該分情況討論.

五、判別式法

對(duì)于二次分式函數(shù)的值域問題，可以用方程的思想先將函數(shù)化為f（x，y）=0的形式，再利用一元二次方程有根的條件求解.

例5求函數(shù)y=x+1x2+2x+2的值域.

解將原函數(shù)式化為yx2+（2y-1）x+2y-1=0，

當(dāng)y≠0時(shí)，由判別式Δ=（2y-1）2-4y（2y-1）≥0，解得-12≤y≤12且y≠0，顯然y=0時(shí)得x=-1滿足，綜上可得原函數(shù)的值域?yàn)?12，12.

判別式法求值域往往局限于二次函數(shù)，而且一定要關(guān)注二次項(xiàng)系數(shù)為0的情形.

求函數(shù)最值的方法還有很多，比如，導(dǎo)數(shù)法在求最值方面比其他方法的適用范圍都要廣泛.尤其是超越函數(shù)或者混合函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性無(wú)可替代.這里不再贅述.

數(shù)學(xué)（包括幾何）有分量的問題最后往往都和函數(shù)的最值有關(guān)，教學(xué)中我們要重視求最值的方法的訓(xùn)練和提煉，但無(wú)須刻意追求靈巧新奇，以常見的基本方法為主，相信熟能生巧，基本功扎實(shí)了，自然能夠得心應(yīng)手.