巧用平面幾何知識突破解析幾何問題

洪燕春

【摘要】“數”具有概括性、抽象化的特點，而“形”具有具體化、形象化的特點，兩者之間沒有不可逾越的鴻溝.數形結合通過“以形輔數，以數解形”，使復雜問題簡潔化，抽象問題具體化，從而達到優化解題的途徑.“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，利用數形結合的思想方法可以深刻揭示數學問題的本質.然而在高中數學的學習中，解析幾何雖常與作圖聯系在一起，但是學生仍然無法攻克，一來因為計算量大，考試時間有限；二來畏懼心理，直接放棄.其實采用數形結合思想，從平面幾何的知識入手去突破解析幾何問題能夠大大地簡化計算，提高解題速度，提高準確率，更能增強學生的信心.

【關鍵詞】平面幾何；解析幾何；數形結合

一、以圓為背景

例1設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程.

解析因為|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，

所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圓A的標準方程為（x+1）2+y2=16，從而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4.由題設得A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，由橢圓定義可得點E的軌跡方程為x24+y23=1（y≠0）.

涉及的平面幾何知識：平行線性質（兩直線平行，同位角相等）；等腰三角形的判定（等角對等邊）.

二、以橢圓為背景

例2已知O為坐標原點，F是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PF⊥x軸.過點A的直線L與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為（）.

A.13

B.12

C.23

D.34

解析設OE的中點為點C，∵△BOC∽△BFM，∴BOBF=OCFM，即為aa+c=OCFM.又∵△AFM∽△AOE，∴AFAO=MFOE，即為a-ca=MFOE=MF2OC，

2（a-c）=a+c，∴ca=13，故選A.

涉及的平面幾何知識：相似三角形的對應邊成比例.

三、以雙曲線為背景

例3已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，O為坐標原點.P是雙曲線在第一象限上的點，直線PO，PF2分別交雙曲線C左、右支于另一點M，N.若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，則雙曲線C的離心率為（）.

A.2

B.3

C.7

D.333

解析|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵∠MF2N=60°，∴∠F1PF2=60°，

由余弦定理可得4c2=16a2+4a2-2·4a·2acos60°，∴e=ca=3，故選B.

涉及的平面幾何知識：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；平行四邊形兩對邊平行；兩直線平行，同位角相等.

四、以拋物線為背景

例4已知拋物線的焦點F到準線L的距離為P，點A與F在L的兩側，AF⊥L且AF=2P，B是拋物線上的一點，BC垂直L于點C且BC=2P，AB分別交L，CF于點D，E，則△BEF與△BDF的外接圓半徑之比為（）.

A.12

B.32

C.233

D.2

解析∵BC∥AF，BC=AF=BF，∴四邊形AFBC為菱形，即BA⊥CF，

將xB=3p2代入y2=2px，∴y=3p，∴∠BFG=60°=∠CBF，∴△CBF為等邊三角形，CF=2P，且EF=P，又∵△CBD≌△FBD，∴∠DFB=90°，

又∵∠DBF=30°，∴DF=2P3，設△BEF和△BDF的外接圓半徑為R1，R2，R1R2=EFDF=32，故選B.

涉及的平面幾何知識：平行四邊形的判定（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；菱形的判定（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；菱形的性質（菱形的對角線垂直平分）；等邊三角形，特殊三角形性質.

以上4個例題分別是基于解析幾何的圓、橢圓、雙曲線、拋物線這樣4個背景下的題型，較為完整地展現了解析幾何與平面幾何的結合，將數形結合思想的應用體現得淋漓盡致.若能在解析幾何題目中，巧妙運用平面幾何知識來找出突破口，解決問題，那么我們就能極大簡化計算，能提高解題效率.可見，平面幾何方法解決解析幾何問題是一種巧妙的方式，值得我們深究.