關于函數的“類”對稱問題

郭鵬

我們知道函數是數學的重要內容之一，其理論涉及數學的各個分支.特別是中學階段，函數始終是一條主線.有許多函數具有對稱性，體現了數學的對稱美，有許多函數不具有對稱性，但具有“類”對稱性，體現了數學的奇異美.對于“類”對稱性問題，我們可以類似對稱的方法處理.

一、函數的對稱性

函數的對稱性分為兩種：一是關于一條直線對稱即軸對稱.若函數y=f（x）滿足f（x）=f（2a-x），則稱函數y=f（x）的圖像關于直線x=a對稱.二是關于一點對稱即中心對稱.若函數y=f（x）滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則稱函數y=f（x）的圖像關于點（a，b）對稱.

二、函數的“類”對稱

1.函數的“類”對稱也分兩種：一是關于一條直線成“類”對稱.連續函數y=f（x）在直線x=a的左側單調遞增（或單調遞減），在直線x=a的右側單調遞減（或單調遞增），但函數y=f（x）的圖像不關于直線x=a對稱，我們稱函數y=f（x）的圖像關于直線x=a成“類”對稱.

2.二是關于一點成“類”對稱.連續函數y=f（x）在點（a，b）的兩側單調性相同，但y=f（x）的圖像不關于點（a，b）對稱，我們稱函數y=f（x）的圖像關于點（a，b）成“類”對稱.

三、函數“類”對稱的理解

1.從“形”的角度理解“類”對稱

若函數y=f（x）的圖像關于直線x=a成“類”對稱，則因為y=f（x）的圖像不是真正關于直線x=a對稱，所以對于函數y=f（x）圖像上的兩點（x，f（x）），（2a-x，f（2a-x））高低一般不同.

若函數y=f（x）的圖像關于點（a，b）成“類”對稱，則因為函數y=f（x）的圖像不是真正關于點（a，b）對稱，所以對于函數y=f（x）圖像上兩點（x，f（x）），（2a-x，f（2a-x））到直線y=b的距離一般不等.

2.從“量”的角度理解“類”對稱

若函數y=f（x）的圖像關于直線x=a成“類”對稱，則對于函數y=f（x）圖像上兩點（x，f（x）），（2a-x，f（2a-x）），一般有f（x）-f（2a-x）≠0.

若函數y=f（x）的圖像關于點（a，b）成“類”對稱，則對于函數y=f（x）的圖像上兩點（x，f（x）），（2a-x，f（2a-x）），一般有f（x）+f（2a-x）≠2b.

四、函數“類”對稱的應用

若函數y=f（x）的圖像關于直線x=a成“類”對稱，則可以比較函數值f（x）與f（2a-x）的大小；反之，f（x1）=f（x2），則可以比較x1+x2與2a的大小.

若函數y=f（x）的圖像關于點（a，b）成“類”對稱，則可以比較f（x）與2b-f（2a-x）的大小；反之，若f（x1）+f（x2）=2b，則可以比較x1+x2與2a的大小.

五、函數“類”對稱的處理方法

對于第一類問題的處理方法：

1.構造對稱函數.

先討論函數y=f（x）的單調性，再比較f（2a-x）與f（x）的大小.通常的方法是構造函數F（x）=f（2a-x）-f（x），利用求函數值域的各種方法，轉化為求函數的值域問題，從而得到f（x）與f（2a-x）的大小.

2.利用可導函數的極值點的定義求解.

對于可導函數y=f（x），在區間（m，n）上只有一個極大（小）值點a，若f（x1）=f（x2），且m0x1+x22<（>）a；② f′x1+x22<0x1+x22>（<）a.

若函數y=f（x）的圖像關于點（a，b）成“類”中心對稱，處理的方法一般采用構造對稱函數法.

六、函數“類”對稱題目的編制

例（2014年北京卷18題改編）已知函數f（x）=lnxx.

（1）求函數f（x）在（1，f（1））處的切線方程.

（2）討論函數g（x）=lnxx-m（m∈R）的零點個數.

（3）若f（x1）=f（x2），且x1≠x2，求證：x1+x2>2e.

探究（1）（2）略.（3）由f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，設0e，令F（x）=f（2e-x）-f（x）=ln（2e-x）2e-x-lnxx=xln（2e-x）-（2e-x）lnx（2e-x）x，令h（x）=xln（2e-x）-（2e-x）lnx，h′（x）=ln（2e-x）-x2e-x+lnx-2e-xx=ln[-（x-e）2+e2]-x2+（2e-x）2（2e-x）x，∵02x（2e-x）x（2e-x）=2，（∵0

∴h′（x）<0，∴h（x）在（0，e）上單調遞減，∴h（x）>h（e）=0，即F（x）>0.

∴f（2e-x）>f（x）.不妨設0e，∴f（2e-x1）>f（x1）=f（x2），∴2e-x12e.

七、一點感悟

對于一個數學問題，作為數學教師，不僅要引導學生如何解，而且要教會學生如何反思總結：為什么要這樣解？這個問題的實質是什么？背景是什么？其解法能否拓展？讓學生領悟如何分析問題、解決問題.讓學生學會思考.培養學生的探究意識、創新意識及主體意識.“學而不思則罔，思而不學則殆”.學中思，思中學是有效的學習方法和途徑.